平面向量题型二：平面向量的共线问题（精编版）

1、题型二：平面向量的共线问题1、若 a(2,3) ，b(x, 4),c(3, y), 且abuuu r=2acu u u r, 则 x= ，y= 2、已知向量a、 b，且 abu uu r=a+2b , bcuuu r= -5a+6b ,cduuu r=7a-2b,则一定共线的三点是（）aa、b、d ba、b、c cb、c 、d da、c、d 3、如果 e1、 e2是平面 内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（） e1 e2( , r)可以表示平面内的所有向量；对于平面中的任一向量a,使 a= e1 e2的 , 有无数多对；若向量 1e1+1e2与 2e1+2e2共线 ,则有且只有一个

2、实数k,使 2e1+2e2=k(1e1+1e2)；若实数 , 使 e1 e2=0，则 = =0. abcd仅4、若向量a=(1,1),b=（1,-1) ,c=(-2,4) , 则 c= ( ) a-a+3bb3a-bca-3bd-3a+b5、已知a(2,-2),b(4,3),向量 p 的坐标为 (2k-1,7)且 pab, 则 k 的值为( ) a.109 b.109 c.1019 d.10196、已知ar是以点(3, 1)a为起点，且与向量( 3,4)br平行的单位向量， 则向量ar的终点坐标是7、 给出下列命题：若 |ar| |br| ，则ar=br；若a，b，c，d是不共线的四点，则ab

3、dcuuu ru uu r是四边形abcd为平行四边形的充要条件；若ar=br，br=cr，则ar=cr；ar=br的充要条件是|ar|=|br|且arbrarbrbrcrarcrarbrarbrarbrr barr12120abrrraabbacabapad dbcdcbca31323131322,3,oaab obab ocuuu ru uu ruu u r13、如图点 g是三角形 abo 的重心 ,pq是过 g 的分别交 oa 、ob于 p、q的一条线段，且moaop，noboq, （m、rn） 。求证311nm6、解： 方法一：设向量ar的终点坐标是( , )x y，则(3,1)axy

4、r，则题意可知224(3)3(1)0311xyxy（ ） （ ），解得：12,515xy或18,595xy，故填121,55或189,55方法二：与向量( 3,4)br平行的单位向量是1( 3,4)5，故可得3 4,5 5ar，从而向量ar的终点坐标是( , )(3, 1)x yar，便可得结果归纳小结： 向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；与ar平行的单位向量|aearrr7、解析： 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确abdcu uu ruuu r，| |abdcuuu ruuu r且

5、/abdcu uu ruuu r，又a，b，c，d是不共线的四点，四边形abcd为平行四边形； 反之，若四边形abcd为平行四边形， 则，/abdcu uu ruu u r且| |abdcu uu ruuu r，因此，abdcu uu ru uu r正确ar=br，ar，br的长度相等且方向相同；又brcr，br，cr的长度相等且方向相同，ar，cr的长度相等且方向相同，故arcr不正确当arbrarbrarbrarbrarbrarbrbr0r,a br r12,120abrrr0arr0 barr0abrrraabam3131bacan4141)(rmcmpmcampamap31abamac

6、mc31baap)3131(abuuu r而bcuuu r=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2,abuuu rabu uu r与bcuuu r共线, 且有公共端点 b, a、b、c三点共线 . (2) 8a+kb 与 ka+2b共线, 存在实数 使得 8a+kb=(ka+2b)(8- k)a+(k-2 )b=0, a与 b 是不共线的两个非零向量, 8k 0，k20，?822?2，k24.13、分析：本题是一道典型的平面几何证明，如果用平几方法则过程很复杂，如果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得多。因为注意到p、g 、q 三点在一条直线上，所以我们可以考虑pq与pg共线，于是可以用共线定理得方程组求解。证明：设aoa，bob，则amop，bnoq)(21)(21baoboaod，)(3132baodogbamambaopogpg31)31()(31，即amb