2022年2022年基本不等式柯西不等式知识点复习

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点基本不等式及应用一.考纲要求：1. 明白基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简洁的最大 小 值问题 3明白证明不等式的基本方法综合法二.基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a bab2a>0,b>0a b2三.常用的几个重要不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21ab 2aba ,b r2ab a b22a , b r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22a ba b 2ba32 2 a , b r 4a b2a , b 同号且不为零 上述四个不等式等号成立的条件都为a b.精品学习

2、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四.算术平均数与几何平均数设 a>0, b>0,就 a, b 的算术平均数为算术平均数不小于它们的几何平均数a b2,几何平均数为ab,基本不等式可表达为：两个正数的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四个“平均数”的大小关系；a, b r+： 当且仅当ab 时取等号 .2ab ababa 2b2ab22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载五.利用基本不等式求最值：设x , y 都为正数(1) 假如积 xy 为定值 p,那么当x y 时和 x y 有最小值2p.1 2精品学习资料

3、精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 假如和 x y 为定值 s,那么当x y 时积 xy 有最大值4s .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载强调： 1. “ 积定和最小,和定积最大” 这两个结论时,应把握三点：“ 一正.二定.三相等.四最值 ”.当条件不完全具备时,应制造条件.正：两项必需都为正数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点定：求两项和的最小值,它们的积应为定值；求两项积的最大值,它们的和应为定值；等：等号成立的条件必需存在.2.当利用基本不等式求最大 小 值等号取不到时,如何处理？（如最值取不到可考虑函数的单调性）精品学习资料精选学习资

4、料 - - - 欢迎下载想一想 : 错在哪里？已知函数f xx3 xx22,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知函数f xx1,求函数的求函数的最小值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载最小值和此时x的取值x11解 ： f x x3x22x3x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:f x x2x2xx1x当 且 仅 当x23即 x3 时 , 函 数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 且 仅 当 x即 xx1 时 函 数x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取 到 最 小 值 2.的最小值为6；大家把x23 代 入看一看,会有什么发

5、现？用 什么 方法求该函数的最小值？113.已知两正数x , y 满意 xy 1,就 z x x y y 的最小值为 111解一：由于对a>0,恒有 a a 2,从而 z x x y y 4,所以 z 的最小值为4.222 x y 2xy22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解二： z xy 22xyxy· xy 2 22 1 ,所以z 的最小值为22 1 xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【错因分析】错解一和错解二的错误缘由为等号成立的条件不具备,因此使用基本不等式肯定要验证等号成立的条件,只有等号成立时,所求出的最值才为正确的精品学习资料精选学习

6、资料 - - - 欢迎下载111yx1xy2 2xy2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【正确解答】z x x y y xy xy x y xy xy xy xy xy 2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 t xy ,就 0<t xy x y212 ,由 ft t 42t 在0 ,14 上单调递减,故当t 1时, ft t 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2t 有最小值334 ,所以当x y125时 z 有最小值4 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2误区警示：精品学习资料精选学习资

7、料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点(1) 在利用基本不等式求最值 值域 时,过多地关注形式上的满意,极简洁忽视符号和等号成立条件3的满意,这为造成解题失误的重要缘由如函数y 1 2x xx<0 有最大值1 26而不为有最小值126.(2) 当多次使用基本不等式时,肯定要留意每次为否都能保证等号成立,并且要留意取等号条件的一样性,否就就会出错课堂纠错补练：4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 0<x2,就 fxsinx sinx的最小值为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点 1利用基本不等式证明不等式1. 利用基本不等式证明不等式为综合法证明不等

8、式的一种情形,其实质就为从已知的不等式入手, 借助不等式性质和基本不等式,经过逐步的规律推理,最终推得所证问题,其特点为“由因导果”2证明不等式时要留意敏捷变形,多次利用基本不等式时,留意每次等号为否都成立同时也要留意应用基本不等式的变形形式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1：（ 1）已知a、 b、c 均为正数,求证：a 2 b 2b 2c 2c2 a 2abcabc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）已知a、b、 c 为不全相等的正数,求证：abab) bcbc) acca 6abc精品学习资料精选学习资料 -

9、 - - 欢迎下载11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）已知 a>0, b>0, a b1,求证：a b 4.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载111练习： 已知 a.b. c 为正实数,且a bc1,求证： a 1 b 1 c 1 8.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点考点 2利用基本不等式求最值(1) 合理拆分项或配凑因式为常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需显现积为定值或和为定值(2) 当多次使用基本不等式时,肯定要留意每次为否能保证等号成立,并且要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错

10、,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅为解题的必要步骤,而且也为检验转换为否有误的一种方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4： 1设 0<x<2,求函数y2x2x 的最大值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值,然后确定取得最值的条件【解】1 0<x<2, 2 x>0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 x>0,求 fx12x 3x 的最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）已知 :x>0、y>0.且 2x+5y=20、

11、 求 xy的最大值 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4）已知 y4 a,求 y 的取值范畴a 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载345 已知 x>0 , y>0,且 x y 1,求 x y 的最小值练习：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求以下各题的最值1 已知 x>0 , y>0, lgx lgy 1,求 z25 的最小值；xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2x0,求 fx12x 3x 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学

12、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载43x<3,求 fx x x 的最大值3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4） a0、 b0、4ab1 ,求 ab 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点 3利用基本不等式求最值的解题技巧1. 代换：化复杂为简洁,易于拼凑成定值形式；2拆.拼.凑,目的只有一个,显现定值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3：（ 1）已知a、 br、 ab3ab ,求 ab 的最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

13、迎下载（ 2）已知 y2 x1x 2 0x1 ,求 y 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（ 3）已知a、br, a 2b 21 ,求 a1b 2的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）已知 xy0 , xyx21 ,求xy 2的最小值及相应的yx、 y 的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点 4基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤为：(1) 认真阅读题目,透彻懂得题意；(2) 分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它

14、表示其他的变量,把要求最值的变量设为函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点(3) 应用基本不等式求出函数的最值；(4) 仍原实际问题,作出解答练习：1.有一座大桥既为交通拥挤地段,又为事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定：大桥上的车距精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dm 与车速 vkm/h 和车长 lm 的关系满意：dkv 60 km/h时,车距为2.66 个车身长(1) 写出车距d 关于车速v 的函数关系式；12l lk为正常数 ,假定车身长都为4 m,当车速为 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 应规定怎样的车速,才能使

15、大桥上每小时通过的车辆最多？归纳提升：1创设应用基本不等式的条件：(1) 合理拆分项或配凑因式为常用的技巧,而拆与凑的目的为使“和式”或“积式”为定值,且每项为正值；(2) 在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅为解题的必要步骤,而且也为检验转换为否有误的一种方法2常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1a b 2a>0 ,且 a r,当且仅当a1 时“”成立aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a 2a>0 ,b>0, a,b r ,当且仅当a b 时“”成立b精品学习资料精选学习资料 - - -

16、欢迎下载柯西不等式一. 二维形式的柯西不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b2 c 2d 2 acbd 2a 、 b 、c 、 dr 、 当且仅当 adbc时、等号成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二. 二维形式的柯西不等式的变式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) a2b2c2d 2acbd a、 b 、 c 、 dr 、 当且仅当 adbc时、 等号成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) a2b2c2d 2acbda 、 b 、 c 、 dr 、

17、当且仅当 adbc时、 等号成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 ab cd acbd 2a 、 b 、c 、 d0 、 当且仅当 adbc 时,等号成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三. 二维形式的柯西不等式的向量形式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载. 当且仅当为零向量、 或存在实数k 、 使k时、等号成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件,制造条件也要用；比如说吧,对a2 + b2 + c2,并不为不等式的外形,但变成1/3 * 12 + 12 + 12 * a2 + b2 + c2就可以用柯西不等式了；例题【5】 . 设 x, y, zr,且满意x2y 2z25 ,就 x2y3z 之最大值为解x2y3z 2x 2y 2z21 22 23 25 1470 x2y3z 最大值为70【6】 设 x , y ,zr ,如 x 2y 2z24 ,就 x2y2z 之最小值为时, x , y , z解x2y2z 2x 2y2z21 2222 2