2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷

1、. 1 页2018 年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题， 1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54分）1 （4 分）已知集合 a=1，2，3，4，b= 2，4，5 ，则 ab=2 （4 分）不等式的解集为3 （4 分）已知，则=4 （4 分）=5 （4 分）已知球的表面积为16 ，则该球的体积为6 （4 分）已知函数 f（x）=1+logax，y=f1（x）是函数 y=f（x）的反函数，若 y=f1（x）的图象过点（ 2，4） ，则 a 的值为7 （5 分）若数列 an 为等比数列，且 a5=3，则=8 （5 分）设 abc的内角 a，b，c的对边分

2、别为 a，b，c， （a+b+c） （ab+c）=ac，则 b=9 （5 分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为10 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 r 上且周期为 4 的偶函数，当 x 2，4时，则的值为11 （5 分）已知数列 an的前 n 项和为 sn，且 a1=1，2sn=an?an+1（nn*） 若 bn=（1）n，则数列 bn的前 n 项和 tn=12 （5 分）若不等式 x22y2cx（yx）对任意满足 xy0 的实数 x、y 恒成立，则实数 c 的最大值为二.选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）设角 的

3、始边为 x 轴正半轴，则 “ 的终边在第一、二象限 ” 是“sin 0” 的（）a充分非必要条件 b 必要非充分条件c充分必要条件d既非充分又非必要条件. 2 页14 （5 分）若直线l1和 l2是异面直线， l1在平面 内，l2在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（）al 与 l1，l2都不相交bl 与 l1，l2都相交cl 至多与 l1，l2中的一条相交dl 至少与 l1，l2中的一条相交15 （5 分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中 为和的夹角，若两个非零的平面向量和 满足：； 和的夹角； 和的值都在集合中， 则的值为（）abc 1 d16 （5 分）已知函

4、数，且 f1（x）=f（x） ，fn（x）=f（fn1（x） ） ，n=1，2，3， 则满足方程 fn（x）=x的根的个数为（）a2n 个b2n2个c2n个d2（2n1）个三.解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分）17 （14 分）如图，设长方体abcd a1b1c1d1中，ab=bc=3 ，aa1=4（1）求四棱锥 a1abcd的体积；（2）求异面直线 a1b与 b1c所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18 （14 分）已知复数 z 满足，z2的虚部为 2（1）求复数 z；（2）设 z、z2、zz2在复平面上的对应点分别为a、b、c ，求 abc的面积19 （

5、14 分）一根长为 l 的铁棒 ab 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽ac=bd=2m （1）设 bod= ，试将 l表示为 的函数；（2）求 l的最小值，并说明此最小值的实际意义20 （16 分）已知函数 f（x）=2x+2x（1）求证：函数 f（x）是偶函数；（2）设 ar，求关于 x 的函数 y=22x+22x2af（x）在 x 0，+）时的值域 g. 3 页（a）表达式；（3）若关于 x 的不等式 mf（x）2x+m1 在 x（0，+）时恒成立，求实数 m 的取值范围21 （18 分）已知数列 an 满足：a1=1，nn*（1）求数列 an 的通项公式；（2）设数列 bn 的前

6、n 项和为 sn，且满足，试确定 b1的值，使得数列 bn 为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列cn ，且 c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列cn 2018 年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题， 1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54分）1 （4 分）已知集合 a=1，2，3，4，b= 2，4，5 ，则 ab=2，4 【解答】 解：集合 a= 1，2，3，4 ，b= 2，4，5，ab= 2，4 故答案为： 2，4 2 （4 分）不等式的解集为（1，0 【解答】 解：，或，解得： 1x0，故答案为（

7、1，0 3 （4 分）已知，则=【解答】 解： sin = ，cos （+ ）=sin = . 4 页故答案为：4 （4 分）=【解答】 解：=，=，故答案为：5 （4 分）已知球的表面积为16 ，则该球的体积为【解答】 解：一个球的表面积是16 ，所以球的半径为： 2，所以这个球的体积为：=故答案为：6 （4 分）已知函数 f（x）=1+logax，y=f1（x）是函数 y=f（x）的反函数，若 y=f1（x）的图象过点（ 2，4） ，则 a 的值为4【解答】 解： y=f1（x）的图象过点（ 2，4） ，函数 y=f（x）的图象过点（ 4，2） ，又 f（x）=1+logax，2=1+lo

8、ga4，即 a=4故答案为： 47 （5 分）若数列 an 为等比数列，且 a5=3，则=18【解答】 解：根据题意，=a2?a8a3?（a7）=a2?a8+a3?a7，又由数列 an 为等比数列，且 a5=3，则有 a2?a8=a3?a7=9，则=9+9=18；. 5 页故答案为： 188 （5 分）设 abc的内角 a，b，c的对边分别为 a，b，c， （a+b+c） （ab+c）=ac，则 b=【解答】 解： abc的内角 a，b，c的对边分别为 a，b，c，（a+b+c） （ab+c）=ac，即 a2+c2b2=ac，又 cosb=，b=，故答案为：9 （5 分）若的二项展开式中的所有

9、二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120【解答】 解：由题意可知， 2n=256，解得 n=8=，其展开式的通项=，令 82r=0，得 r=4该展开式中常数项的值为故答案为： 112010 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 r 上且周期为 4 的偶函数，当 x 2，4时，则的值为【解答】 解：函数 f（x）是定义在 r上且周期为 4 的偶函数，又当 x 2，4 时，f（）=f（）=故答案为：11 （5 分）已知数列 an的前 n 项和为 sn，且 a1=1，2sn=an?an+1（nn*） 若 bn=. 6 页（1）n，则数列 bn的前 n 项和 tn=1+【解答】 解：

10、 2sn=an?an+1（nn*） 当 n2 时，2sn1=an1?an，2an=2sn2sn1=an（an+1an1） ，a1=1，an0an+1an1=2，（an+1an）+（anan1）=2，anan1=1，数列 an 是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列，an=1+（n1）=n，bn=（1）n=（1）n?=（1）n?（+） ，数列 bn的前 n 项和 tn=（1+）+ （+）（+）+ +（1）n?（+） ，当 n 为偶数时， tn=1+，当 n 为奇数时， tn=1+（+）=1，综上所述 tn=1+，故答案为： 1+12 （5 分）若不等式 x22y2cx（yx）对任意满足 xy

11、0 的实数 x、y 恒成立，则实数 c 的最大值为24【解答】 解：不等式 x22y2cx（yx）对任意满足 xy0 的实数 x、y 恒成立，c=，令，. 7 页=f（t） ，f （t）=，当 t时，f （t）0，函数 f（t）单调递增；当 1t时，f （t）0，函数 f（t）单调递减当 t=2+时，f（t）取得最小值，=24实数 c的最大值为 24故答案为：4二.选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）设角 的始边为 x 轴正半轴，则 “ 的终边在第一、二象限 ” 是“sin 0” 的（）a充分非必要条件 b 必要非充分条件c充分必要条件d既非充分又非必要条件【解

12、答】 解：角 的始边为 x 轴正半轴，“ 的终边在第一、二象限 ” ? “sin 0” ，“sin 0” ? “ 的终边在第一、二象限或的终边在 x 轴正半轴 ” ，“ 的终边在第一、二象限 ” 是“sin 0” 的充分非必要条件故选： a14 （5 分）若直线l1和 l2是异面直线， l1在平面 内，l2在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（）al 与 l1，l2都不相交bl 与 l1，l2都相交cl 至多与 l1，l2中的一条相交dl 至少与 l1，l2中的一条相交【解答】 解：al 与 l1，l2可以相交，如图：. 8 页该选项错误；bl 可以和 l1，l2中的一个

13、平行，如上图，该选项错误；cl 可以和 l1，l2都相交，如下图：，该选项错误；d“l至少与 l1，l2中的一条相交 ” 正确，假如 l 和 l1，l2都不相交；l 和 l1，l2都共面；l 和 l1，l2都平行；l1l2，l1和 l2共面，这样便不符合已知的l1和 l2异面；该选项正确故选 d15 （5 分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中 为和的夹角，若两个非零的平面向量和 满足：； 和的夹角； 和的值都在集合中， 则的值为（）abc 1 d【解答】 解：=cos= ，=cos= ，mn，. 9 页由 与 的夹角 （0，） ，知 cos2=（，1） ，故 mn=3，m，nn，0=1，

14、m=1，n=3，=，故选： b16 （5 分）已知函数，且 f1（x）=f（x） ，fn（x）=f（fn1（x） ） ，n=1，2，3， 则满足方程 fn（x）=x的根的个数为（）a2n 个b2n2个c2n个d2（2n1）个【解答】 解：当 x 0， 时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得 x=0；当 x（，1 时，f1（x）=f（x）=22x=x，解得 x= ，f 的 1 阶根的个数是 2当 x 0， 时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=4x=x ，解得 x=0；当 x（， 时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=24x=x，解得 x=；当 x（， 时，f1（x）=22x，f2

15、（x）=2+4x=x，解得 x= ；当 x（，1 时，f1（x）=22x，f2（x）=44x=x，解得 x= f 的 2 阶根的个数是 22依此类推f 的 n 阶根的个数是 2n故选 c三.解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分）17 （14 分）如图，设长方体abcd a1b1c1d1中，ab=bc=3 ，aa1=4（1）求四棱锥 a1abcd的体积；. 10 页（2）求异面直线 a1b与 b1c所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【解答】 解： （1）a1到平面 abcd的距离 d=aa1=4，长方体 abcd a1b1c1d1中，ab=bc=3 ，s正方体ab

16、cd=abbc=3 3=9，四棱锥 a1abcd的体积 v=（2）a1bd1c，d1cb1是异面直线 a1b 与 b1c所成角（或所成角的补角） ，b1d1=3，b1c=d1c=5，cos d1cb1=，d1cb1=arccos异面直线 a1b与 b1c所成角为18 （14 分）已知复数 z 满足，z2的虚部为 2（1）求复数 z；（2）设 z、z2、zz2在复平面上的对应点分别为a、b、c ，求 abc的面积【解答】 解： （1）设 z=a+bi（a，br） ，由已知可得：，即，解得或z=1+i 或 z=1i；（2）当 z=1+i 时，z2=2i，zz2=1i，a（1，1） ，b（0，2）

17、，c（1，1） ，故abc的面积 s= 21=1；当 z=1i 时，z2=2i，zz2=13i，a（1，1） ，b（0，2） ，c（1，3） ，故abc的面积 s= 21=1abc的面积为 1. 11 页19 （14 分）一根长为 l 的铁棒 ab 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽ac=bd=2m （1）设 bod= ，试将 l表示为 的函数；（2）求 l的最小值，并说明此最小值的实际意义【解答】 解： （1）走廊的宽 ac=bd=2m bod= bac= ，；（2） （0，） ，l0，l为减函数； （，） ，l0，l为增函数；=时，l取最小值 4，该最小值表示：超过则无法通过20 （1

18、6 分）已知函数 f（x）=2x+2x（1）求证：函数 f（x）是偶函数；（2）设 ar，求关于 x 的函数 y=22x+22x2af（x）在 x 0，+）时的值域 g（a）表达式；（3）若关于 x 的不等式 mf（x）2x+m1 在 x（0，+）时恒成立，求实数 m 的取值范围【解答】 证明： （1）函数 f（x）=2x+2x的定义域关于原点对称，且 f（x）=2x+2x=2x+2x=f（x） ，故函数 f（x）是偶函数；解： （2）令 t=f（x）=2x+2x则 t2，22x+22x=t22y=22x+22x2af（x）=t22at2，当 a2 时，当 t=2 时，函数取最小值24a，无最

19、大值；此时函数的值域为 24a，+） ，. 12 页a2 时，当 t=a 时，函数取最小值 a22，无最大值；此时值域为 a22，+） ；（3）若关于 x 的不等式 mf（x）2x+m1 在 x（0，+）时恒成立即 m（2x+2x）2x+m1 在 x（0，+）时恒成立即 m=1=1在 x（0，+）时恒成立当 x=1时，2x=，此时（ 2x）22x+1 取最小值，故取最大值，故 1取最小值故21 （18 分）已知数列 an 满足：a1=1，nn*（1）求数列 an 的通项公式；（2）设数列 bn 的前 n 项和为 sn，且满足，试确定 b1的值，使得数列 bn 为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列cn ，且 c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列cn 【解答】 解： （1），则=4，nn*数列 是以 1 为首项，以 4 为公差的等差数列， 则=1+4 （n1）=4n3，数列 an 的通项公式；（2）由（ 1）可得，. 13 页，（ 4n3）sn+1=（4n+1）sn+16n28n3，=1，数列 是等差数列，首项为s1，公差为 1=b1+n1，sn=（b1+n1） （4n3） ，当 n2 时， bn=snsn1= （b1+n1）（4n3） （b1+n2）（4n7） ， 化为 bn=4b1+8n11，若数列