第4章附录A平面图形的几何性质

1、第四章第四章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质4 4-1 1 静矩静矩和和形心形心4 4-2 2 惯性矩惯性矩极惯性矩极惯性矩惯性积惯性积4 4- -3 3 平行移轴公式和组合图形惯性矩、平行移轴公式和组合图形惯性矩、惯性积的计算惯性积的计算4 4- -4 4 转轴公式转轴公式主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩比较比较分类法分类法第第4章知识点章知识点静矩与形心静矩与形心概念概念惯性矩、极惯性矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性积、惯性半径的概念的概念 平行移轴公式平行移轴公式 （应用公式注（应用公式注 意事项）意事项）静矩（包括组合图静矩（包括组合图形）的计算形）的计算记住几种特

2、殊平面图记住几种特殊平面图形的惯性矩和极惯性形的惯性矩和极惯性矩（矩形、圆形、圆矩（矩形、圆形、圆环）环）转轴公式转轴公式求组合图形惯性矩求组合图形惯性矩和惯性积的方法和惯性积的方法主惯性轴、主惯性主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性轴矩、形心主惯性轴和形心主惯性矩的和形心主惯性矩的概念概念确定形心主惯性轴确定形心主惯性轴和形心主惯性矩的和形心主惯性矩的方法方法平面图形的几何性质平面图形的几何性质 与杆横截面与杆横截面形状形状、尺寸有关尺寸有关的的几何量几何量NF A NElFl A如：如：本章介绍：本章介绍：平面图形几何性质中一些概念的平面图形几何性质中一些概念的定义、计定义、计算方法和性质，如静

3、矩、惯性矩、极惯性矩等。算方法和性质，如静矩、惯性矩、极惯性矩等。 在轴向拉（压）中：在轴向拉（压）中：在扭转这一章中：在扭转这一章中： AAId2p 在弯曲应力这一章中：在弯曲应力这一章中：AzAySd AzAyId 24-4-1 静矩和形心静矩和形心一、静一、静矩矩二、形心二、形心三、组合图形的静矩和三、组合图形的静矩和形心形心一、静一、静矩矩整个图形整个图形 A 对对 x 轴的静矩：轴的静矩：整个图形整个图形 A 对对 y 轴的静矩：轴的静矩：ydA微面积微面积 dA 对对 x 轴的静矩轴的静矩xdA微面积微面积 dA 对对 y 轴的静矩轴的静矩定义：定义：（面积矩）（面积矩） 静矩是对

4、某一根轴而言的，其值可以为正、负或静矩是对某一根轴而言的，其值可以为正、负或零，零，单位：单位：m3、cm3、mm3。 AxAySd AyAxSdxyOAydAx结论：遍及于整个图形上的微面积结论：遍及于整个图形上的微面积 dA与它到与它到x 轴（轴（ y 轴）轴）距离乘积的总和称为整个图形对距离乘积的总和称为整个图形对x 轴（轴（ y 轴）的静矩。轴）的静矩。二、形心二、形心有有由理论力学知由理论力学知CAxyAAyS d ACyxAAxSdASAAyyASAAxxxACyACdd讨论：若某轴过形心，则图形对该轴静矩为零；反讨论：若某轴过形心，则图形对该轴静矩为零；反之之, ,图形对某轴静矩

5、为零，则该轴必过形心。图形对某轴静矩为零，则该轴必过形心。ydAxxyOAxCCyC结论：平面图形对某轴的静矩等于平面图形的面积乘以结论：平面图形对某轴的静矩等于平面图形的面积乘以平面图形的形心到该轴的距离。平面图形的形心到该轴的距离。例例4-1 4-1 求三角形求三角形ABCABC对底边对底边BCBC的静矩的静矩解解: :)(,yhhbDEbDEhyhbhABCOyxdyDEyyyyhhbSxd)(dhAxxydyyhhbdSS0)(积分得积分得：203261312bhxxhhbShx3)21(hbhSx三、组合图形的三、组合图形的静矩和形心静矩和形心 组合图形组合图形由几个简单图形由几个简

6、单图形（如矩形、圆形等）（如矩形、圆形等） 组成组成的平面图形的平面图形如：如：1. .静矩静矩 AxAySd nAAAy1d niAiAy1d nixiS12. .形心形心CyA 1AxAxCiniiC niCiiyA1xyOCxCyC niyiySS1CxA niCiixA1 1AyAyCiniiC 结论：组合图形各组成部分对某一轴静矩的代数和，等结论：组合图形各组成部分对某一轴静矩的代数和，等于整个图形对同一轴的静矩。于整个图形对同一轴的静矩。注意：若组合图形中有被注意：若组合图形中有被挖去的图形，则被挖去的图形的静矩用负值带入。挖去的图形，则被挖去的图形的静矩用负值带入。2122112

7、211001890000mm1003020021530200AAyAyAASyxSyAyASxCCy2x例例4-24-2 确定组合图形的静确定组合图形的静矩和形心坐标矩和形心坐标mm 2302001003020021530200 mm 5 .157 解：解：2002003030 x（参考轴）yyCC例例4-3 4-3 确定图示图形形心确定图示图形形心C C的位置。的位置。解：解：AxAASxCiiyCmm7 .397001200510706012010AyAASyCiixCmm7 .197001200451070512010 xy4-4-2 惯性矩惯性矩 极惯性积极惯性积 惯性积惯性积一、一、

8、惯性矩惯性矩二、二、极惯性矩极惯性矩三、惯性积三、惯性积四、惯性半径四、惯性半径五、组合截面的惯性矩、惯性积五、组合截面的惯性矩、惯性积一、惯性一、惯性矩矩整个图形整个图形 A 对对x 轴的惯性矩轴的惯性矩整个图形整个图形 A 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩y2dA微面积微面积 dA 对对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩x2dA微面积微面积 dA 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩定义：定义： 惯性矩是对某一根轴而言的，它永远为正值，惯性矩是对某一根轴而言的，它永远为正值，单位：单位：m4、cm4、 mm4。 AxAyId 2 AyAxId2xyOAydAx结论：遍及于整个图形上的微面积结论：遍及于整个

9、图形上的微面积 dA与它到与它到x 轴（轴（ y 轴）距轴）距离平方乘积的总和称为整个图形对离平方乘积的总和称为整个图形对x 轴（轴（ y 轴）的惯性矩。轴）的惯性矩。二、极惯性矩二、极惯性矩即：即： AAId2p xyIII p AAAyAxdd22结论：结论：平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和。任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和。xyOAydAx AAyxd22若若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴轴为一对正交坐标轴 AAId2p 定义：定义：遍及于整个截面上的微面积遍及于整个截面上的微面

10、积 与它与它到坐标原点到坐标原点O距离平方乘积的总和称距离平方乘积的总和称为截面图形对坐标原点为截面图形对坐标原点O的极惯性矩。的极惯性矩。dA极惯性矩是对坐标原点极惯性矩是对坐标原点O O 而言的，它恒为正，而言的，它恒为正，单位：单位：m4 、cm4、mm4。整个图形整个图形 A 对对 x 轴、轴、 y轴的惯性积轴的惯性积定义：定义： xydA微面积微面积 dA 对对 x 轴、轴、 y 轴的惯轴的惯性积性积 惯性积是对一对坐标轴而言的，它可为正、负或为零，惯性积是对一对坐标轴而言的，它可为正、负或为零， 单单 位：位：m4、cm4 、mm4。 AxyAxyId设：设： x 轴和轴和 y 轴

11、为一对相互垂直的坐标轴轴为一对相互垂直的坐标轴三、三、惯性积惯性积xyOAydAx结论：遍及于整个图形上的微面积结论：遍及于整个图形上的微面积 dA与它到与它到x 轴、轴、 y 轴距离乘轴距离乘积的总和称为整个图形对积的总和称为整个图形对x 轴、轴、 y 轴的惯性积。轴的惯性积。惯性惯性积的性质积的性质当当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴轴中有一轴为对称轴xyO AxyAxyId niiiiiiiAAyxAyxi10lim niiiiAAyxi210lim0 xyA xyA -性质性质 ： 在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这对轴在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这对轴的惯

12、性积为零。的惯性积为零。 (1) (1) 矩形截面的惯性矩矩形截面的惯性矩xI 12 3bh 12 3hbIy 1xIxCyydydAOx1y 222dhhybyh2_h2_b2_b2_ AAy d2 AAy d2 hyby02d33bh 常用图形的惯性矩和极惯性矩（常用图形的惯性矩和极惯性矩（必须记住必须记住）：）： bhI x123讨论：讨论：(2) (2) 环形截面的极惯性矩环形截面的极惯性矩即即yzddA=rd d rdDrd rO AAId2p Dd 式中式中 )1(32 44p DI 22202d dDdrrr 323244dD ( (3) ) 圆形截面的极惯性矩圆形截面的极惯性矩

13、 在环形截面中，令在环形截面中，令 = = 0，得到，得到 32 4pDI （4）圆形截面的惯性矩）圆形截面的惯性矩D324D pIIIyx 由对称性由对称性644D IIyx（3）环形截面的惯性矩）环形截面的惯性矩dxyO)(DII yx44164图形对图形对 x 轴的轴的惯性惯性半径半径惯性半径是对某一根轴而言的，惯性半径是对某一根轴而言的， 单位：单位： m、cm 、mm。型钢的惯性矩、惯性半径等可查材料力学书。型钢的惯性矩、惯性半径等可查材料力学书中的附录。中的附录。AIixx AIiyy 2 AIxxi2 AIyyi四、四、 惯性半径惯性半径 在力学计算中，有时把在力学计算中，有时把

14、惯性矩惯性矩写成写成即：即：图形对图形对 y 轴的轴的惯性惯性半径半径注意：注意：即：即：? Cxyi ? d 222CxAxyAiAAyI Cxyi Cyxi 思考下列问题思考下列问题:惯性矩能否这样写惯性矩能否这样写:五、组合截面的惯性矩五、组合截面的惯性矩 、惯性积、惯性积组合截面的惯性矩、惯性积组合截面的惯性矩、惯性积 niyiyII1nixixII1nixyixyII1为第为第 i个简单截面对个简单截面对 y, x 轴的惯性矩，惯性积。轴的惯性矩，惯性积。xyixiyiIII,注意：若组合图形中有被挖去的图形，则该图形的惯注意：若组合图形中有被挖去的图形，则该图形的惯性矩、惯性积用负

15、值代入。性矩、惯性积用负值代入。结论：组合截面对某轴的惯性矩（或某对轴的惯性积）结论：组合截面对某轴的惯性矩（或某对轴的惯性积）等于各简单图形对某轴（或某对轴的惯性积）的代数和。等于各简单图形对某轴（或某对轴的惯性积）的代数和。4-4-3 平行移轴公式和组合图形惯性矩、平行移轴公式和组合图形惯性矩、惯性积的计算惯性积的计算一、平行移轴公式一、平行移轴公式二、组合图形惯性矩、惯性积的计算二、组合图形惯性矩、惯性积的计算一、平行移轴公式一、平行移轴公式bxxC 2AaIICxx ayyC CxI AxAyId2 ACAayd)(2 AACAaaAyd 2d22 ACAy d0 Aa2 即：即：yO

16、AxCdAyxxccycyxcab 2AaIIcxx 2abAIIAbIICCCyxxyyy CyyII CxxII 显然：显然：即：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩即：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理同理上式即为上式即为惯性矩和惯性积的平行轴公式惯性矩和惯性积的平行轴公式。注意：注意：a、b是是式图形形心式图形形心C的坐标，应用平行移轴公式时要考虑正负的坐标，应用平行移轴公式时要考虑正负号。号。yOAxCdAyxxccybacyxc 上述平行移轴公式用文字表达为：截面对任意轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的形心

17、轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距平方的乘积；截面对任意一对正交轴系的惯性积，等于截面对与这对轴平行的一对正交形心轴的惯性积加上截面面积与两对轴之间距离的乘积（必须记住）。 2AaIIcxx 2abAIIAbIICCCyxxyyy yOAxCdAyxxccybacyxc二、组合图形惯性矩、惯性积的计算二、组合图形惯性矩、惯性积的计算组合图形对形心轴惯性矩或形心对轴惯性积的计算方法组合图形对形心轴惯性矩或形心对轴惯性积的计算方法:1、用分割法或负面积法算组合图形的形心坐标、用分割法或负面积法算组合图形的形心坐标 、 ： 通过组合图形的形心作形心轴通过组合图形的形心作形心轴 、 。 cxcy2、写出

18、组合图形对形心轴、写出组合图形对形心轴 、 或形心对轴或形心对轴 惯性矩和惯性矩和惯性积公式：惯性积公式：xixIIyiyIIxiyixyII（1）3、用平行移轴公式分别算出各简单图形对形心轴或形、用平行移轴公式分别算出各简单图形对形心轴或形心对轴的惯性矩和惯性积：心对轴的惯性矩和惯性积：iixcixiAaII2iizciziAaII2iiixciycixiyiAbaII（2）4、将（、将（2）式代入）式代入(1）,即可求出即可求出 。xyyxIII,AxAxiicAyAyiicxyxoyxy解：解：cccyyyIII12200303 47mm 1005. 2 12302003 1230200

19、3 42mm 302005 .57 12 1AIIccxx1a47mm 1098. 3 22 2AIIccxx2acccxxxIII47mm 1001. 6 cxIcyI例例 4-4 求求 和和III200200303047mm 1003. 2 xcCcyc157.5a1a2xC1xC2 例例4-54-5：求图示平面图形对：求图示平面图形对x x、y y轴的惯性矩轴的惯性矩 Ix、 IyCL6TU11yxaad（y y为对称轴、过形心）为对称轴、过形心）646128212223343daddadIIIyIIyIyIIIII解解（1 1）求求Iy（2)2)求求Ix: :xxxIII2I12)2(

20、3adIx12824ddd22823dda2282312)2(3adIxI22)32)(8(dadIIcIIxxII224)32)(8(128dddIxcIIyxaadIIIII一、转轴公式一、转轴公式二、主惯性轴、主惯性矩二、主惯性轴、主惯性矩4 4- -4 4 转轴公式转轴公式主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩一、转轴公式一、转轴公式规定：规定： 角逆时针转向为角逆时针转向为 + sincos1yxx 两组坐标系之间的关系：两组坐标系之间的关系： sincos1xyy 将（将（3）分别代入（）分别代入（2）中各式，）中各式， AyxAyAxAyxIAxIAyId ,d ,d1121211

21、111xyOdAyxA x1y1x11yAxyAyAxAdxyI AdxI AdyI,22（1）（2）（3） 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin2cos22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII xyOdAyxA x1y1x11y将（将（2）式展开，注意（）式展开，注意（1）式）式最后得到如下两组坐标系关系最后得到如下两组坐标系关系 的结果，即的结果，即转轴公式转轴公式：显然显然const pI 性质性质：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个 惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯惯性矩

22、之和为常数，且等于图形对该点的极惯 性矩。性矩。 11yxyxIIII xyOdAyxA x1y1x11y二、主惯性轴、主惯性矩二、主惯性轴、主惯性矩 1. .定义定义主惯性轴主惯性轴惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴主惯性矩主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴形心主惯性轴通过图形形心的主惯性轴通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩讨论：讨论：1）若图形有一根对称轴，则对称轴与任一和它垂直的）若图形有一根对称轴，则对称轴与任一和它垂直的 轴就构成主轴。轴就构成主轴。 2）若图形

23、有两根对称轴，则两根对称轴即为主轴，因）若图形有两根对称轴，则两根对称轴即为主轴，因为它通过图形的形心，所以又是形心主轴。为它通过图形的形心，所以又是形心主轴。 3）若图形没有对称轴，则主轴、形心主轴需通过计算）若图形没有对称轴，则主轴、形心主轴需通过计算确定，下面就来研究这种情况。确定，下面就来研究这种情况。 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin2cos22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII （1）主惯性轴的方位）主惯性轴的方位 设主惯性轴的方位为设主惯性轴的方位为 0，对应的坐标轴为，对应的坐标轴为 x0、y0令令得到得到02c

24、os2sin20000 xyyxyxIIII 22 tg0yxxyIII2 2、主惯性轴及主惯性矩的求解、主惯性轴及主惯性矩的求解）（。或，；，；，；，为为锐锐角角注注：在在第第四四象象限限，则则在在第第三三象象限限，则则在在第第二二象象限限，则则在在第第一一象象限限，则则IIIIII-III-IIIyxxyyxxyyxxyyxxy-360220021802200218022002220022000000000讨论：讨论：（2） 主惯性矩主惯性矩因因故故 22 tg0yxxyIIIxyxyxyxy220 220422sinxyyxxyIIII 22042cosxyyxyxIIIII 有有 4)

25、(212 2200 xyyxyxyxIIIIIII 2sin2cos222sin2cos2211xyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIII（3）主惯性矩的性质）主惯性矩的性质 当当Ix1取极值时，取极值时，对应对应的方位为的方位为 1 得到得到 11dd xI0 112cos22sin)( xyyxIIIyxxyIII 22tg1 02tg 即：即：01 性质性质：主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性：主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性 矩矩Imax，另一个为极小惯性矩，另一个为极小惯性矩Imin。令令 2sin2cos22 1xyyxyxxIIIIII3、求形心主惯性轴的

26、位置及形心主惯性矩大小的步骤：、求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩大小的步骤：1）找出形心位置（）找出形心位置（由分割法、负面积法计算由分割法、负面积法计算）；）；2）通过形心）通过形心C 建立参考坐标建立参考坐标 xOy，求出，求出Ix、Iy、Ixy（见组合截面惯性矩、惯性积的计算方法见组合截面惯性矩、惯性积的计算方法）3）求）求0、Ix0、Iy0（由本节的公式计算由本节的公式计算） 例例4-6 4-6 一截面的尺寸如图所示，已知截面的一截面的尺寸如图所示，已知截面的形心形心C C位于截面上边缘以下位于截面上边缘以下20mm20mm和左边缘以右和左边缘以右40mm40mm处处, ,试计算截面

27、的形心主惯性矩。试计算截面的形心主惯性矩。 通过截面形心通过截面形心C C，先选择一对分别与上边缘和左，先选择一对分别与上边缘和左边缘平行的形心轴边缘平行的形心轴 ( (见图见图) )。CCyx 和mmamma25,15解:mmbmmb35,20列表计算图示截面列表计算图示截面对所选形心轴的惯对所选形心轴的惯性矩和惯性积性矩和惯性积( (参参看图看图) )如下如下 0Cx0Cy将截面分为将截面分为I I，IIII两两矩形，两矩形形心矩形，两矩形形心坐标分别为坐标分别为29.6133.870.8项目列号分块号iAi mm2mm104mm4aibiai2Aibi2AixciI （1）（2）（4）（

28、3）（5）（6）120070015-2520352743.84885.8128.697.3097.3144.63661.3项目列号分块号i（7）（8）（9）（10）（11）（12)104mm4iyCIixCIiyCIiiyCxCIiiyCxCI0019286.43661.32872.41440.6278.4100.3计算列表计算列表iiiAba把求得的把求得的 代人式（代人式（4-134-13），得），得xCyCyCxCIII,093.1104 .278104 .100103 .97222tan4440yxxyIIIoo8 .1136 .227200即形心主惯性轴即形心主惯性轴xco可从形心轴

29、可从形心轴x xc c沿逆时针向转沿逆时针向转11380得到。得到。把求得的把求得的 代人式（代人式（4-154-15），），即即得得形心形心主惯性矩的数值主惯性矩的数值xCyCyCxCIII,)(104 .5722)(10321224422min4422max00mmIIIIIIImmIIIIIIIccCCyxycxcycxcyCyxycxcycxcxC解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。yz120108010IIIC zcyycz_212211AAyAyAy cm 171215 . 4175 . 0121 cm 97. 1 212211AAzAzAz cm 171215 . 0176121 cm 97. 3 1. .确定确定形心位置形心位置解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。yz120108010IIIC zcyycz_ 2. .求求 、 和和CyICzICCzyI1211AaIICCyy 12197. 361212123 45.193 4cm2222AaIICCyy 715 . 097. 3121723 87.84 4cm 32.278 CCCyyyIII4cm解：解：例例 2 求图示图形的形心主