巧用平面法向量求空间角和空间距离

1、1 巧用平面法向量求空间角和空间距离平面法向量的定义为：如果a, 那么向量a 叫做平面的法向量 . 除此之外再也没有涉及其他任何知识点，笔者发现巧用平面法向量处理空间角和空间距离等问题,可以化繁为简 , 迎刃而解 . 现举例说明 : 一、巧用平面法向量求斜线与平面所成的角方法指导 ： 如图 1,pa 为平面的斜线 ,po 为平面的垂线，根据定义， 斜线 pa与平面所成的角pao,可以转化为直线的方向向量pa与平面的法向量n 的夹角的余角或其补角的余角.即如果pa与n的夹角为锐角 ,则斜线 p a 与平面所成的角为2；如果pa与n的夹角为钝角，则斜线pa 与平面所成的角为2. 故斜线pa与平面所

2、成角的的正弦值sin等于斜线的方向向量pa与平面的法向量 n 夹角余弦的绝对值，即sincos,panpa npan，arcsinpa npan. 金题示例1：如图， 在直三棱柱abca1b1c1中，底面是等腰直角三角形，acb90，侧棱 aa1 2，d、e 分别是 cc1与 a1b 的中点，点e 在平面 abd 上的射影是 abd 的重心g求 a1b 与平面 abd 所成角的大小 .命题意图 ：主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力知识依托 ：空间向量的坐标运算、平面法向量的应用及数量积公式解法过程： 如图所示建立坐标系，坐标原点为o，设ca2a，则a(2a，

3、0，0)，b(0，2a，0)，d(0，0，1)，a1(2a，0，2)，e(a，a， 1)，)313232(，aag2()333aag e，)120(，abd032322abdge，解得a11(222)ba， ，2,2, 0ba，0,2,1bd图1aopa1b1c1bcdaega1b1c1xbdyaegc(o)zk2 设平面 abd 的法向量,nx y z，则220,20.nbaxynbdyz于是取1,1,2n.11142cos,3236banbanban, 因为 a1b 与平面 abd 所成角的正弦值sin12cos,3ban，所以 a1b 与平面 abd 所成角是2arcsin3二、巧用平面

4、法向量求二面角方法指导 ：因为两个半平面的法向量1n、2n的夹角等于二面角的平面角或者其补角. 注意结合图形观察二面角的平面角的大小从而决定它与两个法向量夹角的关系：如果是锐角，则121212coscos,nnnnnn，1212arccosnnnn；如果是钝角，则121212coscos,nnnnnn，1212arccosnnnn. 金题示例2：如图，在五面体abcdef 中， fa平面 abcd, ad/bc/fe， abad， m为 ec 的中点， af=ab=bc=fe=12ad .求二面角acde 和 m acb 的大小 .命题意图 ：考二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题

5、的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力 .知识依托 ：空间向量的坐标运算、平面法向量的应用解法过程： 如图所示， 以点a为坐标原点， 分别以 ab、ad、af 为x、y、z 轴建立空间直角坐标系a xyz .设，1ab依题意得， 001b，011c， 020d，110e， 100f.21121m，1,1,0 ,dc0,1,1de可取平面abcd 的一个法向量0, 0,1naf,设平面 cde 的法向量,ux y z，则0,0.ud cud e于是0,0.xyyz令1x，可得1,1,1u，所以13cos,33 1unu nun，结合图形可知二面角acde 为锐二面角，3 其大小与两个法

6、向量的夹角相等为3arccos3. 设平面 cma 的法向量,vx y z ，则0,0.vacvam于是0,110.22xyxyz令2x，可得2,2, 2v，所以23cos,3231v nv nvn，结合图形可知二面角mac b 为钝二面角，其大小与两个法向量的夹角互补，所以二面角mac b 的大小为3arccos3，即3arccos3. 三、巧用平面法向量求点到平面的距离方法指导 ：若点 p 为平面 外一点， 点 a 为平面 内任一点，平面的法向量为n，设点 p 在平面 内的射影为点o, 显然，0n ao， popaao , nponpaaonpanaonpa，而nponpo，所以点p 到平

7、面 的距离为pandpon，即点 p 到平面 的距离为经过点p 的平面 的任意一个向量pa在平面的法向量n上的投影的绝对值.金题示例3：在金题示例1 中求点 a1到平面 aed 的距离解法过程： 由例 1 有 a(2，0， 0)，a1(2，0， 2)， e(1， 1，1)，d(0，0，1)(11 1)ae， ，,(110)ed，,设平面aed 的法向量,nx y z ，则0,0.naened于是0,0.xyzxy令1x，可得1,1,2n，又10, 0, 2a a，所以点 a1到平面 aed 的距离142636a andn.注: 求线面距 , 面面距 , 可先转化为点面距, 再用此法求解.利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题p a