固体物理学复习

1、第一章第一章 晶体结构晶体结构一、几种典型的晶体结构一、几种典型的晶体结构密排六方结构（密排六方结构（hcp）: ABABAB 如：如：Mg, Zn, Cd 面心立方结构（面心立方结构（fcc）: ABCABC 如：如：Ca，Cu, Al 体心立方结构（体心立方结构（bcc）：如：）：如：Li, Na, K, Ba 简单立方结构（简单立方结构（sc）金刚石结构：如：金刚石，金刚石结构：如：金刚石，Si, Ge NaCl结构：如：结构：如：NaCl, LiF, KBr CsCl结构：如：结构：如：CsCl, CsBr, CsI 闪锌矿结构：如：闪锌矿结构：如：ZnS, CdS, GaAs, -S

2、iC 二、晶格的周期性二、晶格的周期性晶格晶格 等同点系等同点系 空间点阵空间点阵 数学抽象数学抽象任取一点任取一点格点（或阵点）格点（或阵点）基元：一个格点所代表的物理实体。基元：一个格点所代表的物理实体。格矢：格矢：Rll1a1+l2a2+l3a3基矢：基矢：a1， a2， a3原胞：原胞：1. 空间点阵原胞：空间点阵中最小的重复单元，只含空间点阵原胞：空间点阵中最小的重复单元，只含有一个格点，对于同一空间点阵，原胞的体积相等。有一个格点，对于同一空间点阵，原胞的体积相等。123av a aa2. 晶格原胞：晶格最小的重复单元。晶格原胞：晶格最小的重复单元。3. WignerSeitz原胞

3、：由各格矢的垂直平分面所围成原胞：由各格矢的垂直平分面所围成 的包含原点在内的最小封闭体积。的包含原点在内的最小封闭体积。晶格的分类：晶格的分类：简单晶格：每个晶格原胞中只含有一个原子，即简单晶格：每个晶格原胞中只含有一个原子，即晶格中晶格中 所有原子在化学、物理和几何环境完全等同所有原子在化学、物理和几何环境完全等同 （如：（如：Na、Cu、Al等晶格）等晶格） 。 复式晶格：每个晶格原胞中含有两个或两个以上的原子，复式晶格：每个晶格原胞中含有两个或两个以上的原子， 即晶格中有两种或两种以上的等同原子（或即晶格中有两种或两种以上的等同原子（或 离子）。如：离子）。如：Zn、Mg、金刚石、金刚

4、石、NaCl等晶格。等晶格。倒格矢：倒格矢：Gnn1b1+n2b2n3b3 , n1, n2, n3整数整数倒格子原胞体积：倒格子原胞体积： b= b1b2 b338abv和和2lnhR Gh整数整数要求：给定一组晶格的基矢，会求出其相应的倒格子基矢。要求：给定一组晶格的基矢，会求出其相应的倒格子基矢。 如正格子基矢不垂直，可将其在直角坐标系中投影。如正格子基矢不垂直，可将其在直角坐标系中投影。面心立方（晶格常数为面心立方（晶格常数为a）的倒格子是体心立方（格常数）的倒格子是体心立方（格常数为为4 /a）；体心立方（晶格常数为）；体心立方（晶格常数为a ）的倒格子是面心立）的倒格子是面心立方（

5、格常数为方（格常数为4 /a ）。）。三、倒格子三、倒格子倒格子基矢的定义：倒格子基矢的定义：aibj2ij ，i, j=1, 2, 3四、晶体的宏观对称性，点群四、晶体的宏观对称性，点群 32个点群，只要求一般了解即可个点群，只要求一般了解即可五、晶系和五、晶系和Bravais格子格子晶胞：既能反映晶格的周期性又能体现晶体宏观对称晶胞：既能反映晶格的周期性又能体现晶体宏观对称 性特征的最小重复单元。注意与原胞的区别。性特征的最小重复单元。注意与原胞的区别。轴矢坐标系：轴矢坐标系：a，b，c晶胞参量：晶胞参量：a，b，c， ， ， 轴矢坐标系中的线指数轴矢坐标系中的线指数lmn和面指数和面指数

6、(hkl)七个晶系：七个晶系：根据晶体的对称性特征分类。根据晶体的对称性特征分类。14种种Bravais格子格子（了解）（了解）立方晶系的基矢：立方晶系的基矢：fcc：123122122122aaaabcjkacakiaabijbcc：1231+22122122aaaaa+ bcijkaajcijkaabcijk第二章第二章 晶体的结合晶体的结合一、晶体结合的基本类型及主要特征一、晶体结合的基本类型及主要特征二、晶体中粒子的相互作用二、晶体中粒子的相互作用双粒子模型：双粒子模型： mnabu rrr 晶体的互作用能：晶体的互作用能： mnABU rrr 由平衡条件由平衡条件00rdUdr求出求

7、出r0和和U0结合能：结合能：W U0 0结合能的物理意义：把晶体拆分成彼此没有相互作用的原结合能的物理意义：把晶体拆分成彼此没有相互作用的原 子、离子或分子时，外界所做的功。子、离子或分子时，外界所做的功。体积压缩模量体积压缩模量2020VdPd UKVVdVdV 体积压缩模量的物理意义：产生单位相对体积压缩所需体积压缩模量的物理意义：产生单位相对体积压缩所需 的外加压强。的外加压强。 3VN r晶体体积：晶体体积： 为体积因子，只与结构有关为体积因子，只与结构有关三、离子晶体的互作用能三、离子晶体的互作用能 204nN qBU rrr j 0jj 为为Madelung const. ，只与

8、结构有关，只与结构有关Madelung const.的求法：中性组合法。的求法：中性组合法。四、分子晶体的互作用能四、分子晶体的互作用能 1264u rrr LennardJones势势 1261262U rNAArr晶体互作用能晶体互作用能A12和和A6只与晶体结构有关。只与晶体结构有关。在常压下，在常压下，He即使当即使当T0时，也不能凝结成晶体，这时，也不能凝结成晶体，这是由于原子零点振动能的影响，是一个量子效应。是由于原子零点振动能的影响，是一个量子效应。 双粒子模型用于离子晶体和分子晶体上是相当成功双粒子模型用于离子晶体和分子晶体上是相当成功的，这是由于在这两类晶体中，电子云的分布基

9、本上是的，这是由于在这两类晶体中，电子云的分布基本上是球对称的，因而可以用球与球之间的相互作用来模拟。球对称的，因而可以用球与球之间的相互作用来模拟。五、共价结合的基本特征：方向性和饱和性五、共价结合的基本特征：方向性和饱和性本章要求：掌握各种晶体结合类型的基本特征；本章要求：掌握各种晶体结合类型的基本特征； 给定晶体相互作用能的形式（一般情况、给定晶体相互作用能的形式（一般情况、 离子晶体或分子晶体），会根据平衡条件、离子晶体或分子晶体），会根据平衡条件、 体积压缩模量的定义以及体积因子求出平体积压缩模量的定义以及体积因子求出平 衡时晶体中最近邻两个粒子间的距离衡时晶体中最近邻两个粒子间的距

10、离r0、 相互作用能相互作用能U0（或结合能（或结合能W）和体积压缩）和体积压缩 模量模量K的表达式。的表达式。六、共价键与离子键之间的混合键六、共价键与离子键之间的混合键 当形成共价键的两个原子不是同种原子时，这种结当形成共价键的两个原子不是同种原子时，这种结合不是纯粹的共价结合，而是含有离子结合的成分。合不是纯粹的共价结合，而是含有离子结合的成分。第三章第三章 晶格振动和晶体的热学性质晶格振动和晶体的热学性质一、晶格振动一、晶格振动要求：会写出一维（简单晶格或复式晶格）晶体链晶格要求：会写出一维（简单晶格或复式晶格）晶体链晶格 振动的动力学方程，格波方程，并导出色散关系。振动的动力学方程，

11、格波方程，并导出色散关系。二、光学波和声学波的物理图象二、光学波和声学波的物理图象光学波的物理图象：原胞内不同原子间基本上作相对振光学波的物理图象：原胞内不同原子间基本上作相对振 动，当动，当q0时，原胞内不同原子完时，原胞内不同原子完 全作反位相振动。全作反位相振动。声学波的物理图象：原胞基本上作为一个整体振动，当声学波的物理图象：原胞基本上作为一个整体振动，当 q0时，原胞内各原子的振动（包时，原胞内各原子的振动（包 括振幅和位相）都完全相同。括振幅和位相）都完全相同。三、布里渊区三、布里渊区12nnn GqGG 布里渊区边界面方程布里渊区边界面方程在在q空间中，空间中， j(q)有如下性

12、质：有如下性质： jjnqqG源于晶格的周期性源于晶格的周期性 jjqq源于时间反演对称性源于时间反演对称性 简约区就是倒易空间中的简约区就是倒易空间中的WignerSeitz原胞，每原胞，每个布里渊区的体积均相等，都等于倒格子原胞的体积。个布里渊区的体积均相等，都等于倒格子原胞的体积。立方晶系的简约区立方晶系的简约区简单立方晶格的简约区：由简单立方晶格的简约区：由6个个100面围成的简单立方体。面围成的简单立方体。面心立方晶格的简约区：由面心立方晶格的简约区：由8个个111面和面和6个个100面围成面围成 的十四面体。的十四面体。体心立方晶格的简约区：由体心立方晶格的简约区：由12个个110

13、面围成的正十二面面围成的正十二面 体。体。要求：给定一简单晶体（二维）结构，会作出其前几个要求：给定一简单晶体（二维）结构，会作出其前几个 布里渊区图形。布里渊区图形。四、周期性边界条件四、周期性边界条件jjNRaR312123123hhhNNNqbbb 3.8Vconstq（三维）（三维）简约区中波矢简约区中波矢q的取值总数的取值总数N晶体的原胞数晶体的原胞数晶格振动格波晶格振动格波 总数总数dsN晶体的自由度数晶体的自由度数其中，其中，d为晶体的维数，为晶体的维数，s为每个原胞中的原子数。为每个原胞中的原子数。声学波：声学波：d 支；支； 光学波：光学波： d (s-1)支。支。 1, 2

14、, 3五、声子概念五、声子概念声子：晶格振动的能量量子声子：晶格振动的能量量子 ，是反映晶体中原子，是反映晶体中原子 集体运动状态的激发单元。声子只是一种准粒子，集体运动状态的激发单元。声子只是一种准粒子， 它不能脱离晶体二单独存在。声子与声子（或声它不能脱离晶体二单独存在。声子与声子（或声 子与其他粒子）的相互作用过程遵从能量守恒和子与其他粒子）的相互作用过程遵从能量守恒和 准动量守恒。准动量守恒。j j第第j种声子的能量本征值为种声子的能量本征值为jjj12En一个典型声子能量：一个典型声子能量：210 eV在一定温度下，第在一定温度下，第j种声子的统计平均能量为种声子的统计平均能量为jj

15、jjjB11122exp1kEnT 声子是一种玻色子，在一定温度下，平均声子数声子是一种玻色子，在一定温度下，平均声子数按能量的分布遵从按能量的分布遵从BoseEinstein分布：分布：jj1exp1Bnk T六、确定晶格振动谱的实验方法六、确定晶格振动谱的实验方法 利用中子或光子受声子的非弹性散射来确定晶格振利用中子或光子受声子的非弹性散射来确定晶格振动谱。动谱。 中子的非弹性散射：是确定晶格振动谱最常见也是最中子的非弹性散射：是确定晶格振动谱最常见也是最 有效的实验方法。有效的实验方法。 可见光的非弹性散射：可见光光子受光学声子的非弹可见光的非弹性散射：可见光光子受光学声子的非弹 性散射

16、称为性散射称为Raman散射；受声学声子的非弹性散射称散射；受声学声子的非弹性散射称 为为Brillouin散射。散射。可见光非弹性散射的局限性：只能可见光非弹性散射的局限性：只能 确定简约区中心附近很小一部分区域的振动谱。确定简约区中心附近很小一部分区域的振动谱。 X光的非弹性散射：光的非弹性散射：缺点：缺点：X光光子的能量太高，很光光子的能量太高，很 难精确测定散射前后难精确测定散射前后X光光子的能量变化。光光子的能量变化。七、晶格热容七、晶格热容 0012mgEd晶体的零点能：晶体的零点能：与温度有关的振动能：与温度有关的振动能： 0exp1mBE Tdk Tg 03mgdN（三维简单晶

17、格）（三维简单晶格）g( ）：晶格振动模式密度；）：晶格振动模式密度； m：截止频率：截止频率晶格振动的总能量：晶格振动的总能量： 0EEE T 220expexp1mBVBBBk TCkdk Tk Tg晶格热容：晶格热容： DulongPetit定律：常温下定律：常温下CV 3R6 cal/mol.K Einstein模型：模型： 0const.Einstein温度：温度：0EBk 0gd N d:晶体维数，晶体维数，N:晶体原胞数晶体原胞数高温下：高温下：T E ，CV 3R，与，与DulongPetit定律一致；定律一致；低温下：低温下： T D ， CV 3R，与，与DulongPet

18、it定律一致；定律一致；34125BVDNkTC低温下：低温下： T D，声子的平均自由程主要取决于声，声子的平均自由程主要取决于声 子与声子间的相互碰撞，这时，声子的平均自由程与子与声子间的相互碰撞，这时，声子的平均自由程与 T成反比。在低温下，成反比。在低温下， T D，声子的平均自由程主，声子的平均自由程主 要取决于声子与晶体中的杂质、缺陷及晶体边界等的要取决于声子与晶体中的杂质、缺陷及晶体边界等的 碰撞。碰撞。第四章第四章 晶体中的缺陷和扩散晶体中的缺陷和扩散一、晶格缺陷的基本类型一、晶格缺陷的基本类型二、热缺陷（空位、间隙原子和二、热缺陷（空位、间隙原子和Frenkel缺陷）缺陷）热

19、缺陷是由于晶体中原子热振动能量的统计涨落所产生的。热缺陷是由于晶体中原子热振动能量的统计涨落所产生的。 热缺陷的平衡数目热缺陷的平衡数目11expBunNk T空位的平衡数目：空位的平衡数目：间隙原子的平衡数目：间隙原子的平衡数目：22expBunNk TFrenkel缺陷的平衡数目：缺陷的平衡数目：exp2ffBunNNk T 热缺陷的运动热缺陷的运动空位：空位：1110expBEk T间隙原子：间隙原子：2220expBEk T三、晶体中原子的扩散三、晶体中原子的扩散晶体中原子扩散的本质是原子无规的布朗运动。晶体中原子扩散的本质是原子无规的布朗运动。 产生一个空位所需的能量产生一个空位所需

20、的能量u11eV，u1 0时时 1exp1Bf EEk TFermiDirac分布函数分布函数强简并情况：强简并情况： EF对金属：对金属：n： 1022 1023cm3，EF0几个几个eV，TF: 104105K。四、四、Sommerfeld展开式展开式 2206FBFf E Q E dEQ Ek TQE由自由电子的总数由自由电子的总数N可求得可求得T0时的费米能：时的费米能： 22006FEBFNf E N E dEN E dEk TNE得得220112FFFTEET对金属，由于对金属，由于EF0kBT或或TFT，所以，所以， EF EF0。得得22eBFdUTCNkdTT 对金属，对金属

21、，EF0kBT 或或 TFT，所以，常温下，所以，常温下CekBT 或或 TFT，所以，所以 0，即金属的顺磁磁化率基本上不随温度变化而变化。即金属的顺磁磁化率基本上不随温度变化而变化。要求：掌握要求：掌握Sommerfeld展开式，并会用它来计算金属展开式，并会用它来计算金属 的性质。的性质。五、热电子发射与接触电势五、热电子发射与接触电势热电子发射：热电子发射：2expBWjATk TW几个几个eVWiegrmannFranz定律：定律：223BKkTe或或 Lorenz数：数：22.3BKkLconstTe 对金属，由于其费米能很高，即对金属，由于其费米能很高，即EF0kBT 或或 TF

22、T，所以，尽管金属中有大量的自由电子，但对金属性质有所以，尽管金属中有大量的自由电子，但对金属性质有贡献的仅是费米面附近的一小部分电子，而离费米面较贡献的仅是费米面附近的一小部分电子，而离费米面较远的电子由于其附近的能态仍被其他电子所占据，没有远的电子由于其附近的能态仍被其他电子所占据，没有空的能态来接纳它。因此，这些电子不能吸收外界的能空的能态来接纳它。因此，这些电子不能吸收外界的能量而跃迁到高能态，而仍保持原来量而跃迁到高能态，而仍保持原来T0时的状态，对金时的状态，对金属的性质没有贡献。属的性质没有贡献。六、自由电子论的成功与局限性六、自由电子论的成功与局限性常用公式：常用公式： 3/2

23、1/21/22322VmN EECE0032FFNN EEFD分布函数；分布函数；Sommerfeld展开式；展开式； 0Nf E N E dE 0UEf E N E dE第六章第六章 能带论基础能带论基础二、二、Bloch定理定理Bloch函数：函数： ieuk rkkrr一、周期场模型一、周期场模型ie k r描述电子的共有化运动，反映电子在运动过程描述电子的共有化运动，反映电子在运动过程中，位相随位置的变化。中，位相随位置的变化。 ukr描述电子的原子内运动，反映电子与晶格相互描述电子的原子内运动，反映电子与晶格相互作用的强弱，表现为电子的振幅随位置的周期作用的强弱，表现为电子的振幅随位

24、置的周期性变化。性变化。三、近自由电子近似三、近自由电子近似1. 近自由电子模型近自由电子模型2. 主要结果：在离布里渊区边界面较远处，周期场的影响主要结果：在离布里渊区边界面较远处，周期场的影响 很小，电子的运动与自由电子非常接近，仅是对自由电很小，电子的运动与自由电子非常接近，仅是对自由电 子的微小修正；周期场的影响主要表现在布里渊区边界子的微小修正；周期场的影响主要表现在布里渊区边界 附近，电子的能量会偏离自由电子能量，而在布里渊区附近，电子的能量会偏离自由电子能量，而在布里渊区 边界处电子的能量发生突变：边界处电子的能量发生突变： E2 Un 。 注意三维情况与一维情况的差别：在一维情

25、况下，在布注意三维情况与一维情况的差别：在一维情况下，在布 里渊区边界上的能量突变即表明能隙的存在；而在三维里渊区边界上的能量突变即表明能隙的存在；而在三维 情况下则不一定有能隙，而且还可能出现能带重叠。情况下则不一定有能隙，而且还可能出现能带重叠。3. 近自由电子近似主要适用于处理金属价电子所形成的能带。近自由电子近似主要适用于处理金属价电子所形成的能带。四、紧束缚近似四、紧束缚近似1. 紧束缚模型紧束缚模型2. 结果：结果： 0sikjsEJJe近邻sRRkR 1ijeNk RkRrrRsJ R(Rs近邻格矢近邻格矢)为近邻原子间电子波函数的为近邻原子间电子波函数的重叠积分。重叠积分。所形

26、成能带的宽度决定于所形成能带的宽度决定于sJ R3. 适用范围：原子的内层电子所形成的能带；过渡金属适用范围：原子的内层电子所形成的能带；过渡金属 的的d电子能带；绝缘体、化合物和某些半导体的价带。电子能带；绝缘体、化合物和某些半导体的价带。要求：给定简单的晶体结构，会求出要求：给定简单的晶体结构，会求出s态电子紧束缚近似态电子紧束缚近似 所形成的能带所形成的能带E(k)的表达式，并求出能带的宽度。的表达式，并求出能带的宽度。四、电子能带的对称性四、电子能带的对称性对同一能带有对同一能带有 nnnnnnEEEEEEkk +Gkkkk五、简约区中自由电子能带的表示法五、简约区中自由电子能带的表示

27、法 22(0)(0)2nnEEm nnkk +Gk +G自由电子能量：自由电子能量：要求：给定晶体结构，会求出自由电子沿给定对称方要求：给定晶体结构，会求出自由电子沿给定对称方 向能量最低的前几条向能量最低的前几条En(0)(k)k的曲线，并标的曲线，并标 出各能量曲线的简并度。出各能量曲线的简并度。六、能态密度与费米面六、能态密度与费米面1. 能态密度：能态密度： 2dSN EE等能面kk 若电子的能量函数若电子的能量函数E(k)已知，即可根据上式求出已知，即可根据上式求出其能态密度。对于等能面为椭球面的情况，可先求出其能态密度。对于等能面为椭球面的情况，可先求出在能量为在能量为E的椭球中的

28、能态总数的椭球中的能态总数Z(E)： 2Z EE能量为 的椭球体积k dZN EdE能态密度：能态密度：2. 近自由电子的费米面近自由电子的费米面 222224FFSNkkk（二维）（二维） ：平均每个原子的价电子数，即电子浓度或电子：平均每个原子的价电子数，即电子浓度或电子 原子比。若原子比。若 已知，即可求出其相应的费米半径。已知，即可求出其相应的费米半径。要求：给定晶体结构及每个原子提供的价电子数（电要求：给定晶体结构及每个原子提供的价电子数（电 子浓度），会求出相应的费米半径子浓度），会求出相应的费米半径kF，并画出，并画出 相应的近自由电子在简约区中各能带的费米面相应的近自由电子在简

29、约区中各能带的费米面 图形。图形。 会求出简约区的内切球（圆）半径及内切球会求出简约区的内切球（圆）半径及内切球 （圆）的饱和电子浓度（即电子原子比）。（圆）的饱和电子浓度（即电子原子比）。第七章第七章 晶体中电子在恒定电场磁场中的运动晶体中电子在恒定电场磁场中的运动一、准经典运动一、准经典运动1. 波包的概念波包的概念2. 准经典运动的基本方程准经典运动的基本方程1EddtkvkF3. 电子的加速度电子的加速度1ddEdtdt kkvka4. 有效质量概念有效质量概念倒有效质量张量倒有效质量张量222222222222211xxyxzyxyyzzxzyzEEEkkkkkEEEmkkkkkEEEkkkkk 由于有效质量中包含了周期场对电子的影响，因此由于有效质量中包含了周期场对电子的影响，因此电子的有效质量可以与电子的真实质量有很大的差别。电子的有效质量可以与电子的真实质量有很大的差别。对电子，在能带底对电子，在能带底E(k)取极小值，所以取极小值，所以m* 0；在能带；在能带顶顶E(k)取极大值，所以取极大值，所以m* 0。5. 空穴的概念：空穴的概念：空穴是一种具有正的有效质量空穴是一种具有正的有效质量m*，带，带 正电荷正电荷e的准粒子。它反映的是近满带中所有电子的的准粒子。它反映的是近满