Function函数

1、函数（ function ）表示每一个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f 中对应输入值的输出值x 的标准符号为。 包括某个函数所有的输入值的集合被称作那个函数的，包括所有的输出值的集合被称作。假设先概念映射的概念，能够简单概念函数为，概念在非空数集之间的映射称为函数。简介函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集a 到实数集b 的对应。简单地说，甲随着乙变，甲确实是乙的函数。精准地说，设x 是一个非空集合，y 是非空数集，f 是个， 假设对x 中的每一个x，按对应法那么f，使 y 中存在唯一的一个元素y 与之对应， 就称对应法那么f 是 x 上的一个函数，记作y f（ x），称x 为函数

2、f（ x）的概念域，集合y|y=f （ x），x r 为其值域（值域是y 的）， x 叫做自变量，y 叫做，适应上也说y 是 x 的函数。对应法那么和概念域是函数的两个要素。注意：对应法那么并非等同于函数，因为运算法那么并非依托于某个概念域，它能够作用域任何一个非空集合，如 f( )=2+1，x=1,2,y=3,5,u=3,4,v=7,9,那么f(x)=y,f(u)=v。由此可见，对应法那么是独立于特定概念域之外的一个运算法那么。运算法那么或称对应法那么能够作为算子独立存在如微分算子，而函数那么必需有其特定的概念域才成心义，不然不能称之为函数。函数相关概念咱们称数值发生转变的量叫变量。有些数值

3、是不随变量而改变的，咱们称他们为常量。自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固。因变量 (函数 )，随着自变量的转变而转变，且自变量取唯一值时，因变量(函数 )有且只有唯一一值与其相对应。由映射概念设 a 和 b 是两个 非空 集合，若是依照某种对应关系f，关于集合a 中的 任何一个元素 a，在集合b 中都 存在唯一的一个元素b 与之对应，那么，如此的对应（包括集合 a， b，和集合a 到集合b 的对应关系f）叫做集合a 到集合b 的 映射 (mapping)，记作 f： ab 。其中，b 称为 a 在映射f 下的 象 ，记作： b=f(a); a称为 b

4、 关于映射f的原象。 集合 a 中多有元素的像的集合记作f(a) 。那么有：概念在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）几何含义函数与不等式和方程存在联系（）。令等于零，从几何角度看，对应的自变量是图像与x 轴交点；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成 “ ”，再把 “y”换成其它，函数就变成了不等式，能够求自变量的范围。函数的集合论（关系）概念若是x 到 y 的二元关系fíx y，关于每一个x x，都有唯一的y y，使得 f，那么称f 为 x 到 y 的函数，记做：f:x

5、y 。当 x=x1 xn 时，称f 为 n 元函数。其特点：前域和概念域重合；单值性： f f y=y概念域、对映域和值域输入值的集合x 被称为f 的； 可能的 输出值的集合y 被称为f 的陪域。 函数的是指概念域中全数元素通过映射f 取得的 实际 输出值的集合。注意，把对映域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对映域的子集。运算机科学中，和返回值的别离确信了的概念域和对映域。因此概念域和对映域是函数一开始就确信的强制约束。另一方面，值域和实际的实现有关。单射、满射与双射函数单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：假设x 和 y 属于概念域，那么仅当 x = y 时有f（ x） = f （

6、 y）。满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f 的对映域中之任意y，都存在至少一个x 知足f（ x） = y 。双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数常常被用于说明集合 x 和 y 是等势的，即有一样的基数。若是在两个集合之间能够成立一个一一对应，那么说这两个集合等势。三角函数（ trigonometric），是数学中属于初等函数中的的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中概念的，其概念域为整个实数域。另一种概念是在中，但并非完全。现代数学把它们描述成无穷的极限和微分方程的解，将其概念扩展到系。它包括六种大体函

7、数：、。由于三角函数的周期性，它并非具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是经常使用的工具。像和原象元素x x 在 f 的 确实是f（ x）。子集a? x 在 f 的像是以其元素的像组成y 的子集，即f(a) := f(x) : x a。注意f 的值域确实是概念域x 的像f （ x） 。 在咱们的例子里，2,3 在 f 的像是f(2, 3) = c, d而 f 的值域是c, d 。依照此概念，f 可引申成为由x 的（由x 的子集组成的集）到y 的幂集之函数，亦记作f。子集b ?y 在 f 的 原像 （或逆像）是如下概念x 的子集：f -1(b) :

8、= x x : f(x) b 。在咱们的例子里，a, b 的原像是f - 1(a, b) = 1。依照此概念，f - 1 是由 y 的幂集到x 的幂集之函数。以下是f 及 f - 1 的一些特性：f(a1 a2) = f(a1) f(a2). f(a1 a2) ?f(a1) f(a2). f -1(b1 b2) = f -1(b1) f -1(b2). f -1(b1 b2) = f -1(b1) f -1(b2). f(f -1(b) ?b. f -1(f(a) ? a. 这些特性适合概念域的任意子集 a, a1 及 a2 和输出值域的任意子集b, b1 及 b2，乃至可推行到任意子集群的和

9、。函数图像函数f 的图像是平面上点对（x,f（ x）的集合，其中x 取概念域上所有成员的。函数图像能够帮忙明白得证明一些定理。若是x 和 y 都是持续的线，那么函数的图像有很直观表示注意两个集合x 和 y 的二元关系有两个概念：一是三元组（x,y,g），其中g 是关系的图；二是索性以关系的图概念。用第二个概念那么函数f 等于其图象。函数的性质函数的有界性设函数f(x) 的概念域为d，数集x 包括于d。若是存在数k1 ，使得f(x) =k1 对任一 x x 都成立， 那么称函数f(x) 在 x 上有上界，而 k1 称为函数f(x) 在 x 上的一个上界。若是存在数k2 ，使得f(x)=k2对任一

10、x x 都成立，那么称函数f(x) 在 x 上有下界，而k2 称为函数f(x) 在 x 上的一个下界。若是存在正数m，使得 |f(x)|=m对任一 x x 都成立， 那么称函数f(x) 在 x 上有界， 若是如此的m 不存在， 就称函数f(x)在 x 上无界。函数f(x) 在 x 上有界的充分必要条件是它在x 上既有上界又有下界。函数的单调性设函数f(x) 的概念域为d， 区间 i 包括于d。 若是关于区间i 上任意两点x1 及 x2，当 x1x2 时，恒有f(x1)f(x2)，那么称函数f(x) 在区间i 上是单调增加的；若是关于区间 i 上任意两点x1 及 x2 ，当 x1f(x2)，那么

11、称函数f(x) 在区间i上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。函数的奇偶性设 f(x)为一个实变量值函数，那么f 为奇函数 假设以下的方程对所有实数x 都成立：f(x) = -f( -x) 或 f( -x) = -f(x) 几何上，一个奇函数对对称，亦即其在绕原点做 180 后可不能改变。奇函数的例子有x、 (x)、 (x)和 (x)。设 f(x)为一实变量实值函数，那么f 为偶函数 假设以下的方程对所有实数x 都成立：f(x) = f( - x) 几何上，一个偶函数会对y 轴，亦即其图在对y 轴为镜射后可不能改变。偶函数的例子有|x|、 x、 x2 、 (x)和 cosh(

12、sec)(x)。偶函数不可能是个。函数的周期性狄利克雷函数设函数f(x) 的概念域为d。若是存在一个正数l，使得关于任一x d 有 (x 士 l) d，且 f(x+l)=f(x)恒成立，那么称f(x) 为周期函数，l 称为 f(x) 的周期，通常咱们说周期函数的周期是指最小正周期。并非每一个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（dirichlet）函数。函数的持续性在中， 持续 是函数的一种属性。直观上来讲，持续的函数确实是当输入值的转变足够小的时候，输出的转变也会随之足够小的函数。若是输入值的某种微小的转变会产生输出值的一个突然的跳跃乃至无法概念，那么那个函数被称为是不的 函数（或说具有 不

13、持续性）。设 f 是一个从实数集的子集射到的函数：。 f 在中的某个c 处是持续的当且仅当以下的两个条件知足：f 在点 c 上有概念。c 是中的一个，而且不管自变量x 在中以什么方式接近c，f(x) 的都存在且等于f(c)。咱们称函数处处持续或 处处持续，或简单的持续 ，若是它在其概念域中的任意点处都持续。更一样地，咱们说一个函数在它概念域的子集上是持续的当它在那个子集的每一点处都持续。不用极限的概念，也能够用下面所谓的方式来概念实值函数的持续性。仍然考虑函数。假设c 是 f 的概念域中的元素。函数f 被称为是在c 点持续当且仅当以下条件成立：关于任意的正实数，存在一个正实数 0 使得关于任意

14、概念域中的，只要 x知足 c - x 0 时，开口方向向上，a0 时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在 x|x-b/2a上是；抛物线的开口向上；函数的值域是x|x 4ac-b2/4a相反不变当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴，这时， 函数是， 解析式变形为y=ax2+c(a0)二次函数与一元二次方程专门地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当 y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即 ax2+bx+c=0 现在，与x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。1二次函数y=ax2 ，y=a(x

15、-h)2，y=a(x-h)2 +k， y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的极点坐标及对称轴如下表：解析式y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 极点坐标(0， 0) (h， 0) (h， k) (-b/2a ， (4ac-b2)/4a) 对称轴x=0 x=h x=h x=-b/2a 当 h0 时， y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位取得，当 h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位， 再向上移动k 个单位，就能够够取得y=a(x-h)2 +k的图象；当 h0,k0时，将抛物线

16、y=ax2向右平行移动h 个单位，再向下移动|k| 个单位可取得y=a(x-h)2+k的图象；当 h0时，将抛物线向左平行移动|h| 个单位，再向上移动k 个单位可取得y=a(x-h)2+k的图象；当 h0,k0 时，开口向上，当a0 ，当 x -b/2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x -b/2a时， y 随 x 的增大而增大假设a0，图象与x 轴交于两点a(x ?， 0)和 b(x ?， 0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根这两点间的距离ab=|x ?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离能够由|2 （ -b/2a ） a | （ a 为其

17、中一点）当 =0 图象与x 轴只有一个交点；当 0 时，图象落在x 轴的上方，x 为任何实数时，都有y0 ；当 a0 时，图象落在x 轴的下方，x 为任何实数时，都有y0(a0 ，那么a 能够是任意实数；排除为0 这种可能，即关于x0 的所有实数，q 不能是偶数；排除为负数这种可能，即关于x 为大于且等于0 的所有实数，a 就不能是负数。总结起来， 就能够够取得当a 为不同的数值时，幂函数的概念域的不同情形如下：若是a 为任意实数，那么函数的概念域为大于0 的所有实数；若是a 为负数，那么x 确信不能为0，只是这时函数的概念域还必需依照q 的奇偶性来确信，即若是同时q 为偶数，那么x 不能小于

18、0，这时函数的概念域为大于0的所有实数；若是同时q 为奇数，那么函数的概念域为不等于0 的所有实数。在 x 大于0 时，函数的值域老是大于0 的实数。在 x 小于0 时，那么只有同时q 为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a 为正数，0 才进入函数的值域。由于x 大于 0 是对 a 的任意取值都成心义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情形. 能够看到：（ 1）所有的图形都通过（1， 1）这点。（ 2）当 a 大于0 时，幂函数为单调递增的，而a 小于 0 时，幂函数为单调递减函数。（ 3）当 a 大于 1 时，幂函数图形下凹；当a 小于 1 大于 0 时，幂函数图形上凸。（ 4）当 a

19、小于0 时， a 越小，图形倾斜程度越大。（ 5） a 大于 0，函数过（0， 0）； a 小于 0，函数只是（0， 0）点。（ 6）显然幂函数无界。复变函数复变函数是概念域为复数集合的函数。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次的求根中就显现了负数开平方的情形。在很长时刻里，人们对这种数不能明白得。但随着数学的进展，这种数的重要性就日趋显现出来。复数的一样形式是：a+bi ，其中i 是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论确实是。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论要紧就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的进展

20、简况复变函数论产生于十八世纪。1774 年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家在他的关于的论文中，就已经取得了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“ 达朗贝尔 -欧拉方程” 。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，因此这两个方程也被叫做“ 柯西 -黎曼条件” 。复变函数论的全面进展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数那个新的分支统治了十九世纪的数学。那时的数学家公认复变函数论是最富饶的数学分支，而且称为那个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函

21、数论的创建做了最初期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的前驱。后来为这门学科的进展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了专门大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广漠的研究领域，为这门学科的进展做出了奉献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳固平面场，所谓场确实是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算确实是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机

22、的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了奉献。复变函数论不但在其他学科取得了普遍的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深切到微分方程、概率论和数论等学科，对它们的进展很有阻碍。复变函数论的内容复变函数论要紧包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。若是当函数的变量取某必然值的时候，函数就有一个唯一确信的值，那么那个函数解就叫做单值解析函数，确实是如此的函数。复变函数也研究，黎曼曲面理论是研究多值函数的要紧工具。由许多层面安放在一路而组成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这

23、种曲面，能够使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有超级直观的表示和说明。关于某一个多值函数，若是能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使咱们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支有比较大的阻碍，慢慢地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论顶用几何方式来讲明、解决问题的内容，一样叫做几何函数论，复变函数能够通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、弹性理论、静电场理论等方面都取得了普遍的应用。留数理

24、论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做，它的概念比较复杂。应用留数理论关于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算，能够化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数大体定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算加倍简练。把单值解析函数的一些条件适本地改变和补充，以知足实际研究工作的需要，这种通过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的转变叫做拟保角变换。解析函数的一些大体性质，只要略加改变后，一样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很普遍，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论如此的固体力学部门也在应用。因此，最近几年来这方面的理论进展十分迅速。从柯西算起，复变函数论已有170 连年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技术成为数学的一个重要组成部份。它曾经推动过一些学科的进展，而且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。此刻，复变函数论中仍然有很多尚待研究的课题，因此它将继续向前进展，并将取得更多应用。upcase 字符型使小写英文字母变成大写字符型downcase 字符型使大写英文字母变成小写字符型程序设计中的函数许多中， 能够将一段常常需要利用的代码封装起来，在需要利历时能够直接挪用，这确实是程序