有没有画不出来图象的函数？（精编版）

1、有没有画不出来图象的函数？有没有画不出来图象的函数？我们知道在近几年的高考中,越来越重视对函数的理解。而狄利克雷函数正是完全建 立在主观意义上的人造函数,所以值得我们细细研究。函数概念最早出现在17 世纪英国数学家格雷戈里的文章论圆和双曲线的求积 （ 1667年）中他定义函数是这样一个量： 它是从一些其他盆经过一系列代数运算或者任何其他可以想象到的运算而得到的自从牛顿于1665年开始微积分 （研究曲线的弧长、不规则图形的面积等的一个数学分支）的研究工作后，他一直使用“流量”一词来表示变t 间的关系 17世纪德国著名数学家莱布尼茨 1673 年在一篇手稿里使用了，函数”这一概念后来，莱布尼茨又引

2、进“常盆”、“变量”和参变 t ”的概念在数学史上，这是一大进步，它使得人们可以从数量上描述运动了当时的函数指的是可以用解析式表示的函数但这种概念对数学和科学的进一步发展来说实在是太狭隘了1734年，瑞士数学家欧拉用f(x ）作为函数的记号 f(x ） 中的 f 是 function （的数）的第一个字母历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(dirichlet)这也促成了微积分的严格性的开始事实上，如果严格性没有进人定义，那就无法在推理中体现严格性当时，数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的、严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象他们还没有推理赖以展开的

3、精确定义1829 年，一个叫狄利克雷的人生生造出了如下的函数：就说这个表达式吧，是不是符合函数的定义？但你能画出它的图象吗？从直观上讲,狄利克雷函数可以看做两条极不光滑的直线。狄利克雷函数具有以下几个性质:(1) 解析式不可写。 (2) 图像不可画， 无法画出图像， 但是图像客观存在。 (3) 没有有关的实际背景作为参考，即生活中很难找到以这个函数为模型的例子。从以上特点看出,狄利克雷函数完全是“人工”的函数,对整个数学的逻辑严密性,起到至关重要的作用。狄利克雷函数的出现，表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“

4、概念、性质、结构”. 狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且是有愈识地“以概念代替直觉”的人在狄利克雷之前，数 学家们主要研究具体函数，进行具体计算，他们不大考虑抽象问题但狄利克雷之后，事情逐渐变化了，人们开始考虑函数的各种性质，例如（图象的）对称性、增减性、连续性等具体函数、具体函数的计算逐渐淡化了1837年，狄利克雷给出了与我们现在所熟知的函数定义非常相近的函数的如下定义（区间一般是指两个实数之间的所有实数）:如果对于给定区间上的每一个x 值，都有唯一的y 值与它对应，那么 y 是 x 的函数这个说法逐步演变为现在高中课本上用的函数的定义：设a， b 是非空的数集，如果按照某种确定的对

5、应关系f，使对于集合a 中的任意一个数x，在集合b 中都有唯一确定的数 y 和它对应， 那么就称为从集合 a 到集合 b 的一个函数，记作或。其中 x 叫作自变量， y 叫做 x 的函数，集合 a 叫做函数的定义域，与 x 对应的 y 叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域， f 叫做对应法则。 其中， 定义域、值域和对应法则被称为函数三要素 .关于荻利克雷函数也可以用一个统一的式子进行表达：这个函数有如下基本性质:(1) 周期性：任何的非零有理数都是这个函数的周期。也就是说,此函数没有最小正周期。(2) 奇偶性： d(x) 是偶函数。 (3) 单调性： d(x) 在任意区间都不具有单调性。 (4) 处处不可导，处处不连续，处处不可积。这个函数一般用分段表达：有时