一元二次方程的根与系数关系的应用（精编版）

1、课题：一元二次方程的根与系数关系的应用一、复习导入 ：上节课我们学习了一元二次方程的根与系数的关系（也就是韦达定理） ，具体内容如下：如果方程那么、的两个实数根是,)0(0212xxacbxaxacxxabxx2121,另外我们还研究了韦达定理的逆定理,内容如下：如果实数21xx 、满足acxxabxx2121,，那么21xx 、是一元二次方程02cbxax的两个根 . 最后我们研究了韦达定理的两个重要推论，内容如下：推 论1 ： 如 果 方 程02qpxx的 两 个 根 是21xx 、， 那 么.,2121qxxpxx推论2：以两个数21xx 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.0)(

2、21212xxxxxx今天我继续来研究一元二次方程的根与系数关系的应用二、讲授新课 ：一元二次方程的根与系数关系的应用应用 1：验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根例题 1：不解方程，检验下列方程的解是否正确. 方程13, 130232212xxxx的两根为. 解：2131313,3213)13(2121xxxx满足21, xxacxxabxx2121,13, 1321xx是方程的根02322xx. 应用 2：由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数. 例题 2：已知方程01022kxx的一个根是2 .则 k，它的另一根为. 解法一：是方程201022kxx的

3、根，, 010222-2?k代人原方程得把1.1kk01022kxx，解得另一根为25.（传统方法）解法二：设方程的另一根为1x，则,521x.251x又,2252k1-25. 1的值是，故方程的另一根是kk（韦达定理应用）应用 3：不解方程，可以利用韦达定理求关于21xx 、的（非）对称式的值 . 如 ：2121122121222111,11,xxxxxxxxxxxx等 等 这 类 为 对 称 式 ， 而2121231,3xxxxx等等这类为非对称式 . 注意：如果把含21xx 、的代数式中的21xx 、互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于21xx 、的对称式，否则称为非对称式.

4、 例题 3：已知21xx 、是方程21122036xxxxxx的两实数根，则的值为212124xxx的值为解：21xx 、是方程的两个根，0362xx3,62121xxxx10363633262221212212121222112xxxxxxxxxxxxxx1x是方程的根，0362xx036121xx，即36121xx212124xxx=93232224362121211xxxxxxx应用 4：已知方程的两根，求这个一元二次方程. 例题 4：求一个一元二次方程，使它的两根是：21, 321xx解：21, 321xx23,252121xxxx该方程可以是023252xx，可化为03522xx应用

5、 5：已知两数的和与积，求这两个数. 例题：已知的值求满足baabbaba, 3,2,解：3,2 abba，的两根可以看作方程032,2xxba方程0322xx可化为013 xx，3, 11, 3baba或应用 6：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值. 例题 6： 已知方程042222mxmx有两个实根且它们的平方和比它们的积大 21，求m的值. 解：设方程的两根为21xx 、，4,2222121mxxmxx又21212221xxxx，21321221xxxx21432222mm， 整理得017162mm，1,1721mm当17m时，0，原方程无实根 . 当1m时，0，原方程有

6、两个不相等的实根. 1m应用 7：证明方程系数之间的特殊关系例题 7：设方程02qpxx的两根之差等于方程02pqxx的两根之差，求证：4qpqp或证明： 设方程02qpxx的两根为21xx、，02pqxx的两根为43xx 、由题意知4321xxxx，故有24432322212122xxxxxxxx从而有432432122144xxxxxxxx根据韦达定理，有pxxqxxqxxpxx43432121,把带入，有pqqp4422，即04422qpqp即04qpqpqp，即04qpqp故040qpqp或，即4qpqp或应用 8：解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等例题 8：已知cba,

7、是abc的三边，关于x的一元二次方程xbax22-0222acba的两根之和与两根之积相等，判定三角形的形状解：设方程的两根为21xx 、，根据题意知2121xxxx根据韦达定理，有acbaxxbaxx22,221221把带入，有acbaba2222，即222cba，故是直角三角形应用 9：根的分布问题利用根的判别式和根与系数的关系，可进一步确定根的分布问题， 这也是中考命题的热点，现总结规律如下：对于一元二次方程212,),0(0 xxacbxax设其两根为方程有实数根：0；方程无实数根：0方程有两个相等实数根：0；方程有两个不相等实数根：0方程有两个正实数根：0, 0,02121xxxx方

8、程有两个负实数根：0,0,02121xxxx方程有一正一负实数根：0,021xx方程有一正一负实数根且正根的绝对值大：0,0,02121xxxx方程有一正一负实数根且负根的绝对值大：0,0,02121xxxx方程仅有一正实数根：0,002121cxxxx或方程仅有一负实数根：0,002121cxxxx或方程有一根为 0：0c；方程有两根都为0：0cb方程仅有一根为0：0,0 cb方程两根互为相反数：0,021xxb； 两根互为倒数：1,021xx两根互为负倒数：1,021xx；一根大于m，一根小于m（m为实数） ：0,021mxmx两根都大于m：0,0,02121mxmxmxmx两根都小于m：0,0,02121mxmxmxmx例题 9：已知关于x的两个方程04422mxmx与0322mxnmx，方程有两个不相等的负实数根，方程有两个实数根 .求证方程两根符号相同解：方程04422mxmx有两个不相等的负实数根，设这两个负实数根分别为21,xx，0,0,02121xxxx即024,024,04842mmmm，解不等式组得4m，由方程有两个实数根，可知0m，当4m时，03mm，即方程两根