2022年2022年北大附中高考数学专题复习导数与微分知识拓展

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学科：数学教学内容：导数与微分学问拓展（一）【学问拓展】1如函数y f（ x）为由参数方程所确定的,该怎样求它的导数？前面我们争论了显函数和隐函数的导数,但在某些情形下,因变量 y 与自变量 x 的关系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为通过另一参变量t 由参数方程xt 和 yt 来给出的,对于这类函数,有时可以把精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载它很简洁地表示成显函数的形式,但有时就比较麻烦甚至不行能因此, 我们有必要找出这类函数的求导方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 xt的反函数t1 x,并设它满意反函数求导的条

2、件,于为可把y 看作复合函精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数yt1 x .由复合函数与反函数的求导法就,得dy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dydydydt dxdtdxdxdt' t. t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x例1求参数方程ycost、 sin t 、dy所确定的函数的导数. dx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法dydydtdxdx dtsin t costcos t sin tcot t .精品学习资料精选学习资料

3、 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x例2求参数方程yt1、t 32t所确定的函数的二阶导2,d 2y数.dx2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2d 2 yddydyd y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发依据二阶导数的定义dx 2dxdx、 因此要求dxdx 2、 只要把 y 对 x 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载导数 y 求出来, 再将 y 与 x t 1 联系, 重复利用参数方程求导公式,求出 y 对 x 的导数,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 dy'dx也即为我们要求y 对 x

4、 的二阶导数d 2 y2 .dx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法dydydtdx dx dt 3t 2d4t. dy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d 2 ydx 2ddydxdxdtdx dx dt3t 24tt16t42 3t2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如函数 y f （x）为由极坐标方程 （ ）给出来的,就可把极坐标方程先化成参数方程,再求导数即 x （ ） cos、y （ ） sin 、从而dy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dyddxdx dsin coscos sintan.tan精品学习资料精选学习资料

5、- - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2什么为罗尔定理？我们先考察一个函数yf xx 2 ,简洁验证这个函数满意：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）在闭区间1, 1 上连续（）在开区间（1, 1）内可导（） f（ 1） f（ 1） 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这个函数的导数fx2x 、 令fx2x0、 得 x0（ 1,1）即在开区间（1, 1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载内存在点x使得 f00 （如图 314）一般地,我们有（即罗尔定理）如函数 f（x）满意条件 （） 在闭区间 a、b 上连续；（） 在开区间 （

6、 a、b）内可导；（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在区间 a、b 的两个端点的函数值相等,即（fa）（fb）,就至少存在一点a、 b使得 f0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载罗尔定理的几何意义为：两个端点的纵坐标相等的到处存在切线（端点除外） 的连续曲线 y f （ x ）上,至少有一点、 f的切线为水平的如图315精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 证明 f xx 22x3、 x1、3 满意罗尔定理 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范证

7、法f xx1 x3 、 f1f 30.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx2x22 x1 、明显 f （ x）满意罗尔定理的三个条件,其中a 1、b 3存在点 1（ 1, 3）,使 f10. 即符合罗尔定理的结论3什么为拉格朗日中值定理？在罗尔定理的几何意义中,可以看出在罗尔定理的条件下,曲线上至少有一条切线为水平的,这时曲线的两个端点的连线也为水平的（f （ a） f （b） ,因此也可以说成为至少有一点处的切线平行于两个端的连线这个结论可以推广到更一般的情形,即有下面更一般的结论（即拉格朗日中值定理）如函数 f （ x）满意：（）在闭区间a、b 上连续；（）在开区间（a, b

8、）内可导；就至精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载少存在一点 （ a,b）,使 ff bf a . bafbfa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：作帮助函数f xfxfaxa ba精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载简洁验证, f（ x ）在 a, b 上满意罗尔定理的条件,从而至少存在一点 （ a, b）,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载使 f0.又f x fxf bf a 、 ba精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从而 fff bf a0.ba即ff bf a .ba拉格朗日中值定理的几何意义为：到处存在切线 两个端点除外 的

9、连续曲线y fx上,至少有一条切线平行于两个端点的连线 如图 3 16 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在拉格朗日定理的证明中,采纳的方法为先作出一个帮助函数,故这种方法也称帮助函数法 帮助函数法也称为构造法它为数学分析中一种重要的证题方法,这种方法的基本思想为先构造一个与欲证结果有关的帮助函数,然后再由已知条件.概念和定理, 推断所要证明的结论的正确性拉格朗日定理为应用最广泛的微分中值定理,也为微分学中最重要的定理之一,它的结论常称为拉格朗日中值公式为运用便利,可把这个公式写成以下几种形式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ffbfa 、 baa、 b .精品学习资料

10、精选学习资料 - - - 欢迎下载 fbfaf ba 、a、 b .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 fbfafa baba 、 01 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 fx 0 xfx0fx 0 x x、 01 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 yfx 0 x x、 01 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于这些公式要敏捷运用,比如：不必局限于a<b；如某函数f（ x ）在开区间（ a,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b

11、）（有限或无限）内到处有导数,就对x 1、 x 2a、 b可以断言,在x1 与 x 2 之间存在 使精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ffx 2f x 1.x 2x 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载拉格朗日定理建立了函数f（x ）在 a, b 上的平均变化率f bf a ba（整体性质）与该精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数在（ a, b）内某点处导数f（局部性质）之间联系,从而为利用导数解决整体性问题供应了可能性需要说明的为：在拉格朗日定理中,只指出“中间值”（或 ）的存在性,而没有供应确定 （或 ）的方法例 1证明：如 f（ x ）在区间（ a,

12、b）内的导数恒为零,那么f （ x）在区间（ a, b）内为一个常数思路启发要证明 f（ x）在（ a,b）内为一个常数,只要能证明：对于（a, b）内的任精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载意不相同的两点x1 、 x 2 都有 f x 1fx 2即可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范证法任取x 1 、 x 2a、 b,不妨设x 1x 2 ,由于f（ x）在（ a, b）内可导,从而精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f （ x）在x 1 、 x 2上连续,在x 1

13、、 x 2内可导,由微分中值定理,至少存在一点x 1 、 x 2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载使得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x 2f x1x 2x 1 f.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由已知,对xa、 b 、有fx0、从而f 0、 于为fx 2f x 10即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x2f x1 .即函数 f （x）在（ a, b）内为一个常数利用拉格朗日定理可以证明不等式,常用的步骤为：（ 1）挑选适当的函数f（ x ）及相应区间 a ,b （ 2）验证条件,应用

14、拉格朗日定理得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f bf afba 、a、 b .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3依据 fx 在 a、 b 内的符号或单调性证得不等式 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2设 f （x）在 0 , c 上定义, fx 存在且单调递减,f （0） 0证明：对于0 ab a b c,恒有 f（ a b） f（ a） f （ b）思路启发对函数f （x ）在区间 0 , a与b、a b 上分别应用拉格朗日中值定理,再结精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载合 fx的单调

15、递减性即可证得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范证法（ 1）如 a 0 时明显成立（ 2）如 a>0 时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由fx在 0,a上应用拉格朗日定理,即faf0f a0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即faaf 0a .再由 f （ x）在 b、a b 上应用拉格朗日定理得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f abfbfy a、 byab .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因 fx单调递减,故对<a b<y ,有 ffy 留意到 a

16、0,故有 afafy,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f abf baff bf a .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从上面可以看出,拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广,而罗尔定理为拉格朗日的一种特别情形（只要令f（ a） f（ b）即得罗尔定理） 4怎样利用导数求不定式的极限？ 我们先看几个例子：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2limxlim x0; limxsin1 xlimsin1 不存在；lim3x232.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0xx0x0xx0xx4xx14精品学习

17、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从上面几个例子可以看出,有两个函数f（ x）和 g（ x）,当 x a（或 x ）时都趋于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载零,或都趋于穷大,但这时的极限f xlim可能存在,也可能不存在,通常把这种类型的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xa g xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载极限称为不定式的极限如x a 时, f （x）与 g（x）都趋于0,就称极限f xlim为 0 型精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xa g x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载不定式； 如当 x a 时,f（

18、x ）与 g（ x）都趋于无穷大, 就称极限lim fx为型不定式 关精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xa g x于不定式的极限,我们有下面的结论0(1) 型不定式. 洛必达法就0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如f x 、 gx 在点a的某去心邻域内可导,且 gx0;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 limfxlimg x0;xaxafx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 limxa gxfx存在 包括.fxfx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就lim存在、且 limlim.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xa

19、 g xxa g xxa gx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： 上面等式的右端分式为左端分式的分子和分母分别求导的结果,即为f x,而g x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载不为fx,这一点在利用上面的公式时肯定要留意如lim fx仍为一个不定式,并精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g xxa gx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且 它 仍 满 足 上 面 的 三 个 条 件 , 就 此 时 对lim fx再 用 一 次 洛 必 达 法 就 , 即

20、 此 时 有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xa gxlim fxlim fx,即洛必达法就可以重复应用上面的x 的变化趋势x a 可换成xa gxxa gx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xa, xa、 x、 x或x、 结论仍成立精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例1求 lim xx cos x0 型 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0xsin x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发由于当 x 0 时, x xcosx 0、x sinx 0,所以这为一个不定式,考虑利用

21、洛必达法就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法易知这为0 型不定式,应用洛必达法就得：0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim xxcos xlim 1cosxx sin x0 型精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0xsin xx01cos x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limsin xsin xx cos x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0sin x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim2xcosx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x02limsin xxlim cos x精品学习资

22、料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0 sin xx0213.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评此题在应用一次洛必达法就以后得极限：lim 1cosxx sin x由极限公式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x01cosx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x 0 时,1 cosxxsinx 0、1 cosx0、故仍为一个不定式,且它的分子分母分别求导之后的极限存在,因此再应用一次洛必达法就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例2求 lim xsin x0 型 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x 30精品学习资料精选学

23、习资料 - - - 欢迎下载思路启发当x0时,xsinx0、 x30,考虑利用洛必达法 就.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法xlimsin x1limcos x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0limx 3sin xx03x 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x06x6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例3求lim2xarctan x0型.10x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发由于limx2arctan x10、 l

24、imxx0、 故考虑利用洛必达法就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法lim2xarctan x 1xlimx11x 21x 2limxx 21.1x 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g x例4设fxxx0、且已知g 0g00、g03.试求f0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0x0、思路启发依据导数的定义,我们有f0g x lim f xf 0limx0g xlim.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x0x0x0x0 x 2精品学习资料

25、精选学习资料 - - - 欢迎下载由已知 g0 存在可知g（ x ）在点 x 0 连续,故 lim g xg 00、 明显 x 20 x0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故极限lim g x为 0 型不定式 又 g0 存在, 从而gxlimgxlim1gxg 0lim精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0 x 20x0 x 2x02x2 x0x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 g0 . 存在2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法当x0时,fxf 0g x 、精品学习资料精选学习资

26、料 - - - 欢迎下载由洛必达法就得x0x 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f0lim g xlim gxx0 x 2x02x1 gxg0lim2 x0x013g0.22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评虽然 g0 存在,此时有lim gxg00、 即gxlim仍为不定式,但我们不精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0能再次利用洛必达法就而用以解法：x02x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g xf 0limgxlimgxlim13g 0. 由于已知条件中只给出当x 0 时 g精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0 x 2x

27、02xx0222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（x ）的两阶导数即g0 存在, 而当 x 0 时,g（x）的两阶导数即gxx0 不肯定存在,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即使 gxx0存在,极限lim gx 也不肯定存在,故两次利用洛必达法就为错误的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0(2) 型不定式. 洛必达法就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如f x 、 gx 在点a的某去心邻域可导,且 gx0;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 limfxxafx、limg x;xa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 l

28、imxa gxfx存在 包括.fxfx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就limxa g x也存在,且limxa g xlim.xa gx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：这里的变化趋热“ xa”同样可换成“xa 、 xa、x、x、 x”.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例5求limln sin mx型 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0ln sin nx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发由于limln sin mx、 li

29、mln sin nx,故这为个不定式极限,考虑利精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x0用洛必达法就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法limln sin mx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0ln sin nx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limm sin nx cosmxm limsin nx0 型m limn cosnx1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0nsin mx cos nxn x0sin mx0n x0m cosmx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

30、 欢迎下载例6求limxx nexn为正整数,a0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发当 x 时,x n、 e x、 故这为个型不定式的极限,考虑利精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载用洛必达法就,故有相继应用洛必达法就n 次得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法limxnxe xlimxnx n 1e x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limxn n1 x n 2 n e x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limxn.0.n e x精品学习资料精选学习资料 - - -

31、欢迎下载点评对该不定式利用n 1 次洛必达法就的每一结果仍为不定式,第n 次应用洛必达法就极限存在,故该极限需相继使用n 次洛必达法就才能求出极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载除上述争论的0 型与型不定式之外,在实际问题中,我们仍常遇到一些象.0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0·.00 .1.0 型的不定式,对于这些不定式,我们都可以通过一些变化把它变成00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载型或型的不定式,从而可以得到解决下面我们通过一些例题加以说明精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例7limx 2 ln x 0型 .精品学习资

32、料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发由于当 x0 时,x20、lnx、 故这为一个0·型不定式,考虑精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第一将其变成0 或型,再利用洛必达法就0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法limx 2 ln xlimln x型精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x01x 221xxlimlim精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x02x 30.x02精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评上述解题

33、过程为将0·型变成型,再应用洛必达法就,我们看会显现什么结果精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2lim x 2 ln xlimx0 型精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x010ln x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim2xlim2x 2ln 2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x011x0ln 2x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可以看出, 当变成0 型再利用洛必达法就,不但求不出极限,而且结果比不用洛达法就0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以前更复杂,因此该极限不能变成0 型求它的极限由该例我

34、们得到启示：当将0·型变0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载成 0 型或0型用洛必达法就求不出它的极限时,应考虑将它变成型或 0 型0,再利精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载用洛必达法就求之精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例8limx x 00 型 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发对于00 型不定式, 第一利用恒等式neln n 将其变成0·型, 再利用上述精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选

35、学习资料 - - - 欢迎下载方法求之规范解法lim x ln xlimln x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x01xlimx0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xlimx0x ln x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim xex 0e1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例9求limsecxtan x型 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发第一利用三角关系,将secx tanx 变成 1sin x cos x再

36、利用洛必达法就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法limsecxtan x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limx2x21sin x0 型 cosx0limx2cos x0. sin x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例10求 limcosx1x 2 1型 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发由于x 0 时, cosx 11故这为 1型不定式,第一利用恒等式x 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载neln n ,并将其变成

37、0 型或型,再利用洛必达法就0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法1cos x2ln cos xex 2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limln cos xlimcos x1 lim1sin x1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x 2x02xln cos x21lim2 x01cos xx2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limcosx x 2ex 0xe 2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例11求 limxx

38、1x21ln x0 型 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2思路启发由于当 x时, x1x1、ln x0.故这为一个0 型不定式,首精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载先利用恒等式eln nn 即可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法x1x 21ln xln xe1 x 2ln x.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limxlnx1x 2ln xlimx11x

39、 21.1x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limxx1x 21ln xlimexln x1 x 2ln xe1e.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从以上解题的过程可以看出,利用洛必达法就求不定式的极限为特别便利的,可以说,洛必达法就为解决不定式的极限的特别有用的方法因此期望读者能够娴熟把握此种方法凡遇到不定式的极限能够想到利用洛必达法就应用洛必达法就应留意以下几个问题：（ 1）审查所求的极限为否为不定式,不为不定式不能应用洛必达法就,由于它不满意洛必法就的条件,如：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim 22cos xlim22 cosxlim2 sin x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x01x 2x01x 2x02x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为错误的由于极限2