2022年2022年概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载概率论与数理统计期末复习重要学问点及公式整理2021-2021学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要学问点其次章学问点：1.离散型随机变量： 设 x 为一个随机变量, 假如它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个, 就 称 x 为 一 个 离 散 随 机 变 量 ；2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1 分布）：如一个随机变量x只有两个可能取值,且其分布为,就称 x 听从 x1、x2 处参数为p 的两点分布；两点分布的概率分布：两点分布的期望：（ 2 ）二项分布：；两点分布的方差：如一个随机变量x 的概率分布由式给出,就称x 听

2、从参数为n、p 的二项分布；记为xbn、p 或 bn、p.两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：；二项分布的方差：如一个随机变量x 的概率分布为数为的泊松分布,记为,就称 x 听从参泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：；泊松分布的方差：假如对随机变量x 的分布函数fx ,存在非负可积函数,使得对于任意实数x ,有,就称 x 为连续型随机变量,称fx 为 x 的概率密度函数,简称为概率密度函数；2021-2021精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（ 1）匀称分布：如连续型随机变量x 的概率

3、密度为其它,就称 x 在区间（ a、b）上听从匀称分布,记为xua、b 匀称分布的概率密度：其它匀称分布的期望： （ 2）指数分布：；匀称分布的方差：2如连续型随机变量x 的概率密度为,就称 x 听从参数为的指数分布,记为指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：1；指数分布的方差：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载1222如连续型随机变量x 的概率密度为就称x 听从参数为和2的正态分布,记为xn、 22正态分布的概率密度：正态分布的期望：22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：2,2et 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下

4、载dt标准正态分布表的使用：（1）2021-2021学年第一学期期末复习资料xn0、1（2）（3）故定 理 1： 设 xn、 就6.随机变量的分布函数： 设 x 为一个随机变量,称分布函数的重要性质：为 x 的分布函数；7.求离散型的随机变量函数.连续型随机变量函数的分布（1）由 x 的概率分布导出y 的概率分布步骤：依据 x 写出 y 的全部可能取值；对 y 的每一个可能取值yi 确定相应的概率取值；常用表格的形式把y 的概率分布写出（2）由 x 的概率密度函数（分布函数）求y 的概率密度函数（分布函数）的步骤：由x 的概率密度函数由 fyyfxx 随机变量函数y=gx 的分布函数fyy求导

5、可得y 的概率密度函数（3）对单调函数,运算y=gx 的概率密度简洁方法：定理 1 设随机变量x 具有概率密度有,又设 y=gx 到处可导且恒（或恒有）,就 y=gx 为一个连续型随机变量,其概率密度为；其中为 y=gx 的反函数,且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载练习题：2.4 第 7.13.142021-2021学年第一学期期末复习资料总习题第 3.6.9.10.11.13.14.17.18. 19第三章重要学问点：（1）要会由 x 与 y 的联合概率分布,求出x 与 y 各自概率分布或反过来；类似p63 例 2（2）要会在x 与 y 独立的情形下,依据联合概

6、率分布表的部分数据,求解其余数据；类似p71 例 3（3）要会依据联合概率分布表求形如的概率；（4）要会依据联合概率分布律之类求出相应的期望.方差.协方差.相关系数等；2. 二维连续型随机变量x 与 y 的联合概率密度:设（ x、y ）为二维随机变量,fx、y 为其分布函数,如存在一个非负可积的二元函数fx、y、使对x y任意实数（ x、y ）,有,就称（ x、y ）为二维连续型随机变量；(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；fs、tdsdt(2) 要会依据联合概率密度求出相应的分布函数fx、y ,以及形如率值;p64 例 3等联合概3 4要会依据联合概率密度求出x、y的边缘

7、密度 ;类似p64 例 4要会依据联合概率密度求出相应的期望.方差.协方差.相关系数等；3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：2021-2021精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料（1）；（ 2）要会依据这些性质解类似p68 第 5,6 题；4.常用的连续型二维随机变量分布二维匀称分布：设g 为平面上的有界区域,其面积为a ；如二维随机变量（x、y ）具有概率密度函数5.独立性的判定：,就称（ x、y ）在 g 上听从匀称分布； 定义：设随机变量（x、y ）的联合分布函数为fx、y、 边缘分布函数为意实数 x、y,有 fxx , fyy

8、,如对任（1）离散型随机变量的独立性：由独立性的定义进行判定；全部可能取值xi、yj ,有,就 x 与 y 相 互独立；（2）连续型随机变量的独立性：由独立性的定义进行判定；联合概率密度fx、y,边缘密度fxx , fyy有几乎到处成立 、 就 x 与 y 相互独立；3 留意与第四章学问的结合x 与 y 相互独立covx、y因此与 y 不独立；6相互独立的两个重要定理定理 1 随机变量x 与 y 相互独立的充要条件为x 所生成的任何大事与y 生成的任何大事独立,即,对任意实数集a , b,有2021-2021学年第一学期期末复习资料定理 2 假如随机变量x 与 y 独立,就对任意函数（1）要求

9、会使用这两个定懂得决运算问题练习题：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载习题 2-3 第 3.4 题习题 2-4 第 2 题习题 3.2 第 5, 7, 8 题总习题三第 4, 9（1） -（ 4）, 12、13 g1x,g2y相互独立；第四.五章学问点设总体密度函数如下,x1、x2、.xn 为样本,试求未知参数的矩估量值,最大似然估量值；（1）21ex 1x 2et 1e t2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载11tt1e2et 21e t1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载t21t22,由此可推出22,从而参

10、数,的矩估量值为（ 2）似然函数为：1n 1nn i其对数似然函数为：i由上式可以看出,为的单调增函数,要使其最大,的取值应当尽可能的大,由于限制,这给出的最大似然估量值为将关于求导并令其为0 得到关于的似然方程n n i2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载n,解得n2021-2021学年第一学期期末复习资料第四章重要学问点：1.随机变量x 数学期望的求法：（1）离散型（2）连续型；2.随机变量函数gx数学期望的求法：（1）离散型g（2）连续型；3.二维随机向量期望的求法：ij （ 1）离散型；（2）连续型4.随机变量x 方差的求法：（1）简明公式（2）离散型精品学

11、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（3）连续型5. 随机变量x 协方差与相关系数的求法：（1）简明公式（2）离散型（3）连续型（4）6.数学期望.方差.协方差重要的性质：x22 设 x 与 y 相互独立,就如 x 与 y 相互独立,就2021-2021学年第一学期期末复习资料精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载互独立,就（ 6）如 x 与 y 相精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7 如（ x、y ）听从二维正态分布,就x 与 y 相互独立,当且仅当n 维正态分布的几个重要性质： xi（1） n 维正态变量（ x1、x2、.、xn ）的每个重量（）都为

12、正态变量,反之,如 x1、x2、.、xn都为正态变量,且相互独立,就（x1、x2、.、xn ）为 n 维正态变量；（2） n维随机向量 （ x1、x2、.、xn ）听从 n 维正态分布的充分必要条件为x1、x2、.、xn的任意线性组合均听从一维正态分布均听从一维正态分布（其中l1、l2、.ln不全为零）；（3）如（ x1、x2、.、xn ）听从 n 维正态分布,设y1、y2、.、yk为的线性函数,就（ y1、y2、.、yk ）听从 k 维正态分布；（4）设（ x1、x2、.、xn ）听从 n 维正态分布,就“x1、x2、.、xn 相互独立 ”等价于 “x1、x2、.、xn两两不相关 ” 练习题

13、：1. 设（ x、y ）的联合密度函数为解：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载210x0,求 covxy、 及310x0 2104352521232110x0 2同理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载2252021-2021学年第一学期期末复习资料21x0 10x0315又因从而 covx、y 27525232. 习题 4.3 第 10 题 8.中心极限定理（1）定理 4（棣莫佛 拉普拉斯定理）设随机变量n x1、x2、.xn、.相互独立,并且都听从参数为p 的两点分布,就对任意实数x ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习

14、必备欢迎下载有t 22（2）定理 3（独立同分布的中心极限定理）设随机变量x1、x2、.xn、.相互独立,听从同一分布,且n 2就it 22dt练习题：习题4-411 题 12 题 总习题四24, 25, 26 题第五章重要学问点确定或求证统计量所听从的分布1.三大分布 22222（1） 分布：设 x1、x2、.xn为取自总体n0、1 的样本,称统计量听从自由度为n 的分布；（2） t 分布：设,且 x 与 y 相互独立,就称的 t 分布；22（3） f 分布：设,且 x 与 y 相互独立,就称22听从自由度为x/my/n听从自由度为（ m、n）的 f 分布；2.三大抽样分布 2精品学习资料精

15、选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（1）设总体为取自 x 的一个样本,x 为该样本的样本均值,2021-2021学年第一学期期末复习资料就有2/n ,n0、1（2）定理 2 设总体 xn,为取自x 的一个样本,x 与 s2 为该样本的样本均值与样本方差,就有2221n 2i,22x 与 s 相互独立2（3）定理 3设总体,为取自x 的一个样本,x 与 s2 为该样本的样本均值与样本方差,就有21n 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载,22练习题：1.设 x1、x2.x2n为来自正态总体xn0、1 的样本,求统计量2解：由于xi2由样本的独立性及分布的

16、定义,有x2再由样本的独立性以及t 分布的定义,有2x42x2n22tn2 总习题五14 题3.求样本函数相关的概率问题练习题：习题5-32总习题五16.17第六章重要学问点：1.矩估量的求法：设总体 x 的分布函数中含有 k 个未知参数的函数,就2021-2021精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料（1）求总体x 的 k 阶 矩它们一般都为为这 k 个未知参数的函数,记为（2）从（ 1）中解得（ 3）再用的估量量ai分别代替上式中的,即可得的估量信度,又分别称信上限；（2）单侧置信区间：设为总体分布的未知参数,_与为的双侧置信下限与双侧置x1

17、、x2、.xn为取自总体x 的一个样本,对给定的数,如存在统计量满意n,就称为的置信度为的单侧置信区间,称为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载的单侧置信下限；如存在统计量,满意就称为的置信度为的单侧置信区间,称为的单侧置信上限；5.寻求置信区间的方法：一般步骤：（1） 选取未知参数的某个较优估量量（ 2）环绕构造一个依靠于样本与参数的函数（ 3）对给定的置信水平,确定与2,使2 与通常可选取满意数表查得；的与,在常用分布情形下,这可由分位（4）对不等式作恒等变形后化为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载就就为的置信度 为的双侧置信区间；6.

18、置信区间的公式：10-1 分布参数的置信区间：212a2而为未知参数,x1、x2、.xn2 设总体2,其中已知,2为取自总体x2021-2021学年第一学期期末复习资料的一个样本；均值的置信区间为： （2n, 22n）,其中,设总体精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载未知,x1、x2、.xn为取自总体x 的一个样本；均值的置信区间为： （,2sn,sn）为取自总体x 的一4 设总体个样本；2,其中未知,x1、x2、.xn方差2的置信区间为：22、的置信区间为：练习题：习题 6-2 第 1,2, 5, 6 题习题 6-3 第 3,4, 5, 6 题习题 6-4 第 4 题总习题六第 7, 8,9, 10, 16, 17, 18, 20, 21 题2021-2021精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料第 1 章随机大事及其概率2021-2021学年第一学期期末复习资料2021-2021学年第一学期期末复习资料2021-2021学年第一学期期末复习资料其次章随机变量及其分布2021-2021学年第一学期期末复习资料2021-2021精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载学年第一学期期末复习资料2021-2021学年第一学期期末复习资料2021-2021学年第一学期期末复