2022年2022年双曲线经典知识点总结

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载双曲线学问点总结班级姓名学问点一：双曲线的定义在平面内,到两个定点.的距离之差的肯定值等于常数（大 于 0且）的动点的轨迹叫作双曲线. 这两个定点.叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作 双曲线的焦距.留意： 1.双曲线的定义中,常数应当满意的约束条件：,这可以借助 于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来懂得；2. 如去掉定义中的“肯定值”,常数满意约束条件：（）,就动 点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；如（）,就动点轨迹仅表 示双曲线中靠焦点的一支；上点的横坐标满意x -a 或 x a；（ 3

2、）顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点；双曲线（ a 0, b 0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐标分别为 a1（ a, 0）, a2（ a,0）,顶点为双曲线两支上的点中距离最近的点；两个顶点间的线段 a1 a2 叫作双曲线的实轴；设 b1（ 0, b）, b2（0, b）为 y 轴上的两个点, 就线段 b1b2 叫做双曲线的虚轴；实轴和虚轴的长度分别为 |a 1a2|=2a , |b 1b2|=2b ；a 叫做双曲线的实半轴长, b 叫做双曲线的虚半轴长；留意：双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆；双曲线的焦点总在实轴上；实轴和虚轴

3、等长的双曲线称为等轴双曲线；（ 4）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e 表示,记作；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 如常数满意约束条件：,就动点轨迹为以f1.f2 为端点的两条射线 （包括端点）；由于ca 0,所以双曲线的离心率；由 c=a +b ,可得,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4如常数满意约束条件：,就动点轨迹不存在；5如常数,就动点轨迹为线段f1f2 的垂直平分线；学问点二：双曲线的标准方程1当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：,其

4、中；2当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：,其中.留意： 1只有当双曲线的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时、 才能得到双曲线的标准方程；2 在双曲线的两种标准方程中,都有；3双曲线的焦点总在实轴上,即系数为正的项所对应的坐标轴上. 当的系数为正时, 焦点在轴上, 双曲线的焦点坐标为,；当的系数为正时, 焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为,.学问点三：双曲线的简洁几何性质双曲线（ a 0, b 0）的简洁几何性质（ 1）对称性： 对于双曲线标准方程（a 0,b 0）,把 x 换成x,或把y 换成 y ,或把 x .y 同时换成 x. y ,方程都不变,所以双曲线（ a 0, b 0）为以

5、 x 轴.y 轴为对称轴的轴对称图形,且为以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心 称为双曲线的中心；（ 2）范畴：双曲线上全部的点都在两条平行直线x= a 和 x=a 的两侧,为无限延长的；因此双曲线所以打算双曲线的开口大小,越大, e 也越大,双曲线开口就越开阔；所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度；等轴双曲线,所以离心率；（ 5）渐近线：经过点a2.a1 作 y 轴的平行线x=± a,经过点b1.b2 作 x 轴的平行线y=± b,四条直线围成一个矩形（如图）,矩形的两条对角线所在直线的方程为,我们把直线叫做 双曲线的渐近线；留意：双曲线与它的渐近线无限接近

6、,但永不相交；学问点四：双曲线与的区分和联系 标准方程图形焦点,性质焦距范畴,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对称性关于 x 轴. y 轴和原点对称顶点轴实轴长 =,虚轴长 =离心率将有关线段.和角结合起来.1如何确定双曲线的标准方程？当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,双曲线的方程才为标准方程形式；此时,双曲线的焦点在坐标轴上；2双曲线标准方程中的三个量a.b.c 的几何意义双曲线标准方程中,a.b.c 三个量的大小与坐标系无关,为由双曲线本身所确定的,分别表示22双曲线的实半轴长.虚半轴长和半焦距

7、长,均为正数, 且三个量的大小关系为：c a,c b, 且 c2=b2+a2； 3如何由双曲线标准方程判定焦点位置精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载渐近线方程双曲线的焦点总在实轴上,因此已知标准方程,判定焦点位置的方法为：看x .y的系数,假如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学问点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：如双曲线方程为,就22x 项的系数为正的,那么焦点在x 轴上；假如y 项的系数为正的,那么焦点在y 轴上；留意：对于双曲线, a 不肯定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在

8、哪一条坐标轴上；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载224方程 ax +by =c（ a.b.c 均不为零）表示双曲线的条件其渐近线方程为留意：（ 1）已知双曲线方程,将双曲线方精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载程中的“常数”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程；（ 2）已知渐近线方程求双曲线方程：如双曲线渐近线方程为,就可设双曲线方程为,依据已知条件,求出即可；（ 3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（,焦点在轴上,焦点在y 轴上）（ 4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线相互垂直,为,因此等轴双曲线可设为.学问点六：双曲线图像中线段的几何特点：双曲线,如

9、图：（ 1）实轴长,虚轴长、 焦距,（ 2）离心率：；（ 3）顶点到焦点的距离：,；（ 4）中结合定义与余弦定理,方程 ax +by =c 可化为,即,所以只有a.b 异号,方程表示双曲线；22当时,双曲线的焦点在x 轴上；当时,双曲线的焦点在y 轴 上； 5求双曲线标准方程的常用方法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置,从而确定方程的类 型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数.的值；其主要步骤为“先定型,再定量”； 定义法 ：由题目条件判定出动点的轨迹为什么图形,然后再依据定义确定方程；留意： 如定义中 “差的肯定值”中的肯定值去掉,点的集合成为双曲线的一支,先确定方程类型, 再确定参

10、数a.b,即先定型,再定量；如两种类型都有可能,就需分类争论；6如何解决与焦点三角形pf 1f2（ p 为双曲线上的点）有关的运算问题？与焦点三角形有关的运算问题时,常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）.三角形面积公式相结合的方法进行运算与解题,将有关线段.,有关角结合起来,建立.之间的关系 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2227如何确定离心率e 的取值情形与双曲线外形的关系？：离心率,由于c =a +b ,用 a.b 表示为,当 e 越大时,越大,即渐近线夹角（含x 轴）越大,故开口越大；反之,e 越

11、小,开口越小；离心率反映了双曲线开口的大小,且e1； 8椭圆.双曲线的区分和联系：椭圆双曲线依据 |mf1|+|mf 2|=2a依据 |mf1| |mf2|= ±2a【变式3】已知点px、y的坐标满意,就动点p的轨迹为（）a椭圆b双曲线中的一支c两条射线d以上都不对答案： b类型二：双曲线的标准方程：2 求与双曲线有公共焦点,且过点的双曲线的 标准方程；解法一：依题意设双曲线方程为=1 由已知得,又双曲线过点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a c0,0 a c,222222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a c=b （ b 0）,c a =b （ b 0）

12、, ： 故 所 求 双 曲 线 的 方 程 为.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a b 0）标准方程统一为：（ a0, b 0, a 不肯定大于b）解法二：依题意设双曲线方程为,将点代入,解得,所以双曲线方程为. 【变式】 求中心在原点, 对称轴为坐标轴,且顶点在轴,焦距为 10,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载类型一：双曲线的定义1已知 o1： x+5+y =4, o2： x 5 +y =9的双曲线的标准方程. 【答案】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

13、下载（ 1）如动圆p 与 1, 2 均内切,求动圆圆心p 点的轨迹；（ 2）如动圆q与 1, 2 均外切,求动圆圆心 q点的轨迹；解析：（ 1）设 p 半径为 r, o1 与 o2 相离, |po1|=r 2, |po2|=r 3 |po1| |po2|=1 ,3已知双曲线的两个焦点f1.f2 之间的距离为26,双曲线上一点到两焦点的距离之差的肯定值为24, 求双曲线的标准方程；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又|o 1o2|=10由双曲线的定义,p 点的轨迹为以o1, o2 为焦点, 2a=1, 2c 10 的双曲线的右支；（

14、 2）设 q半径为 r ,就 |qo1|=r+2 ,|qo2|=r+3 |qo2| |qo1|=1 ,又 |o 1o2|=10由双曲线的定义,q点的轨迹为以o1,o2 为焦点, 2a=1, 2c 10 的双曲线的左支；举一反三：【变式 1】已知定点f1 2、0 .f22、0 ,平面内满意以下条件的动点p 的轨迹为双曲线的解析：由题意得2a=24, 2c=26； a=12, c=13, b =13 12 =25；当双曲线的焦点在x 轴上时,双曲线的方程为；当双曲线的焦点在y 轴上时,双曲线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22为（）a|pf 1| |pf 2|= ± 3b|

15、pf 1| |pf 2|= ± 4c|pf 1| |pf 2|= ± 5 d|pf 1| |pf 2| =± 4 【答案】a【变式 2】已知点f10、 13 . f20、13,动点 p 到 f1 与 f2 的距离之差的肯定值为26,就动点p的轨迹方程为（）a y=0 b y=0（ x 13 或 x 13）c x=0 （|y| 13） d以上都不对【答案】c的方程为；22总结升华：求双曲线的标准方程就为求a .b 的值,同时仍要确定焦点所在的坐标轴；双曲线所在的坐标轴,不像椭圆那样看x 2.y 2 的分母的大小,而为看x 2.y 2 的系数的正负；【类型三：双曲线的

16、几何性质4方程表示双曲线,求实数m的取值范畴；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：由题意得或或；实数m的取值范畴为；总结升华：方程ax2+by2=1 表示双曲线时,a.b 异号；【变式 1】k 9 为方程表示双曲线的（）a充分必要条件b充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分又不必要条件【答案】b【变式 2】求双曲线的焦距；【答案】 8依据以下条件,求双曲线方程；（ 1 与双曲线有共同的渐近线,且过点；（ 2）一渐近线方程为,且双曲线过点；解析：（ 1）解法一：当焦点在x 轴上时,设双曲线的方程为由题意,得,解得,所以双曲线的方程为当焦点在y 轴上时,设双曲线的方程为由题意,得,解得,（舍去）综上所得,双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（）,将点代入得,所以双曲线方程为即（2）依题意知双曲线两渐近线的方程为.故设双曲线方程为,点在双曲线上,解得,所求双曲线方程为.总结升华：求双曲线的方程,关键为求.,在解题过程中应熟识各元素（.及准线）之间的关系,并留意方程思想的应用；如已知双曲线的渐近线方程,可设双曲线方 程为（） .总 结 升 华 ： 双 曲 线的 渐 近 线 方 程 为即； 如 双 曲 线 的 方 程 为（,焦点在轴上,焦点在y 轴上）,就其渐近线方程为；总结升华 ：求双