2022年2022年概率论与数理统计

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载概率论与数理统计完整版公式第 1 章随机大事及其概率精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1 ）排列组合公式nm.pm mn.从 m个人中挑出n 个人进行排列的可能数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cnm.mn. mn.从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2 ）加法和 乘 法 原理（ 3 ）一些常见排列（ 4 ）随机试 验 和 随机大事（ 5 ）基本领件.样本空 间 和 大事（ 6 ）大事的 关 系 与运算加法原理（两种方法均能完成

2、此事）： m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,其次种方法可由n种方法来完成,就这件事可由m+n 种方法来完成；乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）： m×n某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,其次个步骤可由n种方法来完成,就这件事可由m× n 种方法来完成；重复排列和非重复排列（有序）对立大事（至少有一个）次序问题假如一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果,就称这种试验为随机试 验；试验的可能结果称为随机大事；在一个试验下, 不管大事有多少个,总可以从其中找出这样一

3、组大事,它具有如下性质：每进行一次试验,必需发生且只能发生这一组中的一个大事；任何大事,都为由这一组中的部分大事组成的；这样一组大事中的每一个大事称为基本领件,用来表示；基本领件的全体,称为试验的样本空间,用表示；一个大事就为由中的部分点（基本领件）组成的集合；通常用大写字母a,b,c,表示大事,它们为的子集；为必定大事,. 为不行能大事；不行能大事 （.） 的概率为零,而概率为零的大事不肯定为不行能大事；同理,必定大事（ ）的概率为1,而概率为1 的大事也不肯定为必定大事；关系：假如大事a 的组成部分也为大事b的组成部分, （ a发生必有大事b 发生）：ab假如同时有ab , ba ,就称大

4、事a 与大事 b 等价,或称a 等于 b：a=b；a.b中至少有一个发生的大事：ab,或者 a+b；属于 a而不属于b 的部分所构成的大事,称为a 与 b的差,记为a-b,也可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载表示为 a-ab 或者 a b ,它表示a 发生而 b不发生的大事；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.b同时发生： ab,或者 ab；ab=.,就表示a与 b 不行能同时发生,称大事 a 与大事 b 互不相容或者互斥；基本领件为互不相容的；-a 称为大事a 的逆大事,或称a 的对立大事,记为a ；它表示 a 不发生的大事；互斥未必对立；运算：结合率： abc=

5、abc a b c=a b c安排率： ab c=a c b c a b c=ac bcaiai精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载德摩根率：i 1i 1abab , abab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设为样本空间,a 为大事,对每一个大事a 都有一个实数pa ,如满意以下三个条件：1° 0 pa 1,2° p =1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 7 ）概率的 公 理 化定义3° 对于两两互不相容的大事pa1 ,aia2 ,有pai 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载i 1i 1常称为可列（完全）可加性；

6、就称 pa 为大事 a 的概率；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1°2° p1 、21 pn,12 pn ；n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 8 ）古典设任一大事a ,它为由1 、2m 组成的,就有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载概型pa = 1 2 m = p1 p2 pm 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ma所包含的基本领件数 n基本领件总数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 9 ）几何概型如随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称,同时样本空间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域

7、来描述,就称此随机试验为几何概型；对任一大事a,l a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p al；其中 l 为几何度量（长度.面积.体积）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（10）加法公式（11）减法公式（12）条件概率pa+b=pa+pb-pab当 pab 0 时, pa+b=pa+pbpa-b=pa-pab当 ba时, pa-b=pa-pb当 a= 时, p b =1- pb定义设 a.b 为两个大事,且pa>0 ,就称p abp a为大事 a 发生条件下,事精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载件 b

8、发生的条件概率,记为p b / ap ab ；p a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载条件概率为概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率；例如 p /b=1p b /a=1-pb/a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载乘法公式：p abp a pb / a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（13）乘法更一般地,对大事a1, a2,an,如 pa1a2an-1 >0 ,就有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载公式p a1 a2an1 ；anp a1p a2 |a1 p a3 |a1 a2p an |a1a2精品学习资料精选学习资料 - - -

9、欢迎下载两个大事的独立性设大事 a .b 满意p abp ap b ,就称大事a .b 为相互独立的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如大事 a . b 相互独立,且p a0 ,就有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p b | ap abp ap ap b p ap b 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（14）独立性如大事 a . b 相互独立, 就可得到a 与 b . a 与 b . a 与 b 也都相互独立；必定大事和不行能大事. 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载多个大事的独立性设 abc为三

10、个大事,假如满意两两独立的条件, pab=papb ； pbc=pbpc ； pca=pcpa 并且同时满意pabc=papbpc那么 a.b.c 相互独立；对于 n 个大事类似；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设大事b1、 b2、 bn 满意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（15）全概公式1° b1、 b 2、na、 bn 两两互不相容,bipbi 0i1、2、 n ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2°i 1,就有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p ap b1 p a | b1p b 2 p a | b2pbn p

11、 a |bn ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设大事b1 , b 2 ,bn 及 a 满意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1°b1 ,b2 ,nbn 两两互不相容,p bi >0, i1, 2, n ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2°i就bi1, p a0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（16）贝叶斯公式p bi/ apbi p a / bi np b j p a / b j , i=1 , 2,n；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载j 1此公式即为贝叶斯公式；精品学习资料精选学习资料 -

12、 - - 欢迎下载p bi ,（ i1 , 2 , n ）,通常叫先验概率；pbi/ a,（ i1 , 2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n ）,通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了 “由果朔因”的推断；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（17）伯努利概型我们作了 n 次试验,且满意每次试验只有两种可能结果,a 发生或 a 不发生；n 次试验为重复进行的,即a 发生的概率每次均一样；每次试验为独立的,即每次试验a 发生与否与其他次试验a 发生与否为互不影响的；这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验；精品学习资料精选学习资料 - -

13、- 欢迎下载用 p 表示每次试验a 发生的概率,就a 发生的概率为1pq ,用pnk 表精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载示 n重伯努利试验中a 显现k 0kn 次的概率,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pn kkcn pk q n kk,0、1、2、 n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）离散型 随 机 变量 的 分 布律其次章随机变量及其分布设离散型随机变量x 的可能取值为xkk=1、2、 且取各个值的概率,

14、即大事x=xk 的概率为px=xk =p k, k=1、2、,就称上式为离散型随机变量x 的概率分布或分布律；有时也用分布列的形式给出：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx1、 x2、|、 xk 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p xxk p1、 p 2、 pk 、；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载明显分布律应满意以下条件：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1） pk0 , k1、2、pk1,（ 2） k 1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）连续型 随 机 变设 f x

15、为随机变量x 的分布函数, 如存在非负函数xf x ,对任意实数x ,有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载量 的 分 布f xf x dx,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载密度就称 x 为连续型随机变量；率密度；f x 称为 x 的概率密度函数或密度函数,简称概精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载密度函数具有下面4 个性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1°fx0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2°（3）离散f xdx1；精品学习资料精选学习资料 - - -

16、欢迎下载与 连 续 型随 机 变 量p xx) p xxxdxf xdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的关系积分元f xdx 在连续型随机变量理论中所起的作用与p xxk pk 在离精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载散型随机变量理论中所起的作用相类似；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）分布函数设 x 为随机变量,x 为任意实数,就函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xp xx称为随机变量x 的分布函数,本质上为一个累积函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p axbf bf a 可以得到x 落入区间a、 b 的概率；

17、分布精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数 f x 表示随机变量落入区间（, x 内的概率；分布函数具有如下性质：1°0f x1、x；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2°f x 为单调不减的函数,即x1x2 时,有f x1f x2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3°f limxf x0 ,f limxf x1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4°f x0f x ,即f x 为右连续的；精品学习资料精选学习资

18、料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5°p xxf xf x0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于离散型随机变量,f xpk ；x kx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于连续型随机变量,f xxf x dx；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（5）八大分布0-1 分布px=1=p、 px=0=q二项分布精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 n 重贝努里试验中

19、,设大事a 发生的概率为p ；大事 a 发生精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载kknk的次数为随机变量,设为x ,就 x 可能取值为0、1、2、n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p xk pn k c n p q,其中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q1p、0p1、k0、1、2、 n ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 称 随 机 变 量 x 服 从 参 数 为 n , p 的 二 项 分 布 ； 记 为kx b n、 p ；精品学习资料精选学

20、习资料 - - - 欢迎下载当 n1时,p xk p k q1, k0.1 ,这就为（ 0-1 ）分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载布,所以（ 0-1 ）分布为二项分布的特例；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载泊松分布设随机变量x 的分布律为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p xk ke,0 , kk.0、1、2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就称随机变量x 听从参数为的泊松分布,记为x 或者 p ；泊松分布为二项分布的极限分布（np=, n）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载超几何分布p xkckmn kkcn m 、0、

21、1、2、l精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载clnnmin m 、 n随机变量x 听从参数为n、n、m 的超几何分布,记为hn、n、m ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载几何分布p xkqk1 p、 k1、2、3、,其中 p0, q=1-p ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载随机变量x 听从参数为p 的几何分布,记为gp ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载匀称分布设随机变量x 的值只落在 a ,b 内, 其密度函数1f x 在a ,b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上为常数,即ba1、f xba0、a x b其他,精品学习资料

22、精选学习资料 - - - 欢迎下载就称随机变量x 在 a , b 上听从匀称分布,记为xua , b ；分布函数为0,x<a,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xxf xdxxa 、baa x b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1,x>b ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a x 1<x2 b 时, x 落在区间（x1 、 x2 ）内的概率为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p x1xx2 x2x1；ba精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载指数分布f xex 、0、x0 、x0 、精品学习资料精选学习资料

23、- - - 欢迎下载其中0 ,就称随机变量x 听从参数为的指数分布；x 的分布函数为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x1ex 、0、x0 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载记住积分公式：x<0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载正态分布x n e x dxn.0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设随机变量x 的密度函数为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x x1e2222,x,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中.0 为常数,就称随机变量x 听从参数为.精

24、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的正态分布或高斯（gauss）分布,记为f x 具有如下性质：x n 、2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1°f x 的图形为关于x对称的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2°当 x时, f 21为最大值；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 x n 、x ,就t22x 的分布函数为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x12e2dt；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载参数0 .1 时的正态分布称为标准正态分布,记为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

25、x n 0、1 ,其密x度2函数记为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x12e2,x,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分布函数为xt 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x1e 22dt ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x 为不行求积函数,其函数值,已编制成表可供查用；1-x 1- x 且 0 ；x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如 x n 、2 ,就 n 0、1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p x1xx2x1x2 ；精品学习资料精选学习资料 - -

26、- 欢迎下载（6）分位数下分位表：上分位表：p xp x；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（7）函数分布离散型x已知的分布列为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xp xxix1、p1、x2、p2 、xn、,、pn 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yg x 的分布列（yig xi 互不相等）如下：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yp yyi g x1、p1、g x2、p 2、g xn 、,、pn 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连续型如有某些g xi 相等,就应将对应的pi 相加作为g xi 的概率；精品学习资料精选学习资料

27、 - - - 欢迎下载先利用 x 的概率密度f xx 写出 y 的分布函数fyy pgx y ,再利用变上下限积分的求导公式求出f yy ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1 ）联合分布离散型第三章二维随机变量及其分布假如二维随机向量（ x, y）的全部可能取值为至多可列个有序对（ x、y ）,就称为离散型随机量；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设=（ x,y）的全部可能取值为 xi 、 y j i 、 j1、2、 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且大事 = xi 、 y j 的概率为 pij、 、

28、称精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p x 、 y xi 、 y j piji 、 j1、2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为=（x, y）的分布律或称为x 和 y 的联合分布律；联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：y1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jyx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xipi1pij精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这里 pij 具有下面两个性质：（ 1） pij 0（ i、j=1、2、）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）ijpi

29、j1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连续型对 于 二 维 随 机 向 量 x 、 y , 如 果 存 在 非 负 函 数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x、yx、y ,使对任意一个其邻边精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分别平行于坐标轴的矩形区域d,即d=x、y|a<x<b、c<y<d有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载px 、ydf x、 ydxdy、d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就称为连续型随机向量；并称fx、y为=（ x, y）的分布密度或称为

30、x 和 y 的联合分布密度；分布密度fx、y具有下面两个性质：（ 1）fx、y 0;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）f x、 ydxdy1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2 ）二维随 机 变 量的本质 xx、yy xxyy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3 ）联合分布函数设（ x, y）为二维随机变量,对于任意实数x、y、二元函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x、 yp xx、 yy称为二维随机向量（x,y）的分布函数,或称为随机变量x 和 y 的联合分布函数；分 布函

31、数为一个 以全平面为其 定义域,以事件精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 、2 |x 1 x、y 2 y 的概率为函数值的一个实值函精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数；分布函数fx、y具有以下的基本性质：（ 1） 0f x、 y1;（ 2） f（x、y ）分别对 x 和 y 为非减的,即当 x2>x1 时,有 f（ x2、y ） fx 1、y;当 y2>y 1 时,有 fx、y 2 fx、y 1;（ 3） f（x、y ）分别对 x 和 y 为右连续的,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x、 yf x0、 y、 f x、 yf x、 y0

32、;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4） f 、f 、 yf x、0、 f 、1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5）对于 x1x2,y1y2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x2,y2 f x2,y1 f x1, y2 f x1,y1 0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4 ）离散型 与 连 续型的关系p xx, yy) p xxx dx,

33、 yyy dy f x, y dxdy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5 ）边缘离散型x 的边缘分布为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分布pip xxi pijji 、 j1、2、 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y 的边缘分布为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p jpyy j pijii、 j1、2、 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连续型x 的边缘分布密度为f x xf x、 y dy；y 的边缘分布密度为f y yf x、 y dx.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 6 ）条件分布离散型在已知

34、x=xi 的条件下, y 取值的条件分布为p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pyy j | xxi ij ；pi精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在已知 y=yj 的条件下, x 取值的条件分布为pij精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pxxi |yy j 、p j精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连续型在已知 y=y 的条件下, x 的条件分布密度为f x、 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x | y；fy y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在已知 x=x 的条件下, y 的条件分布密度为精品学习资料精选学习

35、资料 - - - 欢迎下载f y | xf x、 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 7 ）独立性一般型fx、y=f xxf yy离散型精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pijpi p j精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有零不独立连续型fx、y=fxxfyy直接判定,充要条件：可分别变量正概率密度区间为矩形二维正态分21x12 x21 y2 y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载布f x、 y2 011212 12 1e21 22、精品学习

36、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载随机变量的函数如 x1、x 2、xm、x m+1、xn 相互独立,h、g为连续函数,就：h（x1, x2、xm）和 g（ xm+1、xn）相互独立；特例：如x 与 y 独立,就： h（ x）和 g（y）独立；例如：如x 与 y 独立,就： 3x+1 和 5y-2 独立；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 8 ）二维匀称分布设随机向量（x, y）的分布密度函数为1sd x、 yd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x、 y0、其他其中 sd 为区域 d的面积,就称（ x,y）听从 d 上的匀称分布,记为（x,y）u（ d）；例如图

37、 3.1 .图 3.2 和图 3.3 ；y1d1o1x图 3.1y1d2o2x1图 3.2ydd3coabx图 3.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 9 ）二维正态分布设随机向量（x, y）的分布密度函数为12x12 x21 y2 y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x、 y211212 12 1e21 22、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中1 、2 、10、20、 |1为 5 个参数,就称（ x,y）听从二维正态分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

38、- 欢迎下载布,记为（ x,y） n（、21 、2、12.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载、1222 、由边缘密度的运算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1即 x n（、2 、 y n 2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1212、（10）函数但为如 x n（z=x+y、2 、 y n 2 , x, y 未必为二维正态分布；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据定义运算：分布fz zpzz) p xyz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

39、迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于连续型, f zz f x、 zxdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12 、12 ） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍听从正态分布；c,2c 22iiiiii精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载z=max、min x 1、x 2、x n如x 1 、 x 2x n相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12fx x,fx

40、xfx x ,就z=max、minx 1 、x 2、x n的分布精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n函数为：fmax x1fx x12fx xn2nfx x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fmin x11fx x1fx x1fx x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2分布设 n 个随机变量x 1 、 x 2 、 x n 相互独立,且听从标准正态分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载布,可以证明它们的平方和2nwx ii 1的分布密度为精品学习资料精选学习资

41、料 - - - 欢迎下载f u1n2 2n20、nu1u 2e 2u0、u0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载我们称随机变量w听从自由度为n 的2 分布,记为 w2 n ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中nnx2201e x dx.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所谓自由度为指独立正态随机变量的个数,它为随机变量分布中的一个重要参数；2分布满意可加性：设iiy2 n 、就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载kzyi i 12 nnn k .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12t 分布设 x, y 为两个相互独立的随机变量,且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x n 0、1、y 2 n、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可以证明函数txy / n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的概率密度为2n1n 12f t21tt.nnn2我们称随机变量t 听从自由度为n 的 t 分布,记为t tn；t1ntn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f分布设 x 2 n、 y 2 n ,且x 与 y 独 立 ,可以