_因式分解综合提高练习(一)

1、、用分组分解法进行因式分解分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于 分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察” 分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一 元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式2a(a2a 1) a4 a2 1分解因式，所得的结果为()2222A.(a a -1)B.(a -a 1)222

2、2C. (a2a1)2D.(a2-a -1)2分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式=2a(a2 a 1) a4 a21=a4 2a3 3a2 2a 1= (a4 2a3 a2) (2a2 2a) 12 2 2 =(aa)2(a a) 1=(a2 a 1)2故选择C例 2.分解因式 x5 -x4 - x3 -x2 x -1分析：这是一个六项式， 很显然要先进行分组，此题可把x5-x4 x3和-x2，x-1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把X5 -X4，X3 -X2和X -1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式

3、后再进行分解。解法1:原式=(x5 _x4 x3) _(x2 -x 1)=(x3 -1)(x2 -x 1)2 2=(x -1)(x X 1)(x-x 1)解法2:原式=(x5 -x4) (x3 -X2) (x -1)=x4(x -1) x2(x -1) - (x -1)42=(x -1)(xX 1)422=(x -1)(x2x 1) -x 22=(x -1)(xX 1)(x X 1)2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c,且满足a b, a2 c2 : b2 2ac证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于

4、第三边” 证明：；a2c2 : b2 - 2ac2 2 2.a c -b 2ac ： 0.a2 2ac c2b2 : 0，即(ac)2b2 : 0.(a -c b)(a -c -b) ：0又-a - c .-a - c - ba-c，bO，a-cb：O.a b c， a - b ： c即 a - b : c ：a b.以a、b、c为三边能构成三角形3. 在方程中的应用例：求方程x -y =xy的整数解x与y，故可考虑分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有 借助因式分解求解解：；x _ y =xyxy - x 亠 y =0xy _x y T 二-1即x(y -1)

5、 (y -1) - -1.(y -1)(x1) = 1-x,y是整数x 1 =1_Lx1 = -1或彳 y-1=-1y-1=1"或x=0 y4、中考点拨_ 2 2例1分解因式：1-m - n +2mn=。解: 1 m2n2 亠2mn=1(m2 _2mn n2)=1 _(m _ n)2=(1 m _n)(1 _m n)说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分 解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例 2.分解因式：x2 -y2 -x +y =解：x2 -y2 -x y =(x2 _y2) _(x _y)=(x y)(

6、x y) -(x -y)=(x y)(x y -1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。32例 3.分解因式：x3 +3x2 4x 12 =解: x3 3x2 _4x 一12 = x3 _4x 3x2 -122 2 =x(x -4)3(x-4)=(x 3)( x 2)(x 2)说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示：例 1.分解因式： m2 (n2 -1) 4mn -n21解：m2(n2 -1) 4mn -n2 12222=m n m4mnn 1= (m2 n2 2mn 1) - (m2 - 2mn -n2)二(mn 亠 1)2(m _n)2=(mn _m n

7、1)(mn m n 1)说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。2 2 2 2例 2.已知：a b =1，c d =1,且 ac，bd=O，求 ab+cd 的值。解：ab+cd= ab 1 cd 1= ab(c2 d2) cd(a2 b2)= abc2 abd2 cda2 cdb2= (abc2 cdb2) (abd2 cda2)= bc(ac bd) ad(bd ac)= (ac bd)(bc ad)'ac bd = 0-原式=0说明：首先要充分利用已知条件a2 b2 =1, c2 d1中的1 (任何数乘以1,其值

8、不变)，其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由 ac+bd=0可算出结果。例3.分解因式：x3 2x -3x=1时，它的值为0，这就意味着分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x -1是x32x_3的一个因式，因此变形的目的是凑x -1这个因式。解一(拆项)：333x 亠2x3 =3x 3 2x 亠2x2 2二3(x -1)(xx 1) -2x(x 1)=(x -1)(x2 x 3)解二(添项)：3322x3 2x 3 =X3 X2 x2 2x 32 =x2(x -1) (x -1)(x3)=(x -1)(x2 x 3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常

9、见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解?【实战模拟】1. 填空题：(1) 分解因式：a2 - 3a - b2 3b =I I22(2) 分解因式：x -2x _4xy 4y 4y =(3) 分解因式：1 - mn(1 - mn) - m3n3 口3223r.2. 已知：a，b，c=0，求 a ，ac- abc b c b 的值。3.分解因式：a5 a 12223334. 已知：x -y -z =0，A是一个关于x, y, z的一次多项式，且x -y -z = (x-y)(x-z)A，试求A的表 达式。5. 证明：(a b 2ab)(a b -2)(1 ab)2 =(a -1)2(b

10、-1)215【试题答案】1. (1)解：原式=(a2 b2) 3(a b)=(a b)(a _b) _3(a _b)=(a -b)(a b - 3)(2) 解： 原式=(x2 4xy 4y2) 2(x 2y)=(x -2y)2 2(x 2y)=(x -2y)(x _2y -2)(3) 解：原式=1 - mn m2 n2 m3 n32 2=(1 mn)亠m n (1 mn)2 2=(1 - mn)(1 m n )2. 解：原式 =(a+b)(a2 ab+b2) +c(a2ab + b2)二(a2ab b2)(a b c)a b - c =0.原式=0说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求

11、值中有很大作用。53. 解：a5a 1=a5a2 a2 a 1= a2(a31) (a2 a 1)= a2(a T)(a2 a 1) (a2 a 1)= (a2 a 1)(a3a21)4.解：亠亠 2 x2 2y z 0222 2 2y二 Xz ， z 二 X333x-y-z=(x3 -y3) -z z2=(x -y)(x2xy y2) z(x2 -y2)=(x -y)x2 xy y2 -z(x y)=(x y)x(x z) y(x z) (x2 -z2)=(x -y)(x -z)(x y x z)=(x -y)(x -z)(2x y z).A =2x y z5.证明：(a b -2ab)(a

12、b -2)(1 -ab)22 2 2 2 2 2 =aab 2a ab b 2b 2a b 2ab4ab 1 2ab a b=a2 - b2 2a 2b 2a2b 2ab2 4ab 1 a2b22 2 2 2 2 2=(a2 2ab b2) (a2b2 2ab 1) -(2a 2b) _(2a2b 2ab2)=(a b)2 (ab 1)2 -2(a b)(ab 1)二(a b) (ab 1)22=(a - ab b -1)=(a _1)2(1 _b2)=(a -1)2(b1)2二、因式分解公式法(一)平方差公式-9a2 1-25a2y4 16b41、把下列各式分解因式：(1) a2 -9(2)

13、 4a2 -9b2(3)2、把下列各式分解因式(1) x4 -(5x 3)2(2)-(2 n 1)225(3) 9(a b)2 -4(a -b)2(4) 16(a-b)2-25(a b)22(x-1) b (1-x)3、把下列各式分解因式(1)a5 -a3-a4(5) -16 x4y4(6) 3a-3ay4(二)完全平方公式1、把下列各式分解因式:(1) x2 4x 42 2(4) 2ab-a -b2、把下列各式分解因式：4224(1) 16a24a b 9b(4) (x22x) 2(x22x) 12(2) 4x -12x 92 2(5)x4y 4xy2 2(2) _3ax 6axy _3ay

14、(3)2cmmn n932 2(6) x -2x(y-z) (y z)23(3) _a 2a -a(二)综合运用1、把下列各式分解因式：(1) a5b -ab(2)(4) xy24x21 y416(x-2y)2 10(2y-x) 25(3) (ab 1)2 - (a b)2(5)4 m81n4(6) (x2 16y2)2 -64x2y2(7)3a(x24)2 -48ax2(8) 16x5 -8x3y2 xy4(9)x2(2x-3) y2(3-2x)553 3(10) m n -2 m n mn三、因式分解综合题1. X2 _4xy_2y x 4y2有一个因式是X-2y，另一个因式是（）A. x

15、+2y+1B.x+2y-1C.x-2y+1D.x-2y-12.已知a为任意整数，且a 13a2的值总可以被n （n为自然数，且n"）整数，则n的值为（)A. 13B.26C.13或 26 D. 13的倍数3.已知 a + b = 2 ,ab5，则a +b的值为（b a)A. 2 ；5B.7 .C14 -yy55D.24 ；54.填空：a2-3a+_=(a+2)(),(m+n)2+6(m+n)+_=(m+n+_)5.已知1+ a与1- b互为倒数，且ab工0,则丄_丄=a b6.计算:1 诗-右=7.若 2x+5y-3=0，贝U 4x 32y=8.因式分解：(1) a2-b2 4bc-

16、4c2(2) (p-4) (p+1) +3p2 2 2(3) 16x -(x 4)2(4) (mT)x -2mx m 122(5) (x- x) 3x(x -1) - 54(6) x 1(x 2)(x 3)(x 4)-24(7) (m? 32-8(m2 初16(9) (c2 a2 b2)2 _4a2b2(8) (x2 -b2 y2 -a2)2 /(ab-x029.已知：4x2 16y2 _4x _16y 5=0，求 x+y 的值。10.若 x2 xy y =14, y2 xy x = 28，求 x+y 的值。11.已知：a2 a -1 =0，求 a3 2a2 2011 的值。2 212.求满足4x -9y= 31的正整数解13.已知:求 x2011 - x2010 - x2009x2 x 1的值。14.已知x 1 =2 3，求：x1的值.15.已知:xxx，y =23 , .xy=2_3，求 X + y 的值.17.已知：x2-5x1=0，计算：x2二 的值.x値若