2022年2022年基本不等式经典例题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学问点：基本不等式专题22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 1如 a 、br ,就 a 2b 22ab(2) 如 a、 br ,就 abab2（ 当 且 仅 当精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab 时取“ =”）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 1如 a 、br* ,就 ab2ab2 如a、 br* ,就 ab2ab（当且仅当精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a b 时取“ =”）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 如a

2、、 br * ,就 ab2ab当且仅当 a2b 时取“ =”）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 如 x0 ,就 x12 当且仅当xx1 时取“ =”）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 x0 ,就 x12 当且仅当 xx1时取“ =”）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 x0 ,就 x12即 x12或 x1-2当且仅当 ab 时取“ =”）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xxx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 如ab0 , 就ab2ba 当 且 仅 当 ab 时 取 “

3、= ”） 如 ab0 , 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab2即ab 2或a b- 2当且仅当 ab 时取“ =”）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b ababa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 如a、 br ,就 ab 22ab（当且仅当a222b 时取“ =”）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：(1) 当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小, 和定积最大” (2) 求最值的条件“一正,二定,三取等”(3

4、) 均值定理在求最值.比较大小.求变量的取值范畴.证明不等式.解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求以下函数的值域精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） y 3 x 2 12 x 21（ 2） y xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 1y 3x 2 12x 2123x 2·2x 26值域为6,+ ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12 当 x 0 时, y x x12x · x2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

5、下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1当 x 0 时,y x x1=（x x1） 2x · x= 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值域为（, 2 2 ,+ ）解题技巧精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技巧一：凑项例已知 x5,求函数y44 x214x5的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：因 4x50 ,所以第一要“调整”符号,又4 x214x不为常数,所以对4x25精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载要进行拆.凑项,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x5 、54x0 ,y4 x21

6、54 x13231精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载44 x1554 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当且仅当54x,即 x54x1 时,上式等号成立,故当x1 时,ymax1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技巧二：凑系数例：当时,求yx82 x 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：由知,利用均值不等式求最值,必需和为定值或积为定值,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此题为两个式子积的形式,但其和不为定值；留意到2x yx82 x 凑上一个系数即可；82 x8 为定值,故只需将精品学习资料精选学习资料 - - -

7、 欢迎下载当,即 x 2 时取等号当 x 2 时,yx82 x 的最大值为8 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式：设 0x3,求函数y24 x32 x 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3解： 0x32x20 y4x32x2 2x32 x2 2x232 x922精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当且仅当 2 x3 2x、 即 x340、 32时等号成立；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技巧三：分别技巧四：换元x27 x10精品学习资料精选

8、学习资料 - - - 欢迎下载例：求 y x1 的值域；x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载解析一：此题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有（x 1 ）的项,再将其分别；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当、即时 、 y2 （ x14x159 （当且仅当x 1 时取“”号）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析二：此题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x 1 ,化简原式在分别求最值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yt127t1）+10 = t5t4t45精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ttt

9、4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当、即 t=时、 y2tt59（当 t=2即 x 1 时取“”号）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技巧五：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,结合函数调性；f xxa 的单x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例：求函数yx25x24的值域；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：令x24t t2 ,就 yx 25x2411tt2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2411x24t精品学习资料精选学

10、习资料 - - - 欢迎下载因 t0、 t1 ,但 tt1解得 tt1 不在区间2、,故等号不成立,考虑单调性；5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 yt在区间1、单调递增,所以在其子区间2、为单调递增函数, 故 y；t25精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以,所求函数的值域为、；2技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例：已知 x0、 y0 ,且 19xy1 ,求 xy 的最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载错解：x0、 y190 , 且1 ,xy19x

11、y29 2xy12故精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyxyxyxy min12 ；错 因 ： 解 法 中 两 次 连 用均 值 不 等 式 , 在 xy2xy 等 号 成 立 条 件 为 xy ,在精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载192199等号成立条件为即 y9 x 、取等号的条件的不一样,产生错误；因此,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyxyxy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件为解题的必要步骤,而且为检验转换为否有误的一种方法；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

12、载正解：x0、 y0、 191 ,xyxy19y9x1061016精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyxyxy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y当且仅当9x19时,上式等号成立, 又1,可得 x4、 y12 时, xy16；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyxymin精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技巧七例：已知x, y 为正实数,且x 2y 2 2 1,求 x1 y的最大值 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a 2 b 2分析：因条件和结论分别为二次和一次,故采纳公式ab

13、；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同时仍应化简1 y 2 中 y2 前面的系数为11 y 2,x1 y 2 x2 ·2 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1y 2x·22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载下面将 x,1y 222分别看成两个因式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1y 2x ·22x 2 1y 2222y 212x 222324即x1 y 22·x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1y 232224技巧八：1已知 a, b 为

14、正实数, 2b ab a 30,求函数y ab 的最小值 .分析： 这为一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一为通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对此题来说, 这种途径为可行的；二为直接用基本不等式,对此题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法一： a30 2 bb 1,ab 30 2 bb 1· b 2 b 2 30 bb 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

15、下载由 a 0 得, 0 b 15精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 t b +1 ,1 t 16 ,ab 2t 2 34 t 31 t16 2（ t t16）34 t t162t · t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 ab18 y18当且仅当 t 4 ,即 b 3 , a 6 时,等号成立；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法二：由已知得：30 ab a 2 b a2 b22 ab 30 ab 22 ab令 uab就 u 2 22 u 30 0 , 52 u 321ab32 , ab18 ,

16、y 18精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab点评：此题考查不等式2ab（ a、 br ）的应用.不等式的解法及运算才能；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 何 由 已 知 不 等 式aba2b30（ a 、br ）出 发 求 得 ab 的 范 围 , 关 键 为 寻 找 到精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab与ab 之间的关系,由此想到不等式ab2ab（ a、 br ）,这样将已知条件转换精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为含 ab 的不等式,进而解

17、得ab 的范畴 .技巧九.取平方精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例: 求函数 y2 x152x 1x5 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：留意到2 x2221与 52x 的和为定值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2y2x152 x422 x152 x42 x152 x8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 y0 ,所以 0y223精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当且仅当 2x1= 52x ,即x时取等号；故2ymax22 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载应用二：利用均值不等式证明不等式精品学习资

18、料精选学习资料 - - - 欢迎下载例：已知 a .b .cr ,且abc1 ；求证：1111118abc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：不等式右边数字8 ,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2 ”连乘,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 111abc2bc,可由此变形入手；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aaaa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：a. b .cr , abc1；111 abc2 bc1；同理12ac,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aaaabb112ab ；上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得cc1112bc2ac2ab1精品学习资料精