第3章 假设检验

1、第第 三三 章章假设检验假设检验3 3.1 假设检验概述假设检验概述若对若对参数参数有所有所了解了解但有怀但有怀疑猜测疑猜测需要证需要证实之时实之时用假设用假设检验的检验的方法来方法来 处理处理若对参数若对参数一无所知一无所知用参数估计用参数估计的方法处理的方法处理 假设是指施加于一个或多个总体假设是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的看法的概率分布或参数的看法. . 所作假设所作假设可以是正确的可以是正确的, ,也可以是错误的也可以是错误的. . 为判断所作的假设是否正确为判断所作的假设是否正确, , 从从总体中抽取样本总体中抽取样本, ,根据样本的取值根据样本的取值, ,按按一定原则进

2、行检验一定原则进行检验, , 然后作出接受或然后作出接受或拒绝所作假设的决定拒绝所作假设的决定. .一、假设检验问题的提法一、假设检验问题的提法 引例引例1 1 某产品出厂检验规定某产品出厂检验规定: 次品率次品率p不不超过超过4%才能出厂才能出厂. 现从一万件产品中任意现从一万件产品中任意抽查抽查12件发现件发现3件次品件次品, 问该批产品能否出问该批产品能否出厂？若抽查结果发现厂？若抽查结果发现1件次品件次品, 问能否出厂？问能否出厂？解解 假设假设0.04,p0 04p .代代入入3391212310 00970 01PC pp( )(). 这是这是 小概率事件小概率事件 , 一般在一次

3、试验中一般在一次试验中是不会发生的是不会发生的, 现一次试验竟然发生现一次试验竟然发生, 故认故认为原假设不成立为原假设不成立, 即该批产品次品率即该批产品次品率 , 则该批产品不能出厂则该批产品不能出厂.004p . 这不是这不是小概率事件小概率事件,没理由拒绝原假设没理由拒绝原假设,从而接受原假设从而接受原假设, 即该批产品可以出厂即该批产品可以出厂.若不用假设检验若不用假设检验, 按理不能出厂按理不能出厂.注注1直接算直接算注注2本检验方法是本检验方法是 概率意义下的反证法概率意义下的反证法，故拒绝原假设是有说服力的故拒绝原假设是有说服力的, 而接受而接受原假设是没有说服力的原假设是没有

4、说服力的. 因此应把希因此应把希望否定的假设作为原假设望否定的假设作为原假设.11111212110 3060 3PC pp( )().1 120 0830 04/.对总体对总体 提出假设提出假设1 ( ; )(1) ,0,1xxX f x pppx要求利用样本观察值要求利用样本观察值出厂检验问题的数学模型出厂检验问题的数学模型010 040 04HpHp:.;:.1212xxx(,)12131iixor()对提供的信息作出接受对提供的信息作出接受 (可出厂可出厂) , 还还是接受是接受 (不准出厂不准出厂) 的判断的判断.0H1H 某厂生产的螺钉某厂生产的螺钉, ,按标准强度为按标准强度为6

5、8m/m2，而实际生产的强度而实际生产的强度X服服从从N( ( , ,3.62) ) 若若E( (X) )= =68, ,则认为这批螺钉符合要求则认为这批螺钉符合要求, ,否否则认为不符合要求则认为不符合要求. .为此提出如下假设为此提出如下假设: :H0 : = 68 称为称为原假设原假设或或零假设零假设 原假设的对立面原假设的对立面: :H1 : 68 称为称为备择假设备择假设引例引例2 2假设检验假设检验的任务的任务必须在原假设与必须在原假设与备择假设备择假设 之间作一选择之间作一选择若原假设正确若原假设正确, , 则则因此因此, ,取取 , ,则则05. 096. 1975. 012

6、uuc 现从整批螺钉中取容量为现从整批螺钉中取容量为3636的样本的样本, ,其均其均值为值为 , ,问原假设是否正确问原假设是否正确? ?68 5x .268 3 636XN(, ./)因而因而 68E X (), ,即即偏离偏离6868不应该太远不应该太远, ,X故故取较大值是小概率事件取较大值是小概率事件. .683 6 6X . /可以确定一个常数可以确定一个常数c c 使得使得683 6 6XPc. / 681.963.6/6X由由为检验的为检验的接受域接受域 ( (实际上没理由拒绝实际上没理由拒绝),),即区间即区间( ,66.824 )与与( 69.18 , + )为检为检验的验

7、的拒绝域拒绝域. .H0: : = 686869 1866 824XX.或或( 66.824 , 69.18 )称称 的取值区间的取值区间X现现落入接受域落入接受域, ,则接受原假设则接受原假设68 5x . 二、检验、拒绝域与检验统计量二、检验、拒绝域与检验统计量在在H0对对H1的检验问题中，所谓检验法则就的检验问题中，所谓检验法则就是设法把样本空间划分为互不相交的两个是设法把样本空间划分为互不相交的两个可测集可测集C和和C*，当样本观测值落入，当样本观测值落入C时，拒时，拒绝原假设；若绝原假设；若样本观测值落入样本观测值落入C*，则不则不能拒绝原假设。能拒绝原假设。C-检验的拒绝域检验的拒

8、绝域能从样本空间划分出拒绝域的能从样本空间划分出拒绝域的统计量统计量-检验统计量检验统计量 由引例由引例2 2可见可见, ,在给定在给定 的前提下的前提下, ,接受还是拒绝原假设完全取决于样本接受还是拒绝原假设完全取决于样本值值, , 因此所作检验可能导致以下两类因此所作检验可能导致以下两类错误的产生：错误的产生： 第一类错误第一类错误弃真错误弃真错误第二类错误第二类错误纳伪错误纳伪错误 三、两类错误三、两类错误正确正确正确正确假设检验的两类错误假设检验的两类错误 犯第一类错误的概率通常记为犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为犯第二类错误的概率通常记为 H0 为真为真H0 为

9、假为假真实情况真实情况所作判断所作判断接受接受 H0拒绝拒绝 H0第一类错误第一类错误( (弃真弃真) )第二类错误第二类错误( (纳伪纳伪) ) 任何检验方法都不能完全排除犯错任何检验方法都不能完全排除犯错 假设检验的假设检验的指导思想指导思想是是控制犯第一类控制犯第一类误的可能性误的可能性. .理想的检验方法应使犯两类理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小错误的概率都很小, ,但在样本容量给定的但在样本容量给定的情形下情形下, ,不可能使两者都很小不可能使两者都很小, ,降低一个降低一个, , 往往使另一个增大往往使另一个增大. .错误的概率不超过错误的概率不超过 , ,然后然后, ,若

10、有必要若有必要, ,通通过增大样本容量的方法来减少过增大样本容量的方法来减少 . . 一般一般, ,作假设检验时作假设检验时, ,先控制犯第一先控制犯第一类错误的概率类错误的概率 , ,在此基础上使在此基础上使 尽量地尽量地小小. .要降低要降低 一般要增大样本容量一般要增大样本容量. .备择假设可以是单侧备择假设可以是单侧, ,也可以双侧也可以双侧. . H0 : = 68； H1 : 68注注1 1 注注2 2 引例引例2 2中的备择假设是双侧的中的备择假设是双侧的. .若根据以若根据以往生产情况往生产情况, , 0 0=68.=68.现采用了新工艺现采用了新工艺, ,关关心的是新工艺能否

11、提高螺钉强度心的是新工艺能否提高螺钉强度, , 越大越大越好越好. .此时可作如下的右边假设检验此时可作如下的右边假设检验: :关于原假设与备择假设的选取关于原假设与备择假设的选取H0与与H1地位应平等地位应平等, ,但在控制犯第一但在控制犯第一类错误的概率类错误的概率 的原则下的原则下, ,使得采取拒使得采取拒绝绝H0 的决策变得较慎重的决策变得较慎重, ,即即H0 得到特得到特别的保护别的保护. .因而因而, ,通常把有把握的、有经验的结论通常把有把握的、有经验的结论作为原假设作为原假设, ,或者尽可能使后果严重的或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误错误成为第一类错误. .注注3 3

12、四、假设检验的基本原理四、假设检验的基本原理它的基本思想可以用小概率原理来解释。它的基本思想可以用小概率原理来解释。所谓所谓小概率原理小概率原理，就是认为小概率事件在，就是认为小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的。也就是一次试验中是几乎不可能发生的。也就是说，对总体的某个假设是真实的，那么不说，对总体的某个假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件利于或不能支持这一假设的事件A在一次试在一次试验中是几乎不可能发生的；要是在一次试验中是几乎不可能发生的；要是在一次试验中事件验中事件A竟然发生了，我们就有理由怀疑竟然发生了，我们就有理由怀疑这一假设的真实性，拒绝这一假设。这一假设的真实性

13、，拒绝这一假设。 五、假设检验的一般步骤五、假设检验的一般步骤q 根据实际问题根据实际问题, ,建立建立H0与与H1q 在在H0为真时为真时, ,选择合适的统计量选择合适的统计量V, ,由由H1给定显著性水平给定显著性水平 , ,其对应的拒绝域其对应的拒绝域双侧检验双侧检验左边检验左边检验确定拒绝域形式确定拒绝域形式q 根据样本值计算根据样本值计算, ,并作出相应的判断并作出相应的判断. .右边检验右边检验221()()VVVV ()VV 1()VV 3.2 参数假设检验参数假设检验拒绝域的推导拒绝域的推导:设设N ( ( 2 2) )， 2 2 已知，需检验：已知，需检验：H0 : : 0

14、； H1 : : 0构造统计量构造统计量 给定给定显著性水平显著性水平与样本值与样本值( (1, ,2, , ,n) )1 1、关于、关于 的检验的检验0(0,1)UNnP P( (拒绝拒绝H0| |H0为真为真) )(00 kP)(00kPH )(00nknPH )(2010unPHnuk 21 取取所以本检验的拒绝域为所以本检验的拒绝域为0：U 检验法检验法21Uu 0 0 0 0 0U 检验法检验法 ( ( 2 已知已知) )原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域0(0,1)UnN 12Uu1Uu 1Uu 0 0 0

15、0 0T 检验法检验法( ( 2未知未知) )原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域0 (1)TSnt n12Tt1Tt1Tt例例1 1 某厂生产小型马达某厂生产小型马达, 说明书上写着说明书上写着: 这种小型马达在正常负载下平均消耗电这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过流不会超过0.8 安培安培. 现随机抽取现随机抽取16台马达试验台马达试验, 求得平求得平均消耗电流为均消耗电流为0.92安培安培, 消耗电流的标消耗电流的标准差为准差为0.32安培安培. 假设马达所消耗的电流服从正态分假设马达所消耗的电流服从正态分

16、布布, 取显著性水平为取显著性水平为 = 0.05, 问根据这问根据这个样本个样本, 能否否定厂方的断言能否否定厂方的断言?解解 根据题意待检假设可设为根据题意待检假设可设为 H0 : 0.8 ； H1 : 0.8 未知未知, 故故选检验统计量选检验统计量: (15)/16TtS查表得查表得 t0.95(15) = 1.753, 故拒绝域为故拒绝域为现现故接受原假设故接受原假设, 即不能否定厂方断言即不能否定厂方断言.0.81.753/xsn0.320.8 1.7530.944x 0.920.94x 2 02 2 02 2 02 2 0.00040. 此时可采用效果相同的单边假设检验此时可采用

17、效果相同的单边假设检验 H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2 0.00040. 20(,)XN 200.00040取统计量取统计量拒绝域拒绝域 0：220.95(24)36.415落在落在 0内内, 故拒绝故拒绝H0. 即改革后的方即改革后的方差显著大于改革前差显著大于改革前, 因此下一步的改因此下一步的改革应朝相反方向进行革应朝相反方向进行.22220(1)(1)nSn2024 0.0006639.636.4150.00040例例3 某工厂用自动生产线生产金属某工厂用自动生产线生产金属丝，假定金属丝的折断力丝，假定金属丝的折断力X服从正服从正态分布，其合格标准为：平均值为态分布，其

18、合格标准为：平均值为580N,方差不超过方差不超过64.某日开工后，某日开工后，抽取抽取9根作折断检测，测得结果如根作折断检测，测得结果如下：下：578，572，570，568，572， 570，596，586，568.试问：此日自动生产线是否生产正试问：此日自动生产线是否生产正常？（常？（=0.05）解解 根据题意待检假设可设为根据题意待检假设可设为 H0 : = 580； H1 : 580 未知未知, 故故选检验统计量选检验统计量: (8)/9TtS查表得查表得 t0.975(8) = 2. 306, 故不能拒绝原假设故不能拒绝原假设, 即认为无系统误差即认为无系统误差.5801.436/

19、xsn5802.306/xsn进一步建立假设进一步建立假设 H0: 2 64 ; H1: 2 64. 取统计量取统计量拒绝域拒绝域 0：220.05(8) 15.507故不能拒绝原假设故不能拒绝原假设, 即认为系统稳定即认为系统稳定.综上所述综上所述, 可认为自动生产线工作正常可认为自动生产线工作正常.22220(1)(1)nSn208 86.0210.75315.507643.3 正态母体参数的置信区间正态母体参数的置信区间引例引例 已知已知 X N ( ,1), 不同样本算得的不同样本算得的 的估计值不同，的估计值不同，因此除了给出因此除了给出 的点估计外的点估计外, 还希望根据还希望根据

20、所给的样本确定一个所给的样本确定一个随机区间随机区间, 使其包含使其包含参数真值的概率达到指定的要求参数真值的概率达到指定的要求. 的无偏、有效点估计为的无偏、有效点估计为随机变量随机变量常数常数X如引例中，要找一个区间如引例中，要找一个区间,使其包含使其包含 的的真值的概率为真值的概率为0.95. ( 设设 n = 5 )取取查表得查表得1,5XN0, 115XN1/21.96u0.05这说明这说明即即称随机区间称随机区间为未知参数为未知参数 的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间.1.960.9515XP111.961.960.9555P XX111.96,1.9655XX 反复

21、抽取容量为反复抽取容量为5的样本的样本,都可得都可得一个区间一个区间,此区间不一定包含未知参数此区间不一定包含未知参数 的真值的真值, 而包含真值的区间占而包含真值的区间占95%.置信区间的意义置信区间的意义若测得若测得 一组样本值一组样本值, 它可能包含它可能包含也可能不包含也可能不包含 的真值的真值, 反复反复则得一区间则得一区间(1.86 0.877, 1.86 + 0.877)抽样得到的区间中有抽样得到的区间中有95%包含包含 的真值的真值.86.1 x算得算得设设 为待估参数为待估参数, 是一给定的数是一给定的数, , 使使置信区间置信区间或或区间估计区间估计.置信下置信下限限置信上

22、限置信上限 一、区间估计的定义一、区间估计的定义() 1 P( 0 1). 若能找到统计量若能找到统计量, 则称则称为为 的置信水平为的置信水平为1 - 的的( ,) q 反映了估计的可靠度反映了估计的可靠度, 越小越小, 越可靠越可靠. 越小越小, 1- 越大越大, 估计的可靠度越高估计的可靠度越高,但但q 确定后确定后, 置信区间的选取方法不唯一置信区间的选取方法不唯一, 常选最小的一个常选最小的一个.几点说明几点说明q 置信区间的长度置信区间的长度 反映了估计精度反映了估计精度 越小越小, 估计精度越高估计精度越高.这时这时, 往往增大往往增大, 因而估计精度降低因而估计精度降低. 求参

23、数求参数置信区间置信区间保保 证证可靠性可靠性先先 提提 高高精精 度度再再处理处理“可靠性与精度关系可靠性与精度关系”的原的原则则q 寻找一个样本的函数寻找一个样本的函数它含有待估参数它含有待估参数, 不含其它未知参数不含其它未知参数, 它的分布已知它的分布已知, 且分布不依赖于待估参且分布不依赖于待估参数数 (常由常由 的点估计出发考虑的点估计出发考虑 ).例如例如二、寻求置信区间的方法二、寻求置信区间的方法 称为称为枢轴量枢轴量取枢轴量取枢轴量12(, )ng XXX( ,1/5)XN12(,)1/5nXg X XX(0,1)Nq 给定置信度给定置信度 1 ,定出常数定出常数 a , b

24、 ,使得使得( 引例中引例中得置信区间得置信区间 引例中引例中 , ( ,) 11( ,)(1.96,1.96)55 XX12(, )1nP ag XXXb 1.96,1.96)ab q 由由解出解出12(, )nag XXXbX N ( 2)三、正态总体参数的置信区间三、正态总体参数的置信区间(1) 方差方差 2已知已知, 的置信区间的置信区间推导推导2211(,)(1)XuXunn由由选取枢轴量选取枢轴量2( ,)XNn12(, )(0,1)nXg X XXNn由由确定确定解解21XPun12u21Xun得得 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为12211(,)XuXunn(2) 方差方差 2未知未知 , 的置信区间的置信区间 由由确定确定故故 的置信区间为的置信区间为推导推导 选取枢轴量选取枢轴量2211(1),(1)(2)SSX tnX tnnn (1)XTt nSn21(1)XPtnSn12(1)tn2211(1),(1)SSX tnX tnnn(3) 当当 已知时已知时, 方差方差 2 的的 置信区间置信区间,由概率由概率取枢轴量取枢轴量 221( )niiXQn22222121()( )( )1niiXPnn 得得 2 的的置信度为置信度为