2022年2022年北大附中高考数学专题复习极限知识拓展

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载学科：数学教学内容：极限学问拓展【学问拓展】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1如某个数列an 存在极限、即该数列为收敛数列、那么该收敛数列有哪些性质呢.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载收敛数列有几个重要性质,它们可表现为下面几个定理：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理1 :惟一性如数列an 收敛、就它的极限为惟一的.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：假设数列a n有两个极限a 与 b,即l im an na 与 lim an nb ,依据

2、数列极限定精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载义,对于任意的 >0 分别有： 存在自然数n 1 、 当 nn 1 时,有 | a na |；存在自然数n 2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 nn 2 时,有| anb |取 nmaxn 1、 n 2,当 n>n时,同时有| a na |与精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| a nb |,于为当 n>n 时,有 | ab | | aa nanb |

3、| aa n | anb |2 . 因精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为 a 与 b 为常数, 2 为任意小的正数, 所以只有a=b,上述不等式才能成立,即数列a n的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载极限为惟一的定理 2：（有界性）如数列a n收敛,就a n有界,即存在正数m,对任意自然数n 有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| a n |m .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：设l im a n xa ,依据数列极限的定义,取定01（ 可以依

4、据需要任意选取）,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载存在自然数n,当n>n 时,有| a na |1. 由于 | a n | a | a na | ,所以当n>n 时,有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| a n | a | a na |1 或 | a n | a |1、 即 | a n 1 | a|1、 | an2 | | a |1、 | a n 3 | a |1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在数列a

5、n中不满意不等式| an | a |1 的项充其量不过为前n 项：a1 、 a 2 、a n . 令精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mmax| a 1|、| a 2 |、 | a n|、| a |1 于为,对任意自然数n,有 | a n |m .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理 2 指出收敛的数列必有界反之, 有界数列不肯定收敛例如, 已知数列1 n为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有界的,但它却为发散的换句话说,有界为数列收敛的必要条件而不为充分条件2什么

6、为有界数列.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义：如存在两个数a, b 设 a<b,数列x n 中的每一项都在闭区间a , b 内,亦即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ax nb n1、2、,就称x n为有界数列 这时 a 称为它的下界, b 称为它的上界 关精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于有界数列有下面几点说明精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 假如 b 为数列x n的上界,那么b 1, b2, b+ >0 都为

7、x n的上界这表精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载明上界并不为惟一的,下界也为如此精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 对于数列x n,假如存在正整数n,当 n>n时,总有 ax nb 、 我们就说数列x n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载往后有界要留意,往后有界肯定为有界的,这为由于在n 项之前只有有限多个数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1 、 x 2 、 x n 、 在这有限个数中必有最大的数和最小的数,设minx 1 、 x 2 、 x n,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

8、 欢迎下载maxx 1 、 x 2 、 x n、 那么 mina , 和 maxb, 就为整个数列x n的下界和上界精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 有界数列也可以这样表达：如存在一个正数m,使得 | x n |m n1、2、,就称x n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为有界数列或者也可以这么说,如存在原点的一个m 邻域 o , m,使得全部精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x noo、m,就称x n为有界数列,这种表达和上面所给出的定义明显为等价的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3什么为

9、单调有界数列.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 x n为一个数列, 假如 x1x 2x 3x n、 我们就说这个数列为单调增加精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 上升 的假如 x1x 2x 3x n、 我们就说这个数列为单调削减 下降 的例精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如1就为一个单调削减的数列假如在上面数列中等号都不成立,就称它为严格单调增n加或严格单调削减的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4数列的收敛判别法有哪法.方法1如存在自然数n,当n>n,总有 a nb ncn ,且l im

10、 a n nl im c n nl ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l im b nl .n 注：方法1 被称为夹挤定理例 1运算精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limn1n 211n 221.n 2n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 c nn 211n 22、n 2n只 要 找 到 两 个 数 列a n 与b n , 使精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim a n nlim b n nl、 就l im c nl.n

11、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范解法设cn1n 211n 221、n 2n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有cnc1n 2n11n2nn项11n 2n1n、n 2nn、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn21于为ncn21n项n.n 21n21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn2nn 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 n2nn22n1n有nncn1、n 21n 2n、nn1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1n 2nn 21n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因已知故 l imnlim

12、n1、nn111n21n2211.n2n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法 2单调有界数列存在极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2证明数列a 、aa 、aaaa 、a0 收敛,并求它的极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思路启发第一对于这种随n 的增大,数列的项有规律变化的情形可以用数学归纳法证明该数列单调并且有界这样该数列必存在极限可以设极限为l ,就依据第n+1 项与第 n项的关系列出关于l 的等式就可以求出l 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规范证法设 snaaaa 、 有 sn 1asn,用归纳法证明数列精品学习资料精选学

13、习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sn为 单 调 增 加 的 , 又 为 有 上 界 的 显 然s1s2 , 设sksk1 k为 自 然 数 有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载askask 1 、askask 1,即 sk 1sk 2 ,就数列sn为单调增加的 明显,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当n=1时, 有 s1aa1 设n=k时,有ska1 当n=k+1时, 也有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学

14、习资料 - - - 欢迎下载sk 1askaa1a2a1a1,即数列sn为有上界的 由于数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s2学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sn为单调增加的并且有上界,所以数就sn收敛设lim snnl ,已知n 1asn 、 有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sn1lim2 nalimns 、 即 l 2al ,得 l1 1214a,由 sk0 可知, l 不能为负数,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n就数列1sn的极限为 l1214a .精品学习资料精选学

15、习资料 - - - 欢迎下载5函数极限有哪些性质和数列极限性质完全相仿,函数极限也具有以下几个性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质 1如l im f xa、 lim g xb、 ,且 a>b,就存在 >0,使当 0| xx 0 |时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx>gxxx 0xx 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：取ab 、 2那么存在10、当0| xx 0 |1时,有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fxaab；同时又存在20,当20| xx 0 |2时,有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

16、载g xbab, 现 在 , 令2min1 、2, 那 么 当 0| xx 0 |时 , 就 有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g xab 2fx .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质 2如lim fxa 、 l im g xb、 且存在 >0,使当 0| xx 0 |时,fx<gx,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 a bxx 0xx 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性 质3 如lim fxa 而a>ba<b , 就 存 在 >0 , 使 当 0| xx

17、0 |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx 0时、fx>bfx<b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质 4如l im fxa 、 l im f xb、 就 a=b,这说明白函数极限的惟一性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx 0xx 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：采纳反证法, 假如 a b,不妨设 a>b,由性质 1 知道,存在 >0,当 0| xx 0 |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时,有 fx>fx冲突,这就证明白a=b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质 5如存

18、在 >0,使当 0| xx 0 |时, fx gx hx ,并且l im f xa 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx 0l im h xa 、 就 lim g xa .xx 0xx 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质 6 局部有界性 如l im f xa ,就存在着 >0,使得 fx在区间x 0、 x 0和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 0 、 x 0内有界,亦即在不等式0| xx 0 |所表示的区间内有界精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 注：如函数 fx在某

19、个区间z 内满意 a fx b,其中 a,b 为两个常数, 我们称 fx在 z 内有界,并称a 为 fx在 z 内的下界, b 为 fx在 z 内的上界明显,对任何 >0, a- 都为 fx的下界, 同样对任何 >0,b+ 都为 fx的上界 这个定义也可以这样表达：设函数 fx在某个区间z 内满意 |fx| m,其中 m为一个正实数, 我们就称fx在 z 内有界以上两种说法明显为等价的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证 明 ： 取 个 固 定 的 , 譬 如 说 取 =1 , 由l im f xa 知 道

20、, 存 在 >0 , 当精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0| xx 0 |时,有 a-1<fx<a+1,这就证明白fx在 x 0、 x 0和 x 0 、 x 0内有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载界精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载要留意的为, 由极限存在, 只能肯定函数在相应的某个去心邻域o x 0 、x 0内有界,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而不能肯定它在整个定义域内有界例如x 31yx1、 它的定义域为- , 1

21、和1 , + ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由前面的例子知道x 3lim13 依据性质6,存在某个 >0,在 1- , 1 和1 , 1+ 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 31x1 x1x 31精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载内,有界但为这个函数在它的定义域内有x1yx 2x1x1 x1 ,它的图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载形为一条抛物线,但除去x=1,可见在 - , 1 和1 , + 内为无界的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6连续函数有哪些性质.如 函 数f

22、x和gx均 在 点x 0 处 连 续 , 就 函 数fx± gx, fx· gx,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx/gxg x 00在点x 0 处也连续精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如函数y=fu在点u 0 处连续,ux在点x 0 连续,且x 0u 0 ,就复合函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yfx在点 x 0 连续如函数y=fx在区间 a , b 上单调.连续,且fa= ,fb=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载,就其反函数yf1 x在区间 , 或