2013年陕西省高考数学试卷(文科)

1、. 1 页2013 年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1 （5 分）设全集为 r，函数 f（x）=的定义域为 m，则?rm 为（）a （， 1） b （1，+）c （， 1d 1，+）2 （5 分）已知向量=（1，m） ， =（m，2） ，若 ，则实数 m 等于（）abc或d03 （5 分）设 a，b，c均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（）alogab?logcb=logca blogab?logca=logcbclogabc=logab?logac dloga（b+c）=l

2、ogab+logac4 （5 分）根据下列算法语句，当输入x为 60 时，输出 y 的值为（）a25 b30 c 31 d615 （5 分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间 20，25）上的为一等品，在区间 15，20）和区间 25，30）上的为二等品，在区间 10，15）和 30，35）上的为三等品用频率估计概率， 现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）a0.09 b 0.20 c 0.25 d0.456 （5 分）设 z 是复数，则下列命题中的假命题是（）a若 z20，则 z 是实数b若 z20，则 z 是虚数

3、c若 z是虚数，则 z20 d若 z是纯虚数，则 z207 （5 分）若点（ x，y）位于曲线 y=| x| 与 y=2 所围成的封闭区域，则2xy 的最小值为（）a6 b2 c 0 d28 （5 分）已知点 m（a，b）在圆 o：x2+y2=1 外，则直线 ax+by=1 与圆 o 的位置关系是（）a相切b相交c相离d不确定9（5 分） 设abc的内角 a， b， c所对的边分别为a， b， c， 若 bcosc +ccosb=asina ，则abc的形状为（）. 2 页a直角三角形b锐角三角形c 钝角三角形d不确定10 （5 分）设 x 表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数x，有（）a

4、 x = x b x+ = xc 2x =2 xd x+ x+ = 2x二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 25分）11 （5 分）双曲线的离心率为12 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为13 （5 分）观察下列等式：（1+1）=21（2+1） （2+2）=2213（3+1） （3+2） （3+3）=23135照此规律，第 n 个等式可为14 （5 分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 x 为（m） 选做题： （考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计

5、分）15 （5 分） （不等式选做题）设 a，br，| ab| 2，则关于实数x 的不等式 | xa|+| xb| 2 的解集是16 （几何证明选做题）如图，ab与 cd相交于点 e，过 e作 bc的平行线与 ad的延长线相交于点 p已知a=c，pd=2da=2 ，则 pe=17 （坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（t 为参数）的焦点坐标是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6 小题，共 75 分）. 3 页18 （12 分）已知向量=（cosx，） ， =（sinx，cos2x ） ，xr，设函数 f（x）=（） 求 f（x）的最小正周期（） 求 f（x）在 0， 上

6、的最大值和最小值19 （12 分）设 sn表示数列 an的前 n 项和（） 若 an 为等差数列，推导sn的计算公式；（） 若 a1=1，q0，且对所有正整数n，有 sn=判断 an 是否为等比数列，并证明你的结论20 （12 分）如图，四棱柱 abcd a1b1c1d1的底面 abcd是正方形， o 为底面中心，a1o平面 abcd ，ab=aa1=（） 证明：平面 a1bd平面 cd1b1；（） 求三棱柱 abda1b1d1的体积21 （12 分）有 7 位歌手（ 1 至 7 号）参加一场歌唱比赛，由500 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5 组，各组的人数如下：组别

7、abcde人数5010015015050（） 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从b组中抽取了 6 人请将其余各组抽取的人数填入下表组别abcde人数5010015015050抽取人数6（） 在（）中，若a，b 两组被抽到的评委中各有2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率22 （13 分）已知动点 m（x，y）到直线 l：x=4 的距离是它到点 n（1，0）的距离的 2 倍（） 求动点 m 的轨迹 c的方程；（） 过点 p（0，3）的直线 m 与轨迹 c交于 a，b两点若 a 是 pb的

8、中点，. 4 页求直线 m 的斜率23 （14 分）已知函数 f（x）=ex，xr（） 求 f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（） 证明：曲线 y=f（x）与曲线 y=有唯一公共点（） 设 ab，比较 f（）与的大小，并说明理由2013 年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1 （5 分）设全集为 r，函数 f（x）=的定义域为 m，则?rm 为（）a （， 1） b （1，+）c （， 1d 1，+）【分析】 由根式内部的代数式大于等于0 求出集合 m，然后

9、直接利用补集概念求解【解答】 解：由 1x0，得 x1，即 m=（， 1 ，又全集为 r，所以 ?rm=（1，+） 故选： b【点评】 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题2 （5 分）已知向量=（1，m） ， =（m，2） ，若 ，则实数 m 等于（）abc或d0【分析】 直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算【解答】解： = （1，m） ， =（m，2） ，且，所以 1?2=m?m，解得 m=或 m=故选： c【点评】 本题考查了平面向量的坐标运算，向量，则的充要条件是 x1y2x2y1=0，是基础题3 （5 分）设 a，b，c均为不等于 1 的正实数，则下列等式中

10、恒成立的是（）alogab?logcb=logca blogab?logca=logcb. 5 页clogabc=logab?logac dloga（b+c）=logab+logac【分析】通过对数的换底公式以及对数运算公式loga（xy） =logax+logay （x、 y0） ，判断选项即可【解答】 解：对于 a，logab?logcb=logca?，与换底公式矛盾，所以 a 不正确；对于 b，logab?logaa=logab，?，符合换底公式，所以正确；对于 c，logabc=logab?logac，不满足对数运算公式loga（xy）=logax+logay（x、y0） ，所以不正确

11、；对于 d，loga（b+c）=logab+logac，不满足 loga（xy）=logax+logay（x、y0） ，所以不正确；故选： b【点评】 本题考查对数的运算法则，基本知识的考查4 （5 分）根据下列算法语句，当输入x为 60 时，输出 y 的值为（）a25 b30 c 31 d61【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值当 x=60时，则 y=25+0.6（6050）=31，故选： c【

12、点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有： 分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大 此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误. 6 页5 （5 分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间 20，25）上的为一等品，在区间 15，20）和区间 25，30）上的为二等品，在区间 10，15）和 30，35）上的为三等品用频率估计概率， 现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）a0.09 b 0.20 c 0

13、.25 d0.45【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于 1 可求得二等品的概率【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间 15，20）和 25，30）上的概率为 0.045+1（0.02+0.04+0.06+0.03）5 =0.45故选： d【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力 统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题6 （5 分）设 z 是复数，则下列命题中的假命题是（）a若 z20，则 z 是实数b若 z20，则 z 是虚数c若 z是虚数，则 z20 d若 z是纯虚数，则 z20【分

14、析】 设出复数 z，求出 z2，利用 a，b 的值，判断四个选项的正误即可【解答】 解：设 z=a+bi，a，br ，z2=a2b2+2abi，对于 a，z20，则 b=0，所以 z 是实数，真命题；对于 b，z20，则 a=0，且 b0，? z是虚数；所以 b为真命题；对于 c，z是虚数，则 b0，所以 z20 是假命题对于 d，z 是纯虚数，则 a=0，b0，所以 z20 是真命题；故选： c【点评】 本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算7 （5 分）若点（ x，y）位于曲线 y=| x| 与 y=2 所围成的封闭区域，则2xy 的最小值为（）a6 b2 c 0 d2【分析】 先根据

15、曲线 y=| x| 与 y=2 所围成的封闭区域画出区域d，再利用线性规. 7 页划的方法求出目标函数2xy 的最大值即可【解答】 解：画出可行域，如图所示解得 a（2，2） ，设 z=2xy，把 z=2xy 变形为 y=2xz，则直线经过点 a 时 z 取得最小值；所以 zmin=2（2）2=6，故选： a【点评】 本题考查利用线性规划求函数的最值属于基础题8 （5 分）已知点 m（a，b）在圆 o：x2+y2=1 外，则直线 ax+by=1 与圆 o 的位置关系是（）a相切b相交c相离d不确定【分析】由 m 在圆外，得到 | om| 大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心

16、o到直线 ax+by=1的距离 d，根据列出的不等式判断d 与 r 的大小即可确定出直线与圆的位置关系【解答】 解： m（a，b）在圆 x2+y2=1外，a2+b21，圆 o（0，0）到直线 ax+by=1的距离 d=1=r，则直线与圆的位置关系是相交故选： b【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系， 涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键9（5 分） 设abc的内角 a， b， c所对的边分别为a， b， c， 若 bcosc +ccosb=asina ，则abc的形状为（）a直角三角形b锐角三角形c 钝角三角形d

17、不确定【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得 sina 的值进而求得 a，判断出三角形的形状【解答】 解： bcosc +ccosb=asina ，sinbcosc +sinccosb=sin （b+c）=sina=sin2a，. 8 页sina0，sina=1，a=，故三角形为直角三角形，故选： a【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查10 （5 分）设 x 表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数x，有（）a x = x b x+ = xc 2x =2 xd x+ x+ = 2x【分析

18、】 依题意，通过特值代入法对a，b，c，d 四选项逐一分析即可得答案【解答】 解：对 a，设 x=1.8，则 x =1， x =2，所以 a 选项为假对 b，设 x=1.8，则 x+ =2， x =1，所以 b选项为假对 c，x=1.4，则 2x = 2.8 =3，2 x =4，所以 c选项为假故 d 选项为真故选： d【点评】 本题考查函数的求值，理解题意，特值处理是关键，属于中档题二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 25分）11 （5 分）双曲线的离心率为【分析】 通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可【解答】解：因为双曲线，

19、所以 a=4，b=3，所以 c=，所以双曲线的离心率为：e=故答案为：【点评】 本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力12 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为3 【分析】通过三视图判断几何体的形状， 利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可. 9 页【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1 的半个球体表面积是底面积与半球面积的和，其表面积 =故答案为： 3 【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法， 考查计算能力与空间想象能力13 （5 分）观察下列等式：（1+1）=21（2+1） （2+2）=2213（3+1） （3+2

20、） （3+3）=23135照此规律，第 n 个等式可为（n+1） （n+2） （n+3） （n+n）=2n?1?3?5? （2n1）【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值， 即可归纳得到第n 个等式【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n 项相乘，由括号内数的特点归纳第n 个等式的左边应为：（n+1） （n+2） （n+3） （n+n） ，每个等式的右边都是2 的几次幂乘以从1 开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第 n

21、个等式的右边为2n?1?3?5 （2n1） 所以第 n 个等式可为（ n+1） （n+2） （n+3） （n+n）=2n?1?3?5 （2n1） 故答案为（ n+1） （n+2） （n+3） （n+n）=2n?1?3?5 （2n1） 【点评】 本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题14 （5 分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 x 为20（m） 【分析】 设矩形高为 y，由三角形相似可求得40=x+y 且 x0，y0，x40，y. 10 页40，利用基本不等式即可求得

22、答案【解答】 解：设矩形高为y，由三角形相似得：=，且 x0，y0，x40，y40，? 40=x+y2，仅当 x=y=20m时，矩形的面积s=xy取最大值 400m2故答案为： 20【点评】 本题考查基本不等式，考查相似三角形的应用，求得40=x+y 是关键，属于中档题选做题： （考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15 （5 分） （不等式选做题）设 a，br，| ab| 2，则关于实数x 的不等式 | xa|+| xb| 2 的解集是r【分析】 判断函数 f（x）=| xa|+| xb| 的值域为（ | ab| ，+） ，利用已知条件推出不等式的解集即可

23、【解答】 解：函数 f（x）=| xa|+| xb| 的值域为（ | ab| ，+） ，因此，当 ? xr时，f（x）| ab| 2，所以不等式 | xa|+| xb| 2 的解集是 r故答案为： r【点评】 本题考查绝对值不等式的基本知识，考查计算能力16 （几何证明选做题）如图，ab与 cd相交于点 e，过 e作 bc的平行线与 ad的延长线相交于点 p已知a=c，pd=2da=2 ，则 pe=【分析】 利用已知条件判断 epd ape ，列出比例关系，即可求解pe的值【解答】 解：因为 bcpe ， bcd= ped ，且在圆中 bcd= bad ? ped= bad，? epd ape

24、 ，pd=2da=2? pe2=pa?pd=3 2=6，. 11 页pe=故答案为：【点评】 本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力17 （坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（t 为参数）的焦点坐标是（1，0）【分析】 由题意第二个式子的平方减去第一个式子的4 倍即可得到圆锥曲线c的普通方程，再根据普通方程表示的抛物线求出焦点坐标即可【解答】解：由方程（t 为参数）得 y2=4x，它表示焦点在 x 轴上的抛物线，其焦点坐标为（ 1，0） 故答案为：（1，0） 【点评】本题是基础题， 考查参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的求法，考查计算能力三、解答题：解答应写出文字说明、证

25、明过程及演算步骤（本大题共6 小题，共 75 分）18 （12 分）已知向量=（cosx，） ， =（sinx，cos2x ） ，xr，设函数 f（x）=（） 求 f（x）的最小正周期（） 求 f（x）在 0， 上的最大值和最小值【分析】 （）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期（） 通过 x 在 0， ，求出 f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值【解答】 解： （）函数 f（x）=（cosx，）?（sinx，cos2x）=sinxcosx. 12 页=sin（2x）最

26、小正周期为： t= （）当 x 0， 时，2x，由正弦函数 y=sinx在的性质可知， sinx，sin（2x），f（x） ，1 ，所以函数 f （x）在 0， 上的最大值和最小值分别为：1，【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用， 三角函数的值域的应用，考查计算能力19 （12 分）设 sn表示数列 an的前 n 项和（） 若 an 为等差数列，推导sn的计算公式；（） 若 a1=1，q0，且对所有正整数n，有 sn=判断 an 是否为等比数列，并证明你的结论【分析】 （i）设等差数列的公差为d，则 an=a1+ （n1）d，可得 a1+an=a2+an1= ，利

27、用“ 倒序相加 ” 即可得出；（ii）利用 an+1=sn+1sn即可得出 an+1，进而得到 an，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列【解答】证明： （）设等差数列的公差为d， 则 an=a1+ （n1） d， 可得 a1+an=a2+an1= ，由 sn=a1+a2+ +an，sn=an+an1+ +a1两等式相加可得 2sn=（a1+an）+（a2+an1）+ +（an+a1） ，（ii）a1=1，q0，且对所有正整数n，有 sn=. 13 页an+1=sn+1sn=qn，可得（nn*） ，数列 an 是以 a1=1为首项， q1为公比的等比数列【点评】熟练掌握等差数列的通项公式

28、及“ 倒序相加 ” 法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前n 项和的公式是解题的关键20 （12 分）如图，四棱柱 abcd a1b1c1d1的底面 abcd是正方形， o 为底面中心，a1o平面 abcd ，ab=aa1=（） 证明：平面 a1bd平面 cd1b1；（） 求三棱柱 abda1b1d1的体积【分析】 （）由四棱柱的性质可得四边形bb1d1d为平行四边形，故有 bd和 b1d1平行且相等，可得bd平面 cb1d1同理可证， a1b平面 cb1d1而 bd和 a1b是平面 a1bd内的两条相交直线， 利用两个平面平行的判定定理可得平面a1bd平面 cd1b1 （ ）由题意 可得

29、a1o 为三棱 柱 abd a1b1d1的高，由勾股定理可得a1o=的值，再根据三棱柱abda1b1d1的体积 v=sabd?a1o，运算求得结果【解答】 解： （）四棱柱 abcd a1b1c1d1的底面 abcd是正方形， o 为底面中心， a1o平面 abcd ，ab=aa1=，由棱柱的性质可得bb1和 dd1平行且相等，故四边形bb1d1d 为平行四边形，故有 bd和 b1d1平行且相等而 bd不在平面 cb1d1内，而 b1d1在平面 cb1d1内， bd平面 cb1d1同理可证， a1bcd1为平行四边形， a1b平面 cb1d1而 bd和 a1b 是平面 a1bd内的两条相交直线

30、，故有平面a1bd平面 cd1b1 （） 由题意可得 a1o 为三棱柱 abda1b1d1的高三角形 a1ao 中，由勾股定理可得 a1o=1，三棱柱 abd a1b1d1的体积 v=sabd?a1o=?a1o= 1=1. 14 页【点评】本题主要考查棱柱的性质， 两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题21 （12 分）有 7 位歌手（ 1 至 7 号）参加一场歌唱比赛，由500 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5 组，各组的人数如下：组别abcde人数5010015015050（） 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干

31、评委，其中从b组中抽取了 6 人请将其余各组抽取的人数填入下表组别abcde人数5010015015050抽取人数6（） 在（）中，若a，b 两组被抽到的评委中各有2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率【分析】 （）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（）利用古典概型概率计算公式求出a，b两组被抽到的评委支持1 号歌手的概率，因两组评委是否支持1 号歌手相互独立， 由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1 人，2 人都支持 1 号歌手的概率【解答】 解： （）按相同的比例从不同的

32、组中抽取人数从 b组 100 人中抽取 6 人，即从 50 人中抽取 3 人，从 150 人中抽取 6 人，填表如下：组别abcde人数5010015015050抽取人数36993（）a 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 好歌手，则从 3 人中任选 1 人，支持 1 号歌手的概率为b组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手，则从 6 人中任选 1 人，支持 1 号歌手的概率为现从这两组被抽到的评委中分别任选1 人，则2 人都支持1 号歌手的概率. 15 页p=【点评】本题考查了分层抽样方法， 考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件 a，b 是否发生相互独立，则p（ab）=p（

33、a）p（b） ，是中档题22 （13 分）已知动点 m（x，y）到直线 l：x=4 的距离是它到点 n（1，0）的距离的 2 倍（） 求动点 m 的轨迹 c的方程；（） 过点 p（0，3）的直线 m 与轨迹 c交于 a，b两点若 a 是 pb的中点，求直线 m 的斜率【分析】 （） 直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点m 的轨迹 c的方程；（）经分析当直线 m 的斜率不存在时，不满足a是 pb的中点，然后设出直线m 的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x1+x2，x1x2，结合 2x1=x2得到关于 k 的方程，则直线m 的斜率可求【解答】 解： （）点 m（x，y）到直线 x=4 的距离是它到点n（1，0）的距离的 2 倍，