第6章 假设检验

1、第 6 章 假设检验6.1 假设检验的基本问题 6.2 一个正态总体参数的检验6.3 两个正态总体参数的检验6.4 假设检验中的其他问题6.1 假设检验的基本问题一.假设问题的提出二.假设的表达式三.两类错误四.假设检验的方法五.假设检验中的P值什么是假设?(hypothesis) 对总体参数的取值所作的一种陈述； 总体参数包括总体均值总体均值、比例比例、方差方差等； 分析之前之前需陈述；什么是假设检验? (hypothesis testing)1. 事先对总体参数或分布形式作出某种假设，然后利用样本信息来判断原假设是否成立；2. 有参数假设检验和非参数假设检验；3. 采用逻辑上的反证法，依据

2、的是小概率原理；小概率原理 什么是小概率？什么是小概率？1. 在一次试验中，一个几乎不可能发生的事件发生的概率。2. 在一次试验中小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设。3. 小概率由研究者事先确定。假设检验的步骤假设检验的步骤提出原假设和备择假设 什么是原假设？什么是原假设？(null hypothesis)1.待检验的假设，又称“零假设”；2.研究者想收集证据予以反对的假设；想收集证据予以反对的假设；3.总是有等号 ， 或 ；4.表示为 H0；H0： 某一数值 ；例如， H0： 3190克； 什么是备择假设？什么是备择假设？(alternative hypothesis)1.与原假设对

3、立的假设，也称“研究假设”；2.研究者想收集证据予以支持的假设想收集证据予以支持的假设，总是有不等号: ， 或 ；3.表示为 H1；H1： 某一数值， 某一数值，或 某一数值例如， H1： 3910(克)； 3910(克)；或 3910(克)提出原假设和备择假设 什么检验统计量？什么检验统计量？1.用于假设检验决策的统计量；2.选择统计量的方法与参数估计相同，需考虑： 是大样本还是小样本； 总体方差已知还是未知；3.检验统计量的基本形式为：确定适当的检验统计量确定适当的检验统计量确定显著性水平(significant level) 什么显著性水平？什么显著性水平？1. 是一个概率值；2. 原假

4、设为真时，拒绝原假设的概率； 也称为抽样分布的拒绝域；3. 表示为 (alpha)； 常用的 值有0.1， 0.054. 由研究者事先确定。 /2 作出统计决策1.计算检验的统计量；2.根据给定的显著性水平，查表得出相应的临界值z 或z /2， t 或t /2；3.将检验统计量的值与水平的临界值进行比较；4.得出拒绝或不拒绝原假设的结论。假设检验中的两类错误1. 第一类错误（弃真错误）第一类错误（弃真错误） 原假设为真时拒绝原假设； 会产生一系列后果； 第一类错误的概率为 ； 称为显著性水平2. 第二类错误（取伪错误）第二类错误（取伪错误） 原假设为假时没有拒绝原假设； 第二类错误的概率为 ；

5、和 的关系 Z Z 影响 错误的因素1. 总体参数的真值； 随着假设的总体参数与真值差的减少而增大2. 显著性水平； 当 减少时增大3. 总体标准差； 当 增大时增大4. 样本容量 n； 当 n 减少时增大双侧检验和单侧检验(假设检验的方法)双侧检验与单侧检验 (假设的形式)假设假设研究的问题研究的问题双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验H0 = 0 0 0 0 0 0H1 0 0 0 0双侧检验(two-tailed test)1.属于决策中的假设检验；决策中的假设检验；2.不论是拒绝H0还是不拒绝H0，都必需采取相应的行动措施；3.例如，某种零件的尺寸，要求其平均长度为10cm

6、，大于或小于10cm均属于不合格；我们想要证明(检验)大于或小于这两种可能性中的任何一种是否成立；4.建立的原假设与备择假设应为 H0: = 10 H1: 10双侧检验(显著性水平与拒绝域) /2 双侧检验 (显著性水平与拒绝域) /2 双侧检验 (显著性水平与拒绝域) /2 单侧检验(one-tailed test)1.将研究者想收集证据予以支持的假设作为备择假设H1，例如： 一个研究者总是想证明自己的研究结论是正确的； 一个销售商总是想证实供货商的说法是不正确的；2.将研究者想收集证据证明其不正确的假设作为原假设H0单侧检验 (原假设与备择假设的确定)q一项研究表明，采用新技术生产后，将会

7、使产品的使用寿命明显延长到1500小时以上。检验这一结论是否成立，即 研究者总是想证明自己的研究结论(寿命延长)是正确的 备择假设的方向为“”(寿命延长) 建立的原假设与备择假设应为 H0: 1500 H1: 1500单侧检验 (原假设与备择假设的确定)q一项研究表明，改进生产工艺后，会使产品的废品率降低到2%以下。检验这一结论是否成立，也就是 研究者总是想证明自己的研究结论(废品率降低)是正确的； 备择假设的方向为“”(废品率降低) 建立的原假设与备择假设应为 H0: p p 2% H1: p p 1020 = 0.05n = 16临界值临界值(s):总体均值的检验 (小样本)1. 假定条件

8、l总体为正态分布，且l 2未知，且小样本2. 使用t 统计量小样本均值的检验 (two-tailed test)【例例】某机器制造出的肥皂厚度为5cm，服从正态分布。今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂为样本，测得平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm。试以0.05的显著性水平，检验机器性能是否良好。 小样本均值的检验 (two-tailed test)H0: = 5H1: 5 = 0.05df = 10 - 1 = 9临界值临界值(s):小样本均值的检验 (one-tailed test) 【例例】一个汽车轮胎制造商声称，某一等级的轮胎的平均寿命在一定的汽车重量和正常行驶条件下大于

9、40000公里。对一个由20个轮胎组成的随机样本作了试验，测得平均值为41000公里，标准差为5000公里。已知轮胎寿命的公里数服从正态分布，我们能否根据这些数据作出结论，该制造商的产品同他所说的标准相符？( = 0.05)小样本均值的检验 (one-tailed test) H0: 40000H1: 40000 = 0.05df = 20 - 1 = 19临界值临界值(s):一个总体比例检验1.假定条件总体服从二项分布；可用正态分布来近似；2.比例检验的 Z 统计量：一个总体方差检验1.检验一个总体的方差或标准差；2.假设总体近似服从正态分布；3.检验统计量：22220(1)(1)nsnP显

10、著性水平 的不足：的不足：只能提供检验结论可靠性的一个大致范围，但却无法给出观测数据与原假设之间不一致程度的精确度量。什么是P 值?(P-value)1.当原假设为真时，得到的观测数据观测数据的概率；2.P值是小于小于或或大于样本大于样本统计量取值统计量取值的概率； 左侧检验时，P值为小于等于小于等于检验统计量值的曲线下方的面积，表示为： 右侧检验时，P值为大于等于大于等于检验统计量值的曲线下方的面积，表示为：3.被称为观测到的显著性水平，反映了实际观测到的数据与原假设之间的不一致程度。0()cP ZzP值0()cP ZzP值 P值是在原假设为真的情况下得到的目前这个样本数据的概率； 或者说给

11、定原假设为真时，样本数据出现的概率； 因此，小的P值（比给定的显著性水平还小）就表明，在原假设为真时得到目前这样一个样本结果的可能性很小； 所以应该拒绝原假设。P值进行检验的基本思想左侧检验的P 值右侧检验的P 值双侧检验的P 值0()cP ZzP利用excel查P值 z分布的P值 函数NORMSDIST(z)， P值=1- NORMSDIST(z)，为单侧概率；如果是双侧检验，需要乘以2； t分布的P值 函数TDIST(t,df,1or2)，其中1为单侧，2为双侧； 2分布的P值 函数CHIDIST(2,df)，为右侧概率； F分布的P值 函数FDIST(F,df1,df2)，为右侧概率；1

12、4:486.3 两个正态总体参数的检验一.检验统计量的确定二.两个总体均值差的检验三.两个总体比例差的检验四.两个总体方差比的检验两个正态总体参数的检验两个总体的检验两个总体的检验Z 检验检验(大样本大样本)t 检验检验(小样本小样本)t 检验检验(小样本小样本)Z 检验检验F 检验检验均值均值比例比例方差方差独立样本总体均值差的检验两个总体均值差的检验 (假设的形式)假设假设研究的问题研究的问题双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验H0 1 2 = 0 1 2 0 1 2 0H1 1 2 0 1 2 0两个总体均值差的检验 ( 12、 22 已知或大样本)1.假定条件 两个样本是独

13、立的随机样本； 两个总体都是正态分布； 若不是正态分布， 可以用正态分布来近似(n130和 n230)；2.检验统计量为：两个总体均值差的检验 ( 12、 22 未知但相等，小样本)1.检验具有相等方差的两个总体的均值是否有差异；2.假定条件：两个样本是独立的随机样本两个总体都是正态分布两个总体方差未知且相等 12 = 223.检验统计量：两个总体均值差的检验 ( 12、 22 未知但不等，小样本)1.检验具有不等方差的两个总体的均值2.假定条件 两个样本是独立的随机样本 两个总体都是正态分布 两个总体方差未知但不等 12 223.检验统计量两个配对样本的均值检验两个总体均值差的检验(配对样本

14、的检验)1. 检验两个总体的均值； 配对或匹配 重复测量 (前/后)2. 两种情况： z检验（大样本）两个总体都服从正态分布如果不服从正态分布，可用正态分布来近似 (n1 30 ， n2 30 ) t检验（小样本）配对样本的 t 检验 (假设的形式)假设假设研究的问题研究的问题双侧检验双侧检验左侧检验左侧检验右侧检验右侧检验H0 A B D0 A B D0 A B D0 H1 A B D0 A B D0 A B D0注：Di = X1i - X2i ，对应第 i 对观察值配对样本的 t 检验 (数据形式) 观察序号观察序号样本样本1 1样本样本2 2差值差值1x 11x 21D1 = x 11

15、 - x 212x 12x 22D2 = x 12 - x 22M MM MM MM Mix 1ix 2iDi = x 1i - x 2iM MM MM MM Mnx 1nx 2nDn = x 1n- x 2n配对样本的 t 检验(检验统计量)两个总体比例差的检验1.假定条件 两个总体是独立的； 两个总体都服从二项分布； 可以用正态分布来近似；2.一般地，检验统计量为：两个总体比例差的检验两个总体比例差的检验注意事项1.比例问题的方差形式为：np(1-p)，即方差与比例直接相关；2.当讨论两个总体比例是否有差异时，自然会有：H0：p1-p2=0，此时两个总体方差必然相等；3.当然，原假设形式也可以为： H0：p1-p2d，d0；此时的两个总体方差必然不等；4.由前面两个总体均值比较问题的讨论知，比例问题同样需要考虑总体方差是否相等这一前提；5.故在不同的条件下采用的检验统计量会有所不同。两个总体比例差的检验处理办法1.由于原假设成立时总体方差相等，需要先估计联合方差，方法类似均值问题；2.用于计算联合方差的p为：3.大样本情况下，检验统计量形式变为：4.当原假设两个比例差不为0时，原统计量不变。112212n pn ppnn121211(1)()ppzppnn两个总体方差比的检验