第6章 弯曲变形

1、第6章 弯曲变形6.1 挠曲线的微分方程6.2 用积分法求弯曲变形6.3 用叠加法求弯曲变形6.4 简单超静定梁6.5 减小弯曲变形的一些措施6.1 挠曲线的微分方程第6章 弯曲变形弯曲变形可用来求解弯曲刚度问题、超静定问题和振动问题。1. 挠曲线：梁变形后的轴线。为平面曲线，且在梁的xy纵向对称面内。2. 梁的弯曲变形：2参数如图挠度w：梁上x处横截面的形心沿y方向的线位移。向上为正。挠曲线方程：w=w(x) 截面转角：横截面绕中性轴转动的角度。逆时针方向为正。转角方程：=(x) 6.1 挠曲线的微分方程第6章 弯曲变形3. 挠度与转角的关系：4. 挠曲线近似微分方程：p177tan( )d

2、ww xdx22( )d wM xdxEI6.2 用积分法求弯曲变形第6章 弯曲变形1. 梁上任一横截面的转角和挠度的求法：对挠曲线近似微分方程积分。2. 确定积分常数C、D的方法：利用梁的边界条件及变形连续条件。一次积分得转角二次积分得挠度( )dwM xdxCdxEI( )M xwdx dxCxDEI3. 边界条件简支梁支座处：挠度都等于零， 即x=0，w=0；x=l，w=0悬臂梁固定端处：挠度和转角都等于零 即x=0，w=0，=06.2 用积分法求弯曲变形第6章 弯曲变形4. 变形连续条件连续梁中间截面处： 左右挠度相等、左右转角相等 即w左=w右，左=右中间铰处：左右挠度相等。 x=2

3、l/3，w左=w右5. 将C、D代入积分式，得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求梁上任一横截面的转角和挠度。6.2 用积分法求弯曲变形第6章 弯曲变形例6-1 图示等截面悬臂梁AB，弯曲刚度EI，在自由端作用一集中力F。求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角max。解：1）求梁的弯矩方程建立坐标系如图，取x处横截面右段为分离体，弯矩方程为( )()M xF lx 6.2 用积分法求弯曲变形第6章 弯曲变形解：1）弯矩方程为( )()M xF lx 2）建立梁的挠曲线近似微分方程为22( )()d wM xF xldxEIEI3）积分得23211211162dwFxFlx

4、CdxEIwFxFlxCxDEI6.2 用积分法求弯曲变形第6章 弯曲变形解：4）由梁的边界条件确定积分常数 在固定端处横截面：x=0，=0，w=0，代入积分式，求得C=0，D=0。5）转角方程和挠曲线方程23211211162dwFxFlxdxEIwFxFlxEI6.2 用积分法求弯曲变形第6章 弯曲变形解：5）转角方程和挠曲线方程23211211162dwFxFlxdxEIwFxFlxEI6）求最大挠度和最大转角据受力情况和边界条件知：此梁最大挠度和最大转角都在自由端，即x=l 处。23maxmax,23FlFlwEIEI横截面B顺时针方向转动，B点位移向下。6.2 用积分法求弯曲变形第6

5、章 弯曲变形6. 梁的刚度条件为 一般轴 ，滑动轴承 工程上，梁必须同时满足强度条件和刚度条件； 一般地，若满足强度条件，则刚度条件也能满足； 设计梁时，一般先由强度条件选择梁的截面，然后再校核刚度。 若全梁上的弯矩不能用统一的方程式表示，则应分段列出弯矩方程和挠曲线近似微分方程，并分段积分。maxmax , ww (0.00030.0005)wl (0.0030.005)rad6.3 用叠加法求弯曲变形第6章 弯曲变形梁上作用单一载荷时，弯曲变形（横截面转角和挠度）通过积分法求解；梁上同时作用多个载荷时，弯曲变形如何求？总变形等于各载荷单独作用引起的变形的代数和，即叠加原理。p184梁在小变

6、形条件下，材料服从胡克定律，是线弹性的；挠曲线近似微分方程是线性的（即弯矩是一次的）；又弯矩与外力之间也是线性的；转角与外力之间是线性的、挠度与外力之间也是线性的；弯曲变形可叠加。6.3 用叠加法求弯曲变形第6章 弯曲变形例6-2 简支梁AB，抗弯刚度EI，受均布载荷和集中力偶作用，试用叠加法求中点C的挠度和A、B截面的转角。解：此梁上的载荷可分为两简单载荷，如图。1）均布载荷单独作用时，查表得：p18743353842424CqAqBqqlwEIqlqlEIEI ，6.3 用叠加法求弯曲变形第6章 弯曲变形例6-2 简支梁AB，抗弯刚度EI，受均布载荷和集中力偶作用，试用叠加法求中点C的挠度

7、和A、B截面的转角。解：此梁上的载荷可分为两简单载荷，如图。2）集中力偶单独作用时，查表得：p18621636eCMeeAMBMM lwEIM lM lEIEI ，6.3 用叠加法求弯曲变形第6章 弯曲变形例6-2 简支梁AB，抗弯刚度EI，受均布载荷和集中力偶作用，试用叠加法求中点C的挠度和A、B截面的转角。解：3）将两结果叠加，得：24538416eCCqCMM lqlwwwEIEI 3+=243eAAqAMM lqlEIEI3246eBBqBMM lqlEIEI6.4 简单超静定梁第6章 弯曲变形1. 超静定梁：支反力数目独立平衡方程数 图a为一次超静定梁，需补充一个方程。2. (变形)

8、等效静定梁 解除多余约束(支座B)，代之以约束力(FRB)，得到的静定梁(在q和FRB共同作用下的静定悬臂梁)，图b。其变形与原超静定梁的变形相同。6.4 简单超静定梁第6章 弯曲变形3. 静定基：即基本静定梁 按叠加原理，各载荷单独作用时的静定梁。如图c、图d4. 求解超静定梁支反力的基本方法：变形比较法 比较等效静定梁和原超静定梁在多余约束处的变形，利用叠加原理写出变形协调条件，求解。6.4 简单超静定梁第6章 弯曲变形例6.3 图a所示悬臂梁，已知EI、l、q，求全部支反力，并绘内力图。解：1）建立等效静定梁，如图b2）建立静定基，如图c、图d3）建立变形协调条件原超静定梁图a在B处挠度

9、wB=0等效静定梁图b在B处挠度0BBqBFwwwBBqBFwww6.4 简单超静定梁第6章 弯曲变形解：1）建立等效静定梁，如图b2）建立静定基，如图c、图d3）建立变形协调条件原超静定梁图a在B处挠度wB=0等效静定梁图b在B处挠度4）物理关系，查p185表得：0BBqBFwwwBBqBFwww34,83RBBqBFF lqlwwEIEI 代入变形协调条件解得38RBFql6.4 简单超静定梁第6章 弯曲变形解：1）建立等效静定梁2）建立静定基3）建立变形协调条件4）物理关系5）受力如图，按静力平衡条件求固定端 的三个支反力得：6）绘剪力图和弯矩图20,5/8,/8AxAyAFFqlMql6.5 减小弯曲变形的一些措施第6章 弯曲变形影响弯曲变形的因素有： 弯矩M、跨度l、支座条件、截面惯性矩I、材料的E1. 减小弯矩减少跨度： 增加支撑：如车床上的尾顶尖、中心架、跟刀架p194改善受力情况p192 如：卸荷机构； 载荷尽可能靠近支座； 分散集中力