不动点法求数列通项公式

1、不动点法求数列通项公式通常为了求出递推数列 an+1=(can+d)/(ean+f)【c、d 、e、f 是不全为 0 的常数 ,c、e 不同时为 0】的通项 ,我们可以采用不动点法来解 .假如 数列 an 满足 an+1=f(an), 我们就称 x=f(x) 为函数 f(x) 的不动点方程 , 其根称为函数 f(x) 的不动点 .至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项 这足可以写一本书 .但大致的理解可以这样认为 ,当 n 趋于无穷时 ,如果数列 an 存在极限 ,an 和 an+1 是没有区别的 .首先 ,要注意 ,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如：an+1=an+1/an

2、.其次 ,不动点有相异不动点和重合不动点 .下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧 .例1：已知 a1=2,an+1=2/(an+1),求通项 .【说明：这题是“相异不动点”的例子 .】 先求不动点a n+1=2/(a n+1)令x=2/(x+1),解得不动点为：x=1和x=-2【相异不动点】(a n+1-1)/(an+1+2)【使用不动点】=(2/(an+1)-1)/(2/(an+1)+2)=(2-an-1)/(2+2an+2)=(-an+1)/(2an+4)=(-1/2)(an-1)/(an+2)va1=2(a1-1)/(a1+2)=1/4(an卜1)/(an+2)是首项为1/

3、4,公比为-1/2的等比数列(a n-1)/(a n+2)=1/4(-1/2F( n-1)解得：an=3/1-(-1/2)八(n+1)-2例2 ：已知数列 an 满足 a1=3,anan-1=2an-1-1,求通项.【说明：这题是“重合不动点”的例子 .“重合不动点”往往采用取倒数 的方法 .】va n=2-1/a n-1采用不动点法,令： x=2-1/x即：xA2-2x+1=0 x=1 【重合不动点】va n=2-1/a n-1 an-1=2-1/an-1-1 【使用不动点】an-1=(an-1-1)/an-1两边取倒数 ,得： 1/(an-1)=an-1/(an-1-1)即： 1/(an-

4、1)-1/(an-1-1)=1va1=3 1/(an-1) 是首项为 1/(a1-1)=1/2, 公差为 1 的等差数列即： 1/(an-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2 an=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)例 3 ：已知数列 an 满足 a1=1/2,Sn=annA2-n(n-1),求通项.【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含 n 的例子 .】tS n=a nn 八2-n(n-1)S n+1=a n+1( n+1)T-( n+1) n将上面两式相减 ,得：an+1=a n+1( n+1)八2-a nn 八2-( n+1)

5、n+n(n-1)(n 八2+2 n)a n+1=a nn 八2+2 n(n+2)an+1=nan+2an+1=ann/(n+2)+2/(n+2)【1】采用不动点法 ,令： x=xn/(n+2)+2/(n+2)解得： x=1 【重合不动点】设：an-1=bn,贝心an=bn+1【使用不动点】代入【 1 】式,得： bn+1+1=(bn+1)n/(n+2)+2/(n+2) bn+1=bnn/(n+2)即： bn+1/bn=n/(n+2)于是：【由于右边隔行约分 ,多写几行看得清楚点】bn/bn-1=(n-1)/(n+1)【这里保留分母】bn-1/bn-2=(n-2)/n【这里保留分母】bn-2/b

6、n-3=(n-3)/(n-1)bn-3/bn-4=(n-4)/(n-2)b5/b4=4/6b4/b3=3/5b3/b2=2/4【这里保留分子】b2/b1=1/3【这里保留分子】将上述各项左右各自累乘 ,得：bn/b1=(1*2)/n(n+1)Ta1=1/2b1=a1-仁-1/2b n=-1/ n(n+1)通项 an =b n+1=1-1/ n(n+1)例4：已知数列 an 满足 a1=2,an+1=(2an+1)/3, 求通项.【说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法.】va n+1=(2a n+1)/3求不动点： x=(2x+1)/3, 得： x=1 【重合不动点】a

7、 n+1-1=(2a n+1)/3-1【使用不动点】即：an+1-仁(2/3)(an-1)an-1是首项为a1-仁1,公比为2/3的等比数列即：an-1=(2/3)八(n-1)a n=1+(2/3F( n-1)【又】Ta n+1=(2a n+1)/33a n+1=2a n+1这时也可以用待定系数法 ,甚至直接用观察法 ,即可得到：3an+1-3=2an-2a n+1-仁(2/3)(a n-1)【下面同上】例5:已知数列xn满足 x1=2,xn+1=(xnA2+2)/(2xn),求通项.【说明：现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法 .】x n+1=(x nF2+2)/(2x n)

8、采用不动点法，设：y=(yA2+2)/(2y)yA2=2解得不动点是：y= 士辺 【相异不动点为无理数】(xn+1- v2)/(x n+1+v2)【使用不动点】=(x n A2+2)/2x n 卜v2/(x nF2+2)/2x n +v2=(xnA2-2 v2xn+2)/(xnA2+2v2xn+2)=(xn- v2)/(xn+v2)A2vxn+1=(xnF2+2)/2xn=xn/2+1/xn>2/ v2= VIn (x n+1-v2)/(x n+1+v2)=2l n(x n-v2)/(x n+v2)【取对数】vx1=2>v (x1- v2)/(x1+v2)=3-2 v2 In(xn

9、-v2)/(xn+v2) 是首项为 In(3-2 v2), 公比为 2 的等比数列即： In(xn- v2)/(xn+v2)=2A(n-1)In(3-2v2)(xn- v2)/(xn+v2)=(3-2 v2)A2A(n-1)xn- v2=(3-2 v2)A2A(n-1)(xn+v2)xn-xn(3-2v2)A2A(n-1)=v2(3-2 v2)A2A(n-1)+v2 xn= v21+(3-2 v2)A2A(n-1)/1-(3-2v2)A2A(n-1)例6：已知数列 an 满足 a1=2,an+1=(1+an)/(1-an),求通 项.说明：现在举个不动点是虚数的例子 ,说明有些题目可以采用不动

10、点法但采用其他解法可能更方便 .】求不动点：x=(1+x)/(1-x),即：xA2=-1,得：x1=i,x2=-i 【相异不动点为虚数 ,i 为虚数单位】(a n+1-i)/n+1+i)【使用不动点】=(1+an)/(1-an-i/(1+an)/(1-an+i =(1+an-i+ani)/(1+an+i-ani) =(1+i)/(1-i)(an-i)/(an+i)=i(an-i)/(an+i)a1=2(a n-i)/ n+i)是首项为 1-i)/(a1+i)=(2-i)/(2+i),的等比数列即： (an-i)/(an+i)=(2-i)/(2+i)iA(n-1) (an-i)(2+i)=(an+i)(2-i)iA(n-1) 2an-2i+ian+1=(2an+2i-ian+1)iA(n-1) 2+i-(2-i)(i)A(n-1)an=2i-1+(2i+1)iA(n-1) an=2i-1+(2i+1)iA(n-1)/2+i-(2-i)iA(n-1)/a n=2i-1+(2-i)iA n/2+i-(2-i)iA( n-1) 【下面用“三角代换” ,看看是否更巧妙一些 .】va n+1=(1+a n)/(1-a n)令an=tan B,则 an+1=tan(n/4)+tan0/1-tan(0=ta n(兀/4+ 0)公比为 i兀/4)tanT0=a