2015届普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷数学(文)试题

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试.模拟信息卷数学（文科）教师用卷考试时间120分钟 满分150分第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于 a b c d 【答案】c【解析】，他为纯虚数，所以实部为零，即1+2a=0,所以a=2. 已知，则 （ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】3己知命题“”是假命题，则实数的取值范围是 a. b. c. d. (2,6)【答案】b【解析】命题“”的否定为“”二次函数开口向上，要使它大于0恒成立，只需要，即，

2、4. 某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( c)【答案】c【解析】 ：当俯视图为a时，几何体为正方体，体积为1，现体积为,所以几何体为正方体的一半，选c5下列命题中，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面若则；若则；若则；若则则正确的命题是 a b c d【答案】c【解析】若若则，正确若则；不正确，可以相交，如长方体中若则 不正确可以平行，异面，相交若则，则，又因为所以，正确6. 函数（其中a0，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象a. 向右平移个长度单位b. 向左平移个长度单位c. 向右平移个长度单位d. 向左平移个长度单位【答案】b

3、【解析】有图可得， a=1，将（）代入中，可得7.当取得最小值时，实数x的值为（ ）a.1 b.2 c. d.【答案】c开 始i=1,s=0i<7i=i+1s=s+输出s结 束否是 【解析】:由题意可知：所以x=时，原式最小。8.程序框图如图所示，若输出结果s是（ ）a.55 b.91 c.140 d.204【答案】b【解析】由题意可知：9已知函数,且函数恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是a. b. c. d. 【答案】c【解析】因为当的时候，所以所有大于等于0的x代入得到的相当于在10. 给出下列命题：（1）某班级一共有53名同学，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量

4、为4的样本，已知8号，34号，47号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为22号；（2）一组数据1,2,3,3,4,，5的平均数、众数、中位数都相同；（3）一组数据为a，0,1,2，3，若改组数据的平均值为1，则样本标准差为2；（4）根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为则a=1;其中真命题为：a(1)(2) b(2)(3) c(2)(4) d(3)(4)【答案】d【解析】系统抽样抽得的号码成等差数列，故（1）为假命题；由定义知（2）为真命题；由a，0,1,2，3，的平均值为1可求得a=-1，故样本方差为2，标准差为，（3）位假命题；根据定义回归直线过样本中心，带入可

5、求得a=1，所以（4）为真命题。11.若函数 在区间上的最大值为2，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】cxyo【解析】 作出函数f(x)=2x3+3x2+1,(x0)的图像，当a<0时，f(x)=eax在（0,+¥）为减函数，符合题意，当a=0时，f(x)=1,符合题意，当a>0时，f(x)=eax在（0,+¥）为境函数，f(2)=e2a2,aln2,a12. 已知函数f(x)有极大值和极小值，则实数a的取值范围为（ ）a（-1,2）bc（-3,6）d【答案】b.【解析】 解得a的取值范围为。第ii卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题

6、共5小题，每小题5分，共20分. ）13. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 .【答案】【解析】 ，在等比数列里，隔项的符号相同 14. 若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 . 【答案】-1或0【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示，由图可知，要使平面区域的边界是一个直角三角形，则0或1.   15.在直角三角形中，点是斜边上的一个三等分点，则 【答案】4【解析】:由于点p是斜边ab上的一个三等分点，不妨设，将改写为，再利用，于是，又根据，因此16. 给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础

7、上给出下列关于函数的四个命题： 点是的图像的对称中心，其中； 的定义域是，值域是； 函数的最小正周期为； 函数在上是增函数 则上述命题中真命题的序号是 【答案】【解析】:结合已知函数若（其中m为整数），则m叫做离实数x 最近的整数，记作，即.函数的定义域是r，值域是；成立， 函数的图像关于点（,0）(kz)对称；不成立，函数是周期函数，最小正周期是1；成立， 函数在上是增函数；不成立，.3、 解答题（本大题共6小题，共70分.）17（本小题满分12分） 某中学共有1000名文科学生参加了该市高三第一次质量检查的考试，其中数学成绩如下表所示：数学成绩分组50,70)70,90

8、)90,110)110,130)人数60400360100（）为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，年级将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查. 甲同学在本次测试中数学成绩为75分，求他被抽中的概率；（）年级将本次数学成绩75分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导，请根据所提供数据估计“数学学困生”的人数；（iii）请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分【答案】（）p ,（）,（iii）【解析】（）分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为：，故甲同学被抽到的概率p 4分（）由题意得x1 000(60400360100)80 6分设估计“数学学困生”人数为

9、故估计该中学“数学学困生”人数为人 8分（iii）该学校本次考试的数学平均分估计该学校本次考试的数学平均分为分 12分18（本小题满分12分） 若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。（）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；（）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数的分布列和数学期望。【答案】，【解析】（）设一次取次品记为事件a，由古典概型概率公式得：（2分）有放回连续取3次，其中2次取得次品记

10、为事件b，由独立重复试验得： .（5分）（）依据知x的可能取值为1.2.3 （6分）且 （7分） （8分） .（9分）则x的分布列如下表：x123p （10分） （12分）19（本小题满分12分） 如图1，在矩形中，,分别是,的中点，沿将矩形折起，使，如图2所示：（）若,分别是,的中点，求证：/平面；（）若，求三棱锥的体积【答案】【解析】（）法一：取中点，连结、 1分,分别是,的中点，且，且四边形为平行四边形，4分又平面，平面/平面 6分法二：取中点，连结, 1分,分别是,的中点，且，且，四边形为平行四边形 4分又平面，平面/平面 6分法三：取中点，连结, 1分,分别是,的中点， 又平面，平面

11、平面,平面/平面，/平面 4分， 平面/平面而平面/平面 6分（） 平面 8分又， ，且 为等边三角形而中， ， 10分故三棱锥的体积为 12分20. （本小题满分12分） 已知椭圆的两焦点在轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形。（）求椭圆的方程；（）过点的动直线交椭圆c于a、b两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点q，使得以ab为直径的圆恒过点q ?若存在求出点q的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】，【解析】（）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, 又斜边长为2,即 故,椭圆方程为. （4分）（）当与x轴平行时,以ab为直径的圆的方程为;

12、 当与y轴平行时,以ab为直径的圆的方程为,故若存在定点q,则q的坐标只可能为 .（6分）下证明为所求:若直线斜率不存在,上述已经证明.设直线, . （8分） （10分） ,即以ab为直径的圆恒过点. （12分）21（本小题满分12分） 已知函数（为常数）（）已知，求曲线在处的切线方程；（）当时，求的值域；（）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】，,【解析】（） 1分 ， 2分 切线方程为：，即为所求的切线方程3分（）由，得，得 在上单调递增，在上单调递减 4分 5分，, 6分的值域为 7分（），在是增函数，的值域为 9分 10分依题意， 11分即， 12分22. （本小题满分10分）如图，是的直径，是弦，bac的平分线交于，交延长线于点，交于点.（1）求证：是的切线；（2）若，求的值. 【答案】（1）略；（2）【解析】证明：（）连接od，可得oda=oad=dacodae-3分又aede，odde de是o的切线.- -5（）过d作dhab于h，则有doh=cab.-6分设od=5x，则ab=10x,oh=3x,od=5xah=8x，