2022年2022年北大附中高考数学专题复习函数与方程

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载学科：数学教学内容：函数与方程考点梳理一.考试内容集合.子集.交集.并集.补集；|ax+b|<c.|ax+b|>cc>0 型不等式；一元二次不等式；映射.函数；分数指数幂与根式；函数的单调性,函数的奇偶性；反函数,互为反函数的函数图像间的关系；指数函数；对数,对数的性质和运算法就；对数函数,换底公式；简洁的指数方程和对数方程；二.考试要求1.懂得集合.子集.交集.并集.补集的概念；明白空集和全集的意义；明白属于.包含.相等关系的意义；能把握有关的术语和符号,能正确地表示一些较简洁的集合；2.懂得 |ax+b|<c.|ax

2、+b|>cc>0 型不等式的概念,并把握它们的解法；明白二次函数.一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系,把握一元二次不等式的解法；3.明白映射的概念,在此基础上懂得函数及其有关的概念,把握互为反函数的函数图像间的关系；4.懂得函数的单调性和奇偶性的概念,并能判定一些简洁函数的单调性和奇偶性；能利用函数的奇偶性来描画函数的图像；5.懂得分数指数幂.根式的概念,把握分数指数幂的运算法就；6.懂得对数的概念,把握对数的性质；7.把握指数函数. 对数函数的概念及其图像和性质,并会解简洁的指数方程和对数方程；三.考点简析1.函数及相关学问关系表精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

3、下载学习必备欢迎下载2.集合（ 1）作用位置“集合” 为数学争论的基本对象之一；学习集合的概念,有助于懂得事物的规律关系和对应关系,加深对数学的抽象特点的懂得,也能提高使用数学语言的才能；高考试题中, 对集合从两个方面进行考查：一方面为考查对集合概念的熟悉和懂得水平, 主要表现在对集合的识别和表达上；如对集合中涉及的特定字母和符号,元素与集合间的关系,集合与集合间的比较,另一方面,就为考查同学对集合学问的应用水平,如求方程组.不等式组及联立条件组的解集,以及设计.使用集合解决问题等；（ 2）重点与难点重点为集合的概念和表示法及交.并.补集的运算；难点为集合运算的综合运用,特殊为带有参数的不等式

4、解集的争论；（ 3）有关子集的几个等价关系 a b=aab； a b=bab； abc uac ub ； a cub =cuab； cua b=iab；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（ 4）交.并集运算的性质 a a=a ,a =, a b=b a ； a a=a ,a =a ,a b=b a ； cu a b= cua cub, cu a b= c ua cub ；（ 5）有限子集的个数：设集合a 的元素个数为n,就 a 有 2n 个子集, 2n1 个非空子集；3.函数的性质（ 1）函数的概念：定义域.值域.对应法就.反函数.复合函数.分段函数；（ 2）函数的

5、性质：单调性.奇偶性.有界性.极（最）值性.对称性.周期性等；（ 3）函数对称性与周期性的几个结论：设函数y=fx 的定义域为r,且满意条件fa+x=fb x ,就函数 y=fx 的图像关于直精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线 x=ab 对称； 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义在r 上的函数y=fx 对定义域内任意x 有 fx+a=fx b, 就 y=fx 为 以 t=a+b为周期的函数；定义在r 上的函数y=fx 对定义域内任意x 满意条件fx=2b f2a x ,就 y=fx 关于点 a、b对称；如 y=fx 既关于直线x=a 对称,又关于x=b（ ab）

6、对称,就y=fx 肯定为周期函数,且 t=2|a b|为它的一个周期；如 y=fx 既关于直线x=a 对称,又关于点b、c 中心对称,就y=fx 肯定为周期函数,且 t=4|a b|为它的一个周期；（ 4）函数的奇偶性与单调性：奇函数与偶函数的定义域关于原点对称,图像分别关于原点与y 轴对称；任意定义在r 上的函数fx 都可以惟一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和；即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx=f xf 2xf xf x+2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如奇函数fx 在区间 a、b0 a<b上单调递增（减） ,就 fx 在区间 b、 a上也为单调递

7、增（减） ；如偶函数fx 在区间 a、b （0 a<b）上单调递增（减） ,就 fx 在区间 b、a 上单调递精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载减（增）；函数 fx 在 r 上单调递增,如fa>fb , 就 a>b;函数 fx 在 r 上单调递减,如fa>fb , 就 a<b;如 fx 在定义域内为增（减）函数,就它的反函数y=f 1x 在定义域内也为增（减）函数；4.三个“二次”的相关问题（ 1）位置作用：三个“二次” （即一元二次函数.一元二次方程.一元二次不等式）为中学数学的重要内容,具有丰富的内函和亲密的联系,同时也为争论包含二

8、次曲线在内的很多内容的工具；高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关；（ 2）二次函数的基本性质二次函数的三种表示法：y=ax 2+bx+c ；y=ax x 1x x 2 ；y=ax x02+n（ a 0）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a>0 时, fx 在区间 p、q 上的最大值m ,最小值m,令 x 0=1p+q ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如b 2a<p, 就 fp=m、fq=m;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 pb<x 0,就 f 2ab=m、fq=m;2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

9、载如 x 0bb<q, 就 fp=m、f 2ab=m;2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如q、就 fp=m、fq=m；2a（ 3）二次方程的实根分布条件：二次方程fx=0 的两根中一根比r 大,另一根比r 小a·fr<0;0二次方程fx=0 的两根都大于rbr2 aaf r 0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次方程fx=0 在区间 p、q 内有两根0pbq 2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载af q0af p0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次方程fx=0 在区间 p、q 内只有一根fp · f

10、q<0 ,或f p0（检验）或精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载af q0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f q0（检验）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载af p0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二次方程fx=0 的一根小于p,另一根大于qp<qaf0af0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）二次不等式的转化策略：二次不等式fx 0 的解集为： 、 , + a<0 且 f =f =0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b当 a&

11、lt;0 时, f <f | +2ab|>| +|;2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a>0 时, f <f | +bb|<| +|；2a2abbpp2aq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当a>0 时,二次不等式fx>0在p、q 上恒成立2a f p或或0f b 0 2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bq2af q0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 fx>0 恒成立a0ab0或0c0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx&l

12、t;0 恒成立a0ab0或0c0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.幂函数.指数函数.对数函数的性质（ 1）幂函数y=x nn q 的性质当 n>0 时,函数图像过点（1, 1）,（ 0, 0）,且在第一象限内随x 增加,图像上升；当 n<0 时,函数图像过点1, 1,且在第一象限内随x 增加,图像下降；（ 2）指数函数和对数函数性质表：指数函数对数函数图像精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义域 r,值域（ 0, +）,过点（ 0,性质1）；当 a>1 时,在 r 上为增函数；当0&l

13、t;a<1 时,在r 上为减函数；定义域（ 0, +）,值域r,过点 1, 0；当a>1 时,在（ 0、+ ）上为增函数；当0<a<1时,在 0、+ 上为减函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.对数运算常用公式（ 1） a log a n =n（ 2） log am+log an=log amn（ 3） log am log an=log a mn（ 4） log am n=nlog a|m|精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p（ 5） log am=1log a|m|p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料

14、 - - - 欢迎下载p（ 6） log amn = n log a|m|p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 7） log bm=log a m log a b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 8） log a n b1log |a| bn1n log b| a |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 9） log ab· logbc=log ac四.思想方法1.求函数解析式的方法：配方法与代入法；2.求值域的常用方法：观看法,函数单调性法,求逆函数

15、法,分别法, 配方法, 换元法,判别式法,不等式法等；3.函数与方程思想函数思想,即先构造函数,把给定问题转化对帮助函数的性质争论,得出所需的结论；方程思想,就为把对数学问题的熟悉,归纳为对方程和方程组的熟悉；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于函数思想,应深刻懂得一般函数y=fx . yf1 x的性质（单调性.奇偶性.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载周期性.最值和图像变换）；娴熟把握基本初等函数的性质,为应用函数思想解题的基础；函数方程思想常同数形结合.等价转化思想相互融合后才能充分发挥其详细解题的功效；【例题解析】例1 （ 1）已知集合a=x|x 2 ax+a2

16、 19=0 ,集合b=x|log 2x 2 5x+8=1 ,集合精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c=x|mx 2 2 x8 =1、m 0,|m| 1 满意a b、 ac=,求实数a 的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载2已知集合p=x|x2 5x+4 0、q=x|x 2 2bx+b+2 0 满意 pq,求实数b 的取值范围；解 （ 1）由条件即可得b=2 , 3 , c= 4,2 ,由 a b, a c=,可知3a , 2a ；将 x=3 代入集合a 的条件得：a2 3a 10=0 a= 2 或 a=5当 a= 2 时, a=x|x 2+2x 15

17、=0= 5、3、 符合已知条件；当 a=5 时、a=x|x 2 5x+6=0=2 , 3 ,不符合条件“a c” =,故舍去；综上得： a= 2；（ 2）明显 p=x|1 x 4 ,记fx=x 2 2bx+b+2如 q 为空集,就由<0 得 ：4b2 4b+2<0 1<b<2 ；如 q 不为空集,就应满意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0f 10b 2b20b30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 402b142即7b1801b418精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解之得： 2 b7综上得： 1<b 187注对于稍复杂的某

18、些集合题目,肯定要全面考虑并认真审题,防止解的取值扩大或缩小；此题的第（1）题,在“由3a 求得 a= 2 或 5”后,应清晰3 a 为其必要条件,但不为充分条件,因此必需进行检验,否就解的取值可能扩大；而第（2）小题,应当分两类（ q, q）争论,千万不能遗忘q这一特殊情形；例 2已知函数fx 的定义域为r,且对于一切实数x 满 足 fx+2=f2 x、fx+7=f7 x（ 1）如 f5=9、 求： f 5;（ 2）已知 x 2、7 时, fx=x 22,求当 x 16、20 时,函数gx=2x fx 的表达式,并求出 gx 的最大值和最小值；（ 3）如 fx=0 的一根为0,记 fx=0

19、在区间 1000、1000 上的根数为n,求 n 的最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载解（1）由 fx+2=f2 x 及 fx+7=f7 x 得:fx 的图像关于直线x=2、x=7 对称；fx=fx 2+2=f2 x 2=f4 x=f7 3+x=f7+3+x=fx+10 fx 为以 10 为周期的周期函数； f 5=f 5+10=f5=9（ 2）当 x 16、17、x 10 6、7 fx=fx 10=x 10 22=x 12 2当 x 17、20 、x 20 3、0 、4x 20 4、7 fx=fx 20=f4 x 20=f24 x=x 222精品学习资料精

20、选学习资料 - - - 欢迎下载 gx=2 x x2 x x12 222 2x16、17x17、20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x16、17 时, gx 最大值为16,最小值为9； x（ 17, 20 , gx>g17=9、gx g20=36 gx 的最大值为36,最小值为9；（ 3）由 f0=0 ,及 f0=f4=0 ,知 f0 在 0、10 上至少有两个解；而在 1000, 1000 上有 200 个周期,至少有400 个解；又f1000=0所以最少有401 个解；且这401 个解的和为200；注题中（ 2）可依据函数图像的对称性.函数的周期性,通过作图得到精品学

21、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx=x12 2x22 2x16、17x17、20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般地：当x 3, 2 时, 4 x 2、7 fx=f4 x=x 2 2当 x 3、7、fx=x 22故当 x 3+10k、7+10k、x 10k 3、7 fx= x 10k 22k z fx= x 10k 22x 3+10k、7+10k、 （ k z）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3设 a 为正数, ax+y=2x 0、y 0,记 y+3x （ 1） ma 的表达式；（ 2） ma 的最小值；1x 2 的最大值为ma ,试求：2精品学习资

22、料精选学习资料 - - - 欢迎下载解将代数式y+3x 12x 表示为一个字母,由 ax+y=2 解出 y 后代入消元, 建立关于x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的二次函数,逐步进行分类求ma ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） 设 sx=y+3x 1 x 2、将 y=2 ax 代入消去y,得：2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12sx=2 ax+3x x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1=x212+3 ax+2212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

23、=x 3 a2+3 a2+2x 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 y 0 2 ax 0而 a>0 0 x 2a下面分三种情形求ma2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载i 当 0<3 a<aa>0,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0a3时a 23a20解得0<a<1 或 2<a<3 时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ma=s3 a=21 3 a2+22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ii 当 3 aa>0 即aa0时,a 23a20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

24、迎下载解得： 1 a 2,这时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ma=s2=2 a·a22+3·aa1 · 2 22 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载26=2 +aaiii 当 3 a 0； 即 a 3 时ma=s0=2综上所述得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 32a220a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m （ a） =2a 21 3226aa221a2 2a3a3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）下面分情形探讨ma 的最小值；当 0<a<1 或 2<a<

25、3 时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ma=13 a22+2>2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 1a 2 时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ma= 261329+= 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2 1 a 2 +aa2211 12a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1当=a1 时, ma 取小值,即2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5ma m （ 2） =2当 a 3 时, ma=2经过比较上述各类中ma 的最小者,可得ma 的最小

26、值为2；注解题体会的积存,有利于解题思路的挖掘,对参数 a 的分类, 完全依据二次函数顶精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点的横坐标3 a 为否在定义域区间0 ,2 内,这样就引出三种状态,找出解题的方案；a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4已知函数fx=x1 p2p232 pz 在0、+ 上为增函数,且在其定义域上为偶函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）求 p 的值,并写出相应的函数fx 的解析式；（ 2）对于（ 1）中求得的函数fx ,设函数gx= qffx+2q 1fx+1 ,问为否存在实

27、数 qq<0 ,使得 gx在区间 、 4 上为减函数, 且在区间 4、0上为增函数； 如存在, 恳求出来；如不存在,请说明理由；解（1）如 y=x在 x 0、+ 上为递增函数,就有>0； fx 在 0、+ 上为增函数,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 1223p +p+>02精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得： 1<p<3、 而 p z p=0、1、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3当 p=0 或 2 时 , 有 fx=x 2不为偶函数,故p=1 ,此时 、fx=x 2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（

28、 2）利用函数单调性的定义进行探究求解； fx=x 2+2q 1x+1 gx= qx 42假设存在实数qq<0 ,使得 gx 满意题设条件；设x 1<x 2、就gx1 gx 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4= qx2 1x14 2q 1x 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 +2q+qx 222=x 1+x 2 x 2 x 1 qx 12+x 2 2q 1如 x 1、x2 、 4 ,易知x1+x 2<0、 x2 x 1>0、要使 gx 在 、 4 上为递减函数,就应有qx12+x 22 2q 1<0精品学习资料精选学习资料 - -

29、 - 欢迎下载学习必备欢迎下载恒成立 x1< 4、x2 4 x12+x 22>32 ,而 q<0 q x 221 +x 2 <32q从而要使q x 12+x 2 2<2q 1 恒成立,就必有2q 1 32q1即q30如 x 1、x2 4, ,易知 x1+x 2 x 2 x1 <0,要使 gx 在（ 4,0）上为增函数,就应有qx12+x 22 2q 1>0恒成立 4<x 1<0、 4<x 2<0 x12+x 22<32 ,而 q<0 q x 221 +x 2 >32q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

30、载1要 使 q x2+x2>2q 1 恒成立,就必有2q 1 32q、即q1230精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载综合以上两方面,得q= 130精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故存在实数q=1 ,使得 gx在 、 4 上为减函数,且在 4、0上为增函数；30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注本例为一道综合性较强的题目；对于第（2）小题,仍可以从复合函数性质方面来考虑,就有如下解法：设 t=x 2,由 gx 在 、4 上为减函数, 在 4、0上为增函数, 而 t=x 2 在16 ,+ 和0、16 上都为增函数,得精品学习资料精选学习资料 - - -

31、 欢迎下载ht= 2qt +2q 1t+1 在（ 0, 16）上为增函数,在16, + 上为减函数,从而可得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2q1 2q1=16 q=30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例5设 函 数fx 定 义 域 为r , 当x>0时 , fx>1 , 且 对 任 意x、y r , 有fx+y=fx · fy ；（ 1）证明： f0=1;（ 2）证明： fx 在 r 上为增函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载·fy（ 3）设集合 a=x、y|fx22&l

32、t;f1 ,b=x、y|fx+y+c=1、c r ,如 a b=, 求 c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的取值范畴；解（1）证明： 为使 fx+y=fx ·fy 中显现 f0 ,借助当 x>0 时,fx>1 ；就设 x=0、y=1得：f0+1=f0 · f1 , 即 f1=f0 · f1 f1>1 f0=1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（ 2）证明 fx 在 r 上为增函数,即证明当x 1<x 2 时,有 fx 1<fx 2；对 x 1、x2r、x 1<x 2、,有 x2 x 1&

33、gt;0 fx 2=fx 1+x 2 x 1=fx 1· fx 2 x 1中有 fx 2 x 1>1故要证明fx 2>fx 1,只要证明fx 1>0 即 可；事实上,当x1>0 时, fx 1>1>0当 x 1=0 时, fx 1=1>0当 x 1<0 时, fx 1· f x 1=fx 1 x1 =f0=1又 f x1>1 0<fx 1<1故对于一切x1 r,有 fx 1>0 fx 2=fx 1· fx 2 x1>fx 1 ,故命题得证；（ 3）解a ：fx 2+y2<f1 ,就

34、由单调性知x2+y 2<1；b：由 fx+y+c=f0=1和函数单调性知x+y+c=0故 如 a b=,用图形分析可得：只要圆x2+y 2=1 与直线 x+y+c=0 相离或相切即可；c故 1c2 或 c22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注第（ 2）题也可作如下处理： fx ·f x=f0=1>0 ,得 f x=1f x,证得 fx>0 恒成立；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且 f x2 f x1 =fx2·f x1=fx2x1>1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

35、下载 fx 2>fx 1例6已知二次函数fx=ax 2+bx+c和一次函数gx= bx ,其中a . b . c满意a>b>c、a+b+c=0a、b、c r；（ 1）求证：两函数的图像交于不同的两点a .b ；（ 2）求线段ab 在 x 轴上的投影a 1b1 的长度的取值范畴；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解y（ 1）证：由y =4b 2 4acax2bx bxc 消去 y,得 ax2+2bx+c=0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=4 a c2 4ac=4a2+ac+c2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=4a+c23 +24c2

36、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载c此证法不够自然 a>b>c a, c 不同时为02 >0,即两函数的图像交于不同的两点；（ 2）设方程ax22bx+c=0 的两根为x1 和 x 2,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1+x 2=2bc、x1x 2=aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2|a1b1|= x1 x 22= x2 4x1+x 21x 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=2b 2a4c4b 24ac=aa 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

37、迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4a=c 24 ac a 2=4c 2+ac+1a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=4c + 1 2+ 3 a24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a>b>c, a+b+c=0 , a>0、c<0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2aca2c0,解得0c 2、 1 a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 fc=4ac 2c +aac1+1 的对称轴为=a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 当 c （ 2、a1 ）时,2f ca 为减函数精品学习资料精选

38、学习资料 - - - 欢迎下载 |a1b 1|2 3、12 ,故 |a1b1|3 、23 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 7二次函数fx=px 2+qx+r 中实数 p.q.r 满意pqr+=0 ,其中 m>0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证：（ 1） pfm<0;m1m2m1m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）方程 fx=0 在0, 1内恒有解；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解（1） pfm=pp2+qm+r=pmpmq+r=pm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mm1m1m1m12m1m精品

39、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pmp=p 2mmm2m1 2= p2 m,由于 fx 为二次函数 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m1 2m2m12 m2mm12 m2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 p 0,又 m>0 ,所以, pfm<0 ；1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）由题意,得f0=r、f1=p+q+r；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 p>0 时,由（ 1）知 fm<0

40、m1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 r>0 ,就 f0>0 ,又 m<0、 所以 fx=0 在（ 0,m）内有解；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m1m1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 r 0, 就 f1=p+q+r=p+m+1pr+r=pr>0又 fm<0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 fx=0 在（m、1）内有解；m2mm2mm1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m1当 p<0 时同理可证；注（ 1）题目点明为“二次函数”,这就示意着二次项系数p0；如将题中的“二次”两

41、个字去掉,所证结论相应更换；（ 2）对字母p.r 分类时先对哪个分类为有肯定讲究的,此题的证明中,先对p 分类,然后对 r 分类明显为比较好；例 8设二次函数fx=ax 2+bx+ca>0、 已知二次方程fx x=0 的两个根x 1 与 x 2 满意；10<x 1<x 2<a（ 1）证明：当u 0、x 1时, u<fu<x 1;（ 2）如 fx 0 x=fx 0+x ,证明： 2x0<x 1；证法一（ 1）令 fx=fx x,由于 x1、x2 为方程 fx x=0 的根,所以可设fx=ax x1x x 2当 u（ 0, x1）时,x1<x 2、得

42、 u x1u x 2>0 ,又 a>0,得fu=au x1u x 2>0,即 u<fu x1 fu=x 1u+fu=x 1 u1+au x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 0<u<x11<x 2<a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 x 1u>0、1+au x 2=1+au ax2>1 ax2>0,得 x1 fu>0 ； fu<x 1故当 u（ 0, x1）时, u<fu<x 1（ 2）依题意得x 0=b2a x1、x2 为方程 fx x=0 的两根,即x1、x2 为方程a

43、x2+b 1x+c=0 的根,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所 以 x1+xb12=a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0=ba x1=2ax2 2a1ax1=ax21 2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ax2<1、 x 0<ax1x1=2a2, 即 2x0<x 1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载证法二（ 1）方程fx x=0 的两根为x1、x2 fx x=ax x 1x x2故欲证 u<fu<x 10<fu u<x 1 u0<au x 1u x2<x 1 u0<ax 2 u<1 ；（ u 0、x1 、x1 u>0 ）0<x 2 u< 1 a>0a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 0<u<x 2<1、0<x 2 u<a1成立；a精品学习资料精选学习资料 -