高中数学竞赛教材讲义第十二章立体几何讲义（精编版）

1、第十二章立体几何一、基础知识公理 1 一条直线。 上如果有两个不同的点在平面。内 则这条直线在这个平面内，记作：aa公理 2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若p，则存在唯一的直线m ，使得 =m,且 pm 。公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面推论 l 直线与直线外一点确定一个平面推论 2 两条相交直线确定一个平面推论 3 两条平行直线确定一个平面公理 4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行定义 1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成

2、的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离定义 2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外直线与平面相交和直线与平面平行( 直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行) 统称直线在平面外定义 3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直定理 2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直定理 4 平面

3、外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角定理 4 (三垂线定理 ) 若 d 为平面。的一条斜线，b 为它在平面a 内的射影， c 为平面 a 内的一条直线，若cb，则 ca逆定理：若ca，则 cb定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线

4、，若它与平面内一条直线b 平行，则它与平面a 平行定理 6 若直线。与平面平行，平面经过直线a 且与平面a 交于直线 6，则 a 定理 9 平面与平面平行，平面 =a， =b，则 a定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直定理 11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内定理 12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直定义 8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边( 称为侧棱 ) 都互相平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱两个互相平行的面叫做底面如果底面是平行四边形则叫做

5、平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做长方体棱长都相等的正四棱柱叫正方体定义 9 有一个面是多边形( 这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥定理 13 ( 凸多面体的欧拉定理) 设多面体的顶点数为v，棱数为e，面数为f，则v+f-e=2定义10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面球面所围成的几何体叫做球定长叫做球的半径，定点叫做球心定理 14 如果球心到平面的距离d 小于半径r，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直

6、设截面半径为r，则 d2+r2r2过球心的截面圆周叫做球大圆经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离定义11 ( 经度和纬度 ) 用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周( 以两极为端点) 叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经定理15 ( 祖原理 ) 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 定理16 ( 三面角定

7、理 ) 从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于3600定理 17 （面积公式）若一个球的半径为r，则它的表面积为s球面=4r2。若一个圆锥的母线长为 l ，底面半径为r ，则它的侧面积s侧=rl. 定理 18 （体积公式）半径为r的球的体积为v球=334r；若棱柱（或圆柱）的底面积为s，高 h，则它的体积为v=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为s，高为 h，则它的体积为v=.31sh定理 19 如图 12-1 所示，四面体abcd 中，记 bdc= ， adc= ， adb= ， bac=a ，abc=b ， acb=c 。dh平面 a

8、bc于 h。（1）射影定理： s abd?cos=sabh，其中二面角dabh为。（2）正弦定理：.sinsinsinsinsinsincba（3）余弦定理： cos=coscos+sin sin cosa. cosa=-cosbcosc+sinbsinccos. （4）四面体的体积公式31vdh?sabc=coscoscos2coscoscos161222abcsin611daa（其中 d 是 a1, a之间的距离，是它们的夹角）a32sabd?sacd?sin ( 其中为二面角b ad c的平面角 ) 。二、方法与例题1公理的应用。例 1 直线 a,b,c都与直线d 相交，且 a 因为 a

9、过 b,d 的平面是唯一的，所以，是同一个平面，所以a. 同理 c. 即 a,b,c,d共面。例 2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？ 解 充要条件。先证充分性，设图12-2 中 pqrstk 是长方体abcd-a1b1c1d1的正六边形截面，延长 pq ，sr设交点为o ，因为直线sr平面 cc1d1d，又 o 直线 sr ，所以 o 平面 cc1d1d，又因为直线pq平面 a1b1c1d1，又 o 直线 pq ，所以 o平面 a1b1c1d1。所以 o 直线 c1d1，由正六 边 形性 质 知 ， orq= oqr=600， 所 以 orq 为正 三 角 形 ， 因 为c

10、drosrrccr11c2481c1c1c1a/1c1a/1c1c1/1c1c1ac1c5 a1c2121cdad2121cdadcmmcmcmcmcm/52121bf2121ae23余弦定理mg2=bm2+bg2-2bm?bgcosmbg=2345495135232252322 =2 ， 所以 mg=.2因为 efae ， efbe，所以 ef平面 aeb ，所以 efam ，又 ambe ，所以 am平面 bce 。所以 agm 为 ag与平面ebcf所成的角。而tan agm=46223。所以 ag与平面 ebcf所成的角为46arctan. 例 9 见图 12-8 ，oa是平面的一条斜

11、角，ab于 b，c在内，且acoc ， aoc= ，aob= ， boc= 。证明： cos=cos?cos. 证明 因为 ab， acoc ，所以由三垂线定理，bcoc ，所以 oacos =ob,obcos =oc,又 rtoac中， oacos=oc ，所以 oacoscos=oacos，所以 cos=cos?cos. 5二面角问题。例 10 见图 12-9，设 s为平面 abc外一点， asb=450， csb=600，二面角a sb c为直角二面角，求asc的余弦值。 解 作 cm sb于 m ，mnas于 n，连结 cn ，因为二面角a sb c为直二面角，所以平面asb平面 bs

12、c 。又 cmsb ，所以 cm平面 asb ，又 mnas ，所以由三垂线定理的逆定理有cnas ，所以 sc?coscsn=sn=sc?coscsm?cos asb ，所以 cosasc=cos450cos600=42。例 11 见图 12-10 ，已知直角 abc的两条直角边ac=2 ，bc=3，p为斜边 ab上一点，沿cp将此三角形折成直二面角acp b，当 ab=7时，求二面角pacb的大小。 解 过 p作 pdac于 d，作 pecp交 bc于 e，连结 de，因为 acp b为直二面角，即平面 acp平面 cpb ，所以 pe平面 acp ，又 pdca ，所以由三垂线定理知de

13、ac ，所以pde为二面角pac b 的平面角。设bcp= ，则cosecd=cos ?cos(900- )=sin cos，由余弦定理cosacb=21322732222，所以 sin cos =21，所以 sin2 =1. 又 02，所以 =4，设 cp=a ，则 pd=22a,pe=a. 所以 tan pde=.2pdpe所以二面角p ac b的大小为2arctan。6距离问题。例 12 正方体 abcd a1b1c1d1的棱长为a，求对角线ac与 bc1的距离。 解 以 b 为原点，建立直角坐标系如图12-11 所示。设p，q 分别是bc1，ca 上的点，且cacqbcbp31,311

14、，各点、各向量的坐标分别为a(a,0,0),b(0,0,0),c(0,a,0)，111313131313131313131bbbabcbbbcbcbabcbccabcbpbqpq)31,31,31(aaa, 所以apq33|， 所以311bcpqaa+31aa=0, 31capqaa-31aa=0. 所以capqbcpq,1。所以 pq为 ac与 bc1的公垂线段，所以两者距离为.33a例 13 如图 12-12 所示，在三棱维sabc中，底面是边长为24的正三角形，棱sc的长为2，且垂直于底面，e，d分别是 bc ，ab的中点，求cd与 se间的距离。 分析 取 bd中点 f，则 ef.31

15、31sefcefscefshvssc. 3cefs.332h由此得 v(t+p)=2(v+30) ，即 v(t+p-2)=60. 由于每个三角形面有三条棱，故三角形面有3vt个，类似地，五边形有5vp个，又因为每个面或者是三角形或者是五边形，所以53ptv=32，由 此可得3t+5p=16，它的唯一 正整 数解为t=p=2， 代入v(t+p-2)=60得v=30，所以100p+10t+v250 。8与球有关的问题。例 15 圆柱直径为4r，高为 22r，问圆柱内最多能装半径为r的球多少个？ 解 最底层恰好能放两个球，设为球o1和球 o2，两者相切，同时与圆柱相切，在球o1与球o2上放球o3与球

16、 o4，使 o1o2与 o3o4相垂直，且这4 个球任两个相外切，同样在球o3与球 o4上放球 o5与球 o6，直到不能再放为止。先计算过o3o4与过 o1o2的两平行面与圆柱底面的截面间距离为rrr2)3(22。设共装 k层，则 (22-2)rh. 证明 不妨设 a到面 bcd的高线长 ah=h， ac与 bd间的距离为d， 作 afbd于点 f，cnbd于点 n，则 cnefefafefaefgahdh注：在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法，请读者在解题中认真总结。三、基础训练题1正三角形abc的边长为4，到 a，b，c的距离都是1 的平面有 _个. 2

17、空间中有四个点e， f，g，h，命题甲： e，f，g ， h不共面；命题乙：直线ef 和 gh不相交，则甲是乙的_条件。3动点 p从棱长为a 的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则点p运动的最大距离为_。4正方体abcd a1b1c1d1中， e ，f 分别是面add1a1、面 abcd的中心， g为棱 cc1中点，直线c1e，gf与 ab所成的角分别是，。则+=_。5若 a,b 为两条异面直线，过空间一点o与 a,b 都平行的平面有_个。6cd是直角 abc斜边 ab上的高， bd=2ad ，将 acd绕 cd旋转使二面角acd b为 600，则异面直线ac与 bd所成的角

18、为 _。7已知 pa平面 abc ，ab是 o的直径， c是圆周上一点且ac=21ab ，则二面角apc b的大小为 _。8平面上有一个abc ， abc=1050，ac=)26(2，平面两侧各有一点s，t，使得sa=sb=sc=41，ta=tb=tc=5 ，则 st=_. 9在三棱锥sabc中， sa底面 abc ，二面角asb c为直二面角，若bsc=450，sb=a ，则经过 a，b，c，s的球的半径为 _. 10空间某点到棱长为1 的正四面体顶点距离之和的最小值为_. 11 异面直线 a,b 满足 a.23222120ssss1c1c1c1c1c1c1c11pcpb2. 空间四边形ab

19、cd 中， ad=1 ，bc=3，且 adbc，bd=213，ac=23，则 ac与 bd所成的角为 _. 3 平面平面，=直线 ab ， 点 c，点 d，bac=450，bad=600， 且 cdab，则直线 ab与平面 acd所成的角为 _. 4单位正方体abcd a1b1c1d1中，二面角a bd1b1大小为 _. 5如图 12-13 所示，平行四边形abcd 的顶点 a 在二面角 mn 的棱mn上，点 b，c，d都在上，且ab=2ad ， dan=450， bad=600，若 abcd在半平面上射影为为菜，则二面角 mn =_. 6已知异面直线a,b 成角为，点m ，a 在 a 上，点

20、 n， b在 b 上， mn为公垂线，且mn=d ，ma=m ，nb=n 。则 ab的长度为 _. 7已知正三棱锥sabc侧棱长为4，asb=450，过点 a作截面与侧棱sb ，sc分别交于 m ，n，则截面 amn 周长的最小值为_. 8l1与 l2为两条异面直线，l1上两点a，b 到 l2的距离分别为a,b ，二面角al2b 大小为，则 l1与 l2之间的距离为_. 9 在半径为r的球 o上一点 p引三条两两垂直的弦pa ， pb ， pc ， 则 pa2+pb2+pc2=_. 10过 abc的顶点向平面引垂线aa1，bb1，cc1，点 a1，b1，c1，则 bac与 b1a1c1的大小关

21、系是 _. 11三棱锥 abcd中 acb= adb=900， abc=600，bad=450，二面角 a cd b为直角二面角。 （ 1）求直线ac与平面 abd所成的角；（ 2）若 m为 bc中点， e为 bd中点，求am与 ce所成的角；（3）二面角m ae b的大小。12四棱锥p abcd底面是边长为4 的正方形， pd底面 abcd ，pd=6 ，m ，n 分别是pb ，ab的中点，（1）求二面角m dn c的大小；（ 2）求异面直线cd与 mn的距离。13三棱锥 sabc中，侧棱 sa ，sb ，sc两两互相垂直，m为 abc的重心， d为 ab中点，作与 sc平行的直线dp ，证

22、明：（1）dp与 sm相交； （2）设 dp与 sm的交点为d，则d为三棱锥 sabc外接球球心。五、联赛一试水平训练题1现有边长分别为3，4，5 的三角形两个，边长分别为4，5，41的三角形四个，边长分别为265，4，5 的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_个四面体。2一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数nm，那么 mn=_。3 已 知 三 个 平 面 ， ， 每 两 个 平 面 之 间 的 夹 角 都 是20， 且=a,cb,，命题甲：3；命题乙： a,b,c相交于一点。则甲是乙的_条件。4棱锥 m abcd

23、的底面是正方形，且maab ，如果 amd 的面积为1，则能放入这个棱锥的最大球的半径为_. 5将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱长为2，则最远两个顶点间距离为_。6空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交的直线有_条。7一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体棱长为a，这个球的体积为_。8由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为v1，满足x2+y216,x2+(y-2)24,x2+(y+2)2 4的点 (x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为 v2，则21vv_。9顶点为p的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，a是底面圆围上的点，b是底面圆内的