天津市南开中学滨海生态城学校2021-2022高二数学下学期期中试题(含解析)

1、重点中学试卷可修改欢迎下载天津市南开中学滨海生态城学校2021-2022高二数学下学期期中试(含解析)一、单选题(共12小题).1. 为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数斤分别为0.97, 0. 86, 0. 65, 0. 55,则拟合效果最好的回归模型对应的相 关指数用的值是()A. 0. 97B. 0. 86C. 0. 65D. 0. 55【答案】A【解析】【分析】在回归分析中，模型的相关指数斥越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解.【详解】由题意，四种模型的相关指数F分别为0. 97, 0.86, 0.65, 0. 55,根据在回

2、归分析中，模型的相关指数斤越接近于1，苴拟合效果就越好，可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数斤的值是0. 97.故选：A.【点睛】本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数斥越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题.2. 函数f(x)的定义域为R,导函数f, (X)的图象如图所示，则函数f(x)().-3-A. 无极大值点，有四个极小值点B. 有三个极大值点，两个极小值点C. 有两个极大值点，两个极小值点D. 有四个极大值点，无极小值点【答案】C【解析】试题分析：所给图象是导函数图象，只需要找出与X轴交点，才能找出原函数的单调区间，从

3、而找出极值点；由本题图中可见与X有四个交点，其中两个极大值，两极小值.考点：函数的极值.3. 随着国家二孩政策的全而放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生冇意愿，某机构 用简单随机抽样方法从不同地区调査了 IOO位冇龄妇女，结果如表.非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100附表:P(K1k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828由"*如- 算得, = IOO×(45×22-20×13)9616ct( + 6(c + d)( + c)(b + d)58×42×35×65表

4、，得到的正确结论是()A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为"生育意愿与城市级别有关”B. 有99%以上的把握认为"生冇意愿与城市级别有关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为"生冇意愿与城市级别无关”D. 有99%以上的把握认为"生冇意愿与城市级别无关”【答案】B【解析】分析：根据独立性检验求得K?值，与临界值比较，即可判断是否有关.详解：根据KI = 1×(45r220×13) 9.616>6.63558×42×35×65所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”

5、，或在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“生冇意愿与城市级别有关”所以选B点睛：本题考查了独立性检验的基本内容，主要是注意两种不同回答方式，属于简单题.4. 已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用§表示，那么的取值为()A. 0, 1B. 1, 2C. 0, 1, 2D. 0, 1, 2,3【答案】C【解析】【分析】利用已知条件，可直接推岀§的取值，得到答案.【详解】由题意，从8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品 件数为随机变量，可得随机变量的取值可以是0, 1, 2.故选：C.【点睹】本题主要考查了离散型随机变量的取值的判断及求解，

6、其中解答中正确理解题意是解答的关键，属于基础题.5. 已知X的分布列为X101P1213167且 Y=aXjr3, 5 (D= 一，则 a 为()3A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用期望的计算公式，计算出盛，再由期望的性质，戶訪3, E(Y) = UE(X) + 3求岀&即 可.【详解】先求出E(X)= (i) ×l + o×l×l = -l2363再由 Y=aXV3 得 E(F) = dE(X) + 3.71 = a ()+3» 解得 a=233故选：B.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望及期望的性质，考査了基

7、本运算的能力，属于 基础题6. 设两个正态分布N(1. 12)(o1>0)和N(=, )(3>0)的密度函数图象如图所示，则 有()A. 1< -, O < O 2B. U 1< U-, O 1> O C. 1> c, O < sD. 1> 3, i> o 2【答案】A【解析】由密度函数的性质知对称轴表示期望，图象胖瘦决左方差，越瘦方差越小，越胖方差越大, 所以 i< , 1< o 故选 A.考点：正态分布.7. 从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件 下，第二次取到红球的概率为()

8、A. AB. 2C.丄D Z102523【答案】C【解析】重点中学试卷可修改欢迎下载【分析】根据条件概率的计算方法，先求出取两次球，第一次取到红球的取法数，然后求出第一、二 次都取得红球的取法数，代入公式，即可求解.【详解】因为从装由3个红球2个白球的袋子中，所以先后取2个球，取后不放回，则第一次取到红球的取法数，共有C；C；=12,第一、二次都取到红球的取法数，共有C*C1=6,故第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的槪率为尸=2 =.12 2故选：C.【点睛】本题主要考查条件概率的计算方法，以及计数原理的应用，英中解答中要注意对条 件概率的理解与计算方法，着重考査了分析问题和解答问题的能

9、力.8. 设函数 f(x) = ex+x-2, g(x) = nx+x2-3 若实数""满足 f(a) = Ot g(b) = O则( )A. g(a)<O<f(b)B. f(b)<O<g(a)C. Ovg()v(b)D. f(b)<g(a)<O【答案】A【解析】【详解】试题分析：对函数f(x) = ex + x-2求导得f,(x)=ex +1 ,函数单调递增， /(0) = 1(Oj(I) = e + l),由 f() = O 知 0<dVl,同理对函数 S(X) = nx + x2-3 求 导，知在定义域内单调递增，g(l) =

10、 -2v,由g(b) = 0知b>l,所以g(a)<O<f(b). 考点：利用导数求函数的单调性.【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数f(x) = ex + x-2求导得 f,M=ex+>0.函数单调递增，/(0) = 1(0J(I) = e+l),进一步求得函数 f(x) = ex+x-2的零点0 VdVl:同理对函数(X) = InX+ -3求导，知在定义域内单调 递增，g(l) = -2<0,由 g(b) = O知g(x) = lnx + F 一3 的零点b>l9所以'g (a) Inaa 3Vg (1) =71+1 3= - 2&l

11、t;0,f (b) =e+6-2>(l) =r÷l -2 = e- l>0. 即 g(d) <O< f(b).9. 4爼同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课 程，不同报法的种数是()A. 81B. 64C. 24D. 16【答案】A【解析】【分析】利用排列、组合中的乘法原理求得结果.【详解】解：T每名同学都有3种报名方案，.四爼同学共有3×3×3×3=81种报名方案. 故选：A【点睹】本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用，属于基础题.10. (1+2/) (l+x)'的展开式中f

12、的系数为A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指左项的系数.【详解】由题意得玄的系数为C'+2C=4 + 8 = 12,故选A.【点睛】本题主要考查二项式沱理，利用展开式通项公式求展开式指左项的系数.11. 已知函数f(x) = ex-n+l的图象为曲线C ,若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数川的取值范围是()A. -OoJB. ,+)C. JD. (,+oo)【答案】B【解析】函数f (X) =es-mx+l的导数为f, (X)二eJn,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，即有-#-重点中学试卷 可修改 欢迎下载ex-

13、m = -有解,即m = ex + -由ex>0,则皿> 丄则实数m的范围为丄,+sCeee故选BZ、4<x -z(xO)12. 若函数= 3 IZ有三个不同的零点，则实数G的取值范围是()X -ax+2(x>0)A. (1,2B. (2,4C. (3,4D. (3,5)【答案】C【解析】【分析】由题意可知>0且a,故函数s = X3 -OX + 2(% > 0)最多两个零点，故函数(-) = 4ax - U(X 0)必须有零点，而函数(力=4ax - ax < 0)是单调函数，故函数(x) = 4ax - a(x 0)最多有一个零点,所以得出函数(x

14、) = 4ax - a(x 0)必须有一 个零点，函数g(x) = j - Or + 2(x > 0)必须有两个零点，再结合图象，根拯函数零点存 在定理得出的范羽【详解】解：由题意可知d>O且,当x>0时，函数 g(x) = P- v + 2 的导函数为 g,(x) = 3x2 - a,所以函数g(x) = X5 - Q + 2在(0,g)为减函数，在(£,+S)为增函数，故函数g(r) = x, - v + 2(x > 0)最多两个零点；而当x0时，函数加刃=4ax - ax < 0)是单调函数，故函数瓜Q = 4ax - a(x 0)最多有一个零点；

15、根据上述分析可以得岀：函数g(x) = - or + 2(x > 0)必须有两个零点，函数h(x) = 4ax - a(x 0)必须有一个零点.当x>0时,在函数g(x) = 5 一 ax + 2 中,-# -因为 g(0) = 2>0, J詈+2 <0,解得>3,当0 VdV 1时，函数加力=4ax是单调递减, h(0) = 4 -a > 0,不满足题意, 当“>1时，函数<Q = 4ax °是单调递增，因为/7(x) = 4ax _ a在x0时有一个零点，则瓜0) = 4-a0,解得：4综上：3va4,故选C.【点睛】本题考査了分段

16、函数的零点问题，解题时运用了数形结合、分类讨论等思想方法进 行求解，属于较难题.二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13. /(x) = x(2019+ln),若/V0) = 2020,则XO=.【答案】1【解析】【分析】先求导数，然后根据,() = 2020,列出方程，即可求解心的值，得到答案.【详解】由题意，函数/(x) = x(2019+lnx),可得f (x) = 2020+lnx ,因为 () = 2020,可得 2020 + In Xo = 2020 ,即 Inx0=O,解得 x0=l.故答案为：1【点评】本题主要考查了考査导数的运算及应用，其中解答中熟记导数的运算法

17、则，准确运 算是解答的关键，属于基础题.14. 已知随机变量§服从正态分布艸(3, /),且尸(§>2) =0.85,则尸(3VgV4)=重点中学试卷 可修改 欢迎下载【答案】0.35【解析】【分析】由已知求得"，再由正态分布曲线的对称性求得P (2< <3),则答案可求.【详解】解：随机变量§服从正态分布(3,，)，“ =3,VF (>2) =0.85, ：.P (2<<3) =0. 85 - 0.5=0. 35,则 P (3< <<4) =P (2< <3) =0. 35.故答案为：0

18、.35.【点评】本题考査正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考査正态分布曲线的对称性， 属于基础题.15. 要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是【答案】60【解析】【分析】直接用排列数公式汁算.【详解】根据排列的左义，可知一共有虫= 5X4X3 = 60种.故答案为：60.【点评】本题主要考查排列的应用.考查了泄义法，逻辑推理能力和数学运算能力，属于容 易题.16. (J?一去)&的展开式中常数项是.【答案】-160【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求得第2÷1项，令X的指数为0得常数项.【详解】展开式的通项为T1=(-2)rC3-r令3r=0得

19、r=3所以展开式的常数项为(-2)3C=- 160故答案为：-160.【点睛】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特左项问题的工具.1 317. 若函数f (x) = - x2+ax÷4恰在一1, 4上单调递减，则实数a的值为32【答案】一4【解析】1 3Vf(X) = X3 x2÷ax+4t32f, (X)=X2-3x+a.又函数f(x)恰在-1,4±单调递减,-l, 4是F(X)= 0的两根-IO-18袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是.54 【答案】125【解析】【分析】3每次取到黄球的概率均为二，利

20、用”次独立重复试验中事件A恰好发生R次的概率计算公式能求出3次中恰有2次抽到黄球的概率.【详解】袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次.每次抽取1球,3每次取到黄球的概率均为,3次中恰有2次抽到黃球的槪率为：Y(I)环54125故答案为:54125【点睛】本题考查概率的求法，考査"次独立重复试验中事件A恰好发生R次的概率计算公 式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题题.19已知 f(x) =Inx, g (AO =-j+-(22?<0),直线与函数 f (AO, S (x)的图象都 2 2相切，且与函数f(0的图象的切点为(1, f (I),则加的值为【答案】-2【解析

21、】【分析】重点中学试卷 可修改 欢迎下载由题意，V) = -> g (Q =(0<O),从而可得直线，的斜率为k=ff =1,切点 X为(1, 0)：从而求岀直线方程，联立令A=O即可求岀加的值.【详解】解：由题意，厂(X)=丄，故直线 < 的斜率为k=ff =,X切点为(1, 0)；故直线2的方程为y=- 1：即 X - y - 1 = 0：由丄.+zn,v+- = y, y=-l 消 y 得，2 2+2 S-I)M9=0,故厶= 4(T)24x9=0，解得，JH= - 2 (j<0);故答案为：-2.【点睛】本题考査了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了基本不

22、等式的应用，属 于中档题.20. 已知函数f(x)是建义在斤上的奇函数，当x>0时，/(.y) + (x) >0,且f (3)=0,则不等式Xf(X)>0的解集是【答案】(-8, -3) U (3, +8)【解析】【分析】令g(x)=xf(x)t g'()=()+h'(),当>o时，+,()>o,可得x(0, +8) 上，函数g(x)单调递增.由y*(3)=0,可得g(3)=0.由函数/(X)是泄义在斤上的奇函数, 可得函数g()是左义在斤上的偶函数.进而得岀不等式的解集.【详解】解：令 g(x) =妙(X), g,(x)=f(x) + f,(x)

23、当 X>0 时，/(X) + ,()>O. (0, +8)上，函数g(x)单调递增.f(3)=0, .g(3)=0.函数/(X)是圧义在斤上的奇函数，函数g()是泄义在斤上 偶函数.由 g(x)>gg(3),即g(x)>g, .y >3,解得x>3,或XV - 3.不等式 V(X)>0 的解集是(>, - 32(3,+S).故答案为：(Yo,-3)53,+S).【点睹】本题考査了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演

24、算步骤.21. 每年9月第三个公休日是全国科普日.某校为迎接2021年全国科普日，组织了科普知识 竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答(每道题被选中的概率相等)，设随机变虽：表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个 数.(I) 求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；(II) 求随机变量§分布列及数学期望.3【答案】(I )二(II)分布列见解析，1【解析】【分析】(I )设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件4,利用古典概型求解即可.(II)由题意可知M = O,1,2：求出概率可得到§的分布列，再由期望公式即可求得期望.【

25、详解】(I )根据古典概型概率求法，可设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件A, 则选中2道“生态环保题”,(II)由题意可知§ = 0,1,2：Ci 1 则 = O)= = -所以g的分布列为:012P153515/ 、13I故§ 的期望 E() = 0×-+ 1×-+ 2×- = l 【点睛】本题考査古典概型概率求法，离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，属于基础题.2 322甲，乙两人进行左点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是一和二，每次投篮3 5相互独立互不影响.(I )甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件4求事件月

26、发生的概率：(II)甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X求随机变量*的分布列及数学期望:(In )甲投篮5次，投中次数为 仆 求=2的槪率和随机变量§的数学期望. 【答案】(I) ： (II)分布列见解析，：(III),15152433【解析】【分析】(I)先求岀甲乙两人都未投中的概率，再根据对立事件的槪率进行计算即可:(II)随机变量X的可能取值为0丄2,然后根据相互独立事件的概率逐一求岀每个X的取值，求得相应的概率，得出分布列，进而求岀数学期望；2(Ill)随机变咼gB(5,_),根据二项分布的性质求概率和数学期望即可.I _2【详解】(I)设甲投中为事件万，乙投中为事件G则P

27、(B) = -, P(C) = -,_1711i所以 P(A) = I-P(B)P(C) = I-X- = -.(II)随机变量X的可能取值为0,1,2,1 2 2221372 3 2则 P(X =O) = -X- = , P(X=I) =-×- + -×- = , P(%=2) = -×- = -t3 5 153 5 3 5 153 5 5所以随机变量X的分布列为-13-重点中学试卷 可修改 欢迎下载XO12P2157152577219所以数学期望 E(X) = O×- + l×- + 2×j = -.2(HI)甲投篮5次，投中次数

28、为S可得随机变量所以P(DY(孑(»磐2 10 所以随机变量数学期望E() = 5×- = -【点睛】本题考査独立事件的概率、相互独立事件的概率、离散型随机变屋的分布列与数学期望，以及二项分布的数学期望计算，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力.323. 已知函数f (AO対1 (a斤)2(1) 当a=2时，求曲线y=f3 在点(1, f (D)处的切线方程；(2) 当 a<0 时，设 (JV) =f(Q +jv. 求函数g (X)的极值； 若函数g(0在1, 2上的最小值是-9,求实数a的值.【？?系】(1)8- y- 4=0： (2)极大值是1,极小值为,32【解

29、析】【分析】(1) 求出导数，再求岀/(1)J'(1),然后代入直线的点斜式，求出切线方程：(2) 求出导数的零点，然后判断零点左右的符号，确泄极值情况；因为函数连续，所以 只需综合极值、端点处函数值，大中取大，小中取小，确立函数的最值.【详解】解：(1)当 a=2 时，f (Q =+3y-÷l, r(x)=3+6- h：.k= (l)=8> rd) =4,故切线方程为厂 4 = 8 (-Y-1), Eip： 8-y-4 = 0.3 (2)g(X)=/ (-¥)+-Y= + -62 +1 > a<0.2'令 gt (X) =3+3"

30、;=3t (Ar+a) =O 得-Yl=O, Ah= - a>AT随着X的变化，g (X)和X (X)的变化如下:X( 8, 0)0(0,- a) a( a, +8 )g (X)+0-0S 3t极大值I极小值t所以(AO的极大值是§(0)=1；极小值为g(小=心22g' (Af) =3Y+3<2-r=3. (÷)t(1) 当-IWaV0 时，g, (X)鼻0, g (X)在1, 2内递增，322g (-y) a=g(1) = g + 2 = -9, a = -一<-1 (舍去)23(2) 当-2<a< - 1时，则x、g9 (易 g(X

31、)关系如下：X(1,- a)-a( &, 2)S (.y)-0=S (Ar)I极小值t5 (-v)( - a) =l + l = -9, f = -20<-2 (舍)2(3) 当a -2时，g (Q在1, 2内单调递减，g (X) Mia= g (2) =6ct+9= - 9, a= - 3.综上可知，a= - 3.【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数研究单调性、极值、最值是最常见的考查模式.同 时考查学生的逻借推理能力、数学运算能力.24. 已知函数 h (,) =Ye'» f (Ar) h (,) - ae ( a ,).(I) 求函数h(A-) 单调区间；(II) 若m為，及 (1, 2),且為H抡，使得f (出)=f (及)成立，求a的取值范围：(III) 若函数f(X)有两个不同的极值点必，疋，求证：/ (O f (疋)<4e =.【答案】(I)增区间是(-8, - 2), (0, +8)；减区间是(-2, 0). ( II ) (3, 8). (III) 见解析【解析】【分析】(I) 求得函数的导数，根据函数f(X)导数的符号，然后确龙原函数的单调性：(II) 要满足题意，只需函数在(1，2)内有增有减，即