2022年2022年新人教版八级数学下册勾股定理知识点和典型例习题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载新人教版八年级下册勾股定理全章学问点和典型例习题一.基础学问点： 勾股定理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为 c ,那么 a2b 2c 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦 早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四, 弦五 ”形式的勾股定理,后来人们进一步发觉并证明白 直角三角形的三边关系

2、为：两直角边的平方和等于斜边的平方 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多,常见的为拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路为dc图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变h依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理eg f精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载常见方法如下：2方法一： 4 sss, 41 ab2bac,化简可证baacbb a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法二：正方形 efgh正方形 abcd2ac cbcbca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四个直角三角形的

3、面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三abaad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载角形的面积与小正方形面积的和为s41 abc 2222abc大正方形面bc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载e积 为222a2b2c2c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s aba2a bb所 以方 法 三 ：abbc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s梯形1 ab ab ,s梯形2s ades abe21 ab1 c 2 ,化简得证精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222 .勾股定理的适用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关

4、系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需明白所考察的对象为直角三角形2222.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长,求第三边在abc 中,c90 ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22cab, bca , acb 知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载关系可运用勾股定懂得决一些实际问题2 .勾股定理的逆定理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22假如三角形三边长a , b , c 满意 ab斜边c ,那么这个三角形为直角三角形,其中c 为精品学习资料精选

5、学习资料 - - - 欢迎下载22勾股定理的逆定理为判定一个三角形为否为直角三角形的一种重要方法,它通过“数转精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载化为形 ”来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时,可用两小边的平方和ab 与较长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载边的平方c 2 作比较,如它们相等时,以a , b , c 为三边的三角形为直角三角形；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b2c2 ,时, 以 a , b , c 为三边的三角形为钝角三角形；如 a2b2c2 ,时,以 a , b ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c 为三边的三角

6、形为锐角三角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2定理中 a , b , c 及 a2b2c 2 只为一种表现形式,不行认为为唯独的,如如三角形三精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22边长 a , b , c 满意 ac斜边b ,那么以 a , b , c 为三边的三角形为直角三角形,但为b 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成： 当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形为直角三角形2 .勾股数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即 a 2b正整数

7、时,称a , b , c 为一组勾股数c 中, a ,b ,c 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3、4、5 ； 6、8、10 ； 5、12、13 ； 7、24、25 等用含字母的代数式表示n 组勾股数：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n21、2n、n 21 （ n2、 n 为正整数）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2n1、2n22n、2 n22n1（ n 为正整数） m2n2 、2 mn、 m2n2 （ mn、m , n 为正整数）精品学习资料精选学习资料 - - -

8、 欢迎下载勾股定理的应用勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题 在使用勾股定理时, 必需把握直角三角形的前提条件, 明白直角三角形中, 斜边和直角边各为什么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮助线（通常作垂线） ,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形为否为直角三角形, 在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用c勾股定理及其逆定理在解决

9、一些实际问题或具体的几何问题中,为密不行分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形为直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决常a bd见图形：ccc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载30°aba10.互逆命题的概念dbbda精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题；二. 经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例 .在abc 中,c90 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知 ac已知 ab6 ,

10、 bc17 , ac8 求 ab 的长15 ,求 bc 的长分析：直接应用勾股定理a2b2c2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：abac2bc 210精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 bcab 2ac8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 假如梯子的底端离建筑物9 米,那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度为多少米？解析： 这为一道大家熟知的典型的“知二求一” 的题；把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理！

11、依据勾股定理ac2+bc2=ab2、即 ac2+92=152、 所以 ac2=144、 所以 ac=12.例题 2如图（ 8）,水池中离岸边d 点 1.5 米的 c 处,直立长着一根芦苇,出水部分bc的长为 0.5 米,把芦苇拉到岸边,它的顶端b 恰好落到d 点,并求水池的深度ac.解析： 同例题 1 一样,先将实物模型转化为数学模型,如图2.由题意可知 acd中 、acd=90°、 在 rt acd中,只知道 cd=1.5,这为典型的利用勾股定理“知二求一” 的类型；标准解题步骤如下（仅供参考）：222解： 如图 2,依据勾股定理,ac+cd=ad2设水深 ac= x 米,那么ad

12、=ab=ac+cbx=+0.5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22x +1.5=（ x +0.5 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解之得 x =2.故水深为2 米.题型三 ： 勾股定理和逆定理并用例题 3如图 3,正方形abcd中, e 为 bc边上的中点, f 为 ab上一点,1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且 fbab 那么 def为直角三角形吗？为什么？4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析： 这道题把许多条件都隐匿了,乍一看有点摸不着头脑；认真读题会意可以发觉规律,没有任何条件,我

13、们也可以开创条件,由fb1 ab4可以设 ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=4a,那么 be=ce=2a、af=3a、bf=a、 那么在 rt afd . rt bef和 rt cde中,分别利用勾股定理求出df、ef 和 de的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判定def为否为直角三角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载具体解题步骤如下：解： 设正方形abcd的边长为4a、 就 be=ce=2a、af=3a、bf= a在 rt cde中, de2=cd2+ce2=4 a 22 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同 理 ef2=5a2、 df 2=2

14、5a2+2 a =20a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222222在 def中, ef + de =5a + 20a =25a =df def为直角三角形,且def=90° .注：此题利用了四次勾股定理,为把握勾股定理的必练习题；题型四 ： 利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4,已知长方形abcd中 ab=8cm、bc=10cm在、边 cd上取一点e,将 ade折叠使点 d 恰好落在bc边上的点f,求 ce的长 .解析： 解题之前先弄清晰折叠中的不变量；合理设元为关键；具体解题过程如下：解： 依据题意得rt ade rt aef afe=90° 、 af

15、=10cm、 ef=de设 ce=x cm,就 de=ef=cd ce=8x在 rt abf中由勾股定理得：222222ab +bf=af ,即 8 +bf=10 ,bf=6cmcf=bc bf=10 6=4cm在 rt ecf中由勾股定理可得： ef2 =ce2+cf2,即 8 x 2 =x2+4264 16x +x 2=2+16x =3cm、 即 ce=3 cm注：此题接下来仍可以折痕的长度和求重叠部分的面积；题型五：利用勾股定理逆定理判定垂直例题 5 如图 5,王师傅想要检测桌子的表面ad边为否垂直与ab边和 cd边,他测得ad=80cm,ab=60cm,bd=100cm,ad边与 ab

16、边垂直吗？怎样去验证 ad边与 cd边为否垂直？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析： 由于实物一般比较大,长度不简单用直尺来便利测量；我们通常截取部分长度来验证；如图4,矩形 abcd表示桌面外形,在ab上截取 am=12cm在、ad上截取 an=9cm想想为什么要设为这两个长度？ ,连结 mn,测量 mn的长度；假如 mn=15、就 am2+an2=mn2 、 所以 ad边与 ab边垂直；222222假如 mn=a 15、 就 9 +12 =81+144=225、a 225、 即 9 +12 a ,所以 a 不为直角；利用勾股定懂得决实际问题例题 6 有一个传感器掌握的灯,安

17、装在门上方,离地高4.5 米的墙上,任何东西只要移至5 米以内,灯就自动打开,一个身高1.5 米的同学,要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析： 第一要弄清晰人走过去,为头先距离灯5 米仍为脚先距离灯 5 米,可想而知应当为头先距离灯5 米；转化为数学模型,如 图 6 所示, a 点表示掌握灯,bm表示人的高度,bc mn、bc an当头（ b点）距离a 有 5 米时,求bc的长度；已知an=4.5 米、 所以 ac=3米,由勾股定理,可运算 bc=4米 . 即使要走到离门4 米的时候灯刚好打开；题型六 ：旋转问题：例 1.如图, abc 为直角三角形,bc 为斜边, 将 abp 绕点 a 逆时

18、针旋转后, 能与 ac p重合,如 ap=3,求 pp的长；变式 1：如图, p 为等边三角形abc内一点, pa=2、pb=23 、pc=4、 求 abc的边长 .分析：利用旋转变换,将bpa绕点 b逆时针挑选 60°,将三条线段集中到同一个三角形中,依据它们的数量关系,由勾股定理可知这为一个直角三角形.变式 2.如图, abc为等腰直角三角形,bac=90°, e. f为bc上的点,且eaf=45°,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载摸索究be 2.cf2 . ef2间的关系,并说明理由.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型七 ： 关

19、于翻折问题例 1.如图,矩形纸片abcd的边 ab=10cm,bc=6cm,e 为 bc上一点,将矩形纸片沿ae 折叠,点 b 恰好落在cd 边上的点g 处,求 be的长 .变式：如图, ad 为 abc的中线, adc=45°,把 adc 沿直线 ad 翻折,点c 落在点 c的 位 置 ,bc=4、求 bc的长 .题型八 ： 关于勾股定理在实际中的应用：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1.如图,大路mn 和大路 pq 在 p 点处交汇,点a 处有一所中学,ap=160 米,点 a 到大路 mn的距离为80 米,假使拖拉机行驶时,四周100 米以内会受到噪音影响,那

20、么拖拉机在大路mn 上沿pn 方向行驶时,学校为否会受到影响,请说明理由；假如受到影响,已知拖拉机的速度为18 千米 /小时,那么学校受到影响的时间为多少？题型九 ： 关于最短性问题例 5.如右图 1 19,壁虎在一座底面半径为2 米, 高为 4 米的油罐的下底边沿a 处,它发觉在自己的正上方油罐上边缘的b 处有一只害虫, 便打算捕获这只害虫,为了不引起害虫的留意,它有意不走直线,而为围着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然突击结果,壁虎的偷袭得到胜利,获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫.（ 取 3.14,结果保留1 位小数,可以用运算器运算）变式：如图为一棱长为3cm

21、 的正方体,把全部面都分为9 个小正方形,其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,就它从下地面a 点沿表面爬行至右侧面的b 点,最少要花几秒钟？三. 课后训练：一.填空题1如图 1 ,在高 2 米,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需 米dcb ed精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c a第 4 题图图1oabf第 3 题图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2种盛饮料的圆柱形杯（如图）,测得内部底面半径为2.5 ,高为 12 ,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出 4.6 ,问吸管要做；3已知： 如图, abc 中, c = 90 ,°点

22、o 为 abc 的三条角平分线的交点,od bc,oeac ,of ab ,点d . e . f 分别为垂足,且bc=8cm , ca= 6cm ,就点o到三边ab , ac和bc的距离分别等于cm4在一棵树的10 米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的a 处；另一只爬到树顶d 后直接跃到a 处,距离以直线运算,假如两只猴子所经过的距离相等,就这棵树高 米；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 如图为一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20dm.3dm. 2dm, a 和 b 为这个台阶两个相对的端点,a 点有一只蚂蚁,想到b点去吃可口的食物,就蚂蚁沿着台

23、阶面爬到b点最短路程为 .二.挑选题1已知一个rt的两边长分别为3 和 4,就第三边长的平方为（）a .25b .14c.7d.7 或 252 rt始终角边的长为11,另两边为自然数,就rt 的周长为（）a .121b.120c.132d.不能确定 3假如 rt两直角边的比为5 12,就斜边上的高与斜边的比为（）a .60 13b .5 12c.12 13d.60 1694已知 rt abc中, c=90°,如 a+b=14cm, c=10cm,就 rt abc的面积为（）2222a .24cmb.36cmc. 48cmd.60cm 5等腰三角形底边上的高为8,周长为 32,就三角形

24、的面积为（）a .56b.48c. 40d.32a202 3b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6某市在旧城改造中,方案在市内一块如下列图的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载售价 a 元,就购买这种草皮至少需要（）aa .450a 元b .225a 元c.150a 元d.300a 元20m30m150°b第 6 题图edfc第 7 题图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7已知,如图长方形abcd中, ab=3cm, ad=9cm,将此长方形折叠,使点b 与点 d 重合,折痕为ef,就 abe22的

25、面积为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a .6cmb .8cmc.10cmd.12cm2b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8在 abc 中, ab=15,ac=13 ,高 ad =12,就 abc 的周长为ca 42b 32c 42 或 32d 37 或 339.如图,正方形网格中的abc,如小方格边长为1,就 abc为 （）（ a）直角三角形b 锐角三角形c 钝角三角形d以上答案都不对a三.运算1.如图, a.b 为笔直大路l 同侧的两个村庄,且两个村庄到直路的距离分别为300m 和 500m,两村庄之间的距22离为 d 已知 d =400000m ,现要在

26、大路上建一汽车停靠站,使两村到停靠站的距离之和最小；问最小为多少？bal2.如图 1-3-11 ,有一块塑料矩形模板abcd,长为 10cm,宽为 4cm,将你手中足够大的直角三角板phf 的直角顶点 p 落在 ad边上（不与a. d重合）,在 ad上适当移动三角板顶点p：能否使你的三角板两直角边分别通过点b 与点 c？如能,请你求出这时ap 的长；如不能,请说明理由.再次移动三角板位置,使三角板顶点p在 ad上移动,直角边ph 始终通过点b,另始终角边pf 与 dc的延长线交于点q,与 bc交于点 e,能否使ce=2cm？如能,请你求出这时ap 的长；如不能,请你说明理由.四.思维训练：1.

27、如下列图为从长为40cm.宽为 30cm 的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm,宽为 10cm 的矩形后,剩下的一块下脚料；工人师傅要将它做适当的切割,重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等,接缝尽可能短的正方形工件, 请依据上述要求, 设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图 2, 3 中分别画出切割时所沿的虚线,以及拼接后所得到的正方形,保留拼接的痕迹）；10cm40cm30cm30cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.葛藤为一种刁钻的植物,它自己腰杆不硬,为了争夺雨露阳光,经常饶着树干回旋而上,它仍有一手绝技, 就为它绕树盘升的路线,总为

28、沿着短路线 回旋前进的；莫非植物也懂得数学吗？假如阅读以上信息,你能设计一种方法解决以下问题吗？假如树的周长为3 cm,绕一圈上升4cm,就它爬行路程为多少厘米？假如树的周长为8 cm,绕一圈爬行10cm,就爬行一圈上升多少厘米？假如爬行10 圈到达树顶,就树干高多少厘米？c3 . 在 , abc中 , a cb=90 ° , cd ab于d、 求 证 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1bc 21ac 21；cd 2adb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一

29、点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的全部线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 假如两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也相互平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12 两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

30、20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边.对应角相等22 边角边公理 sas有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理 asa 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论 aas有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理 sss 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边.直角边公理hl有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线为到角的两边距离相等的全部点的集合精品学习资料精选学习资料 - - -