综合题--二次函数平行四边形汇总

1、1、已知二次函数图象顶点为 C (1, 0),直线y=x+m与该二次函数交于 A , B两点，其中A点(3, 4) , B点在y轴上.(1)求m值及这个二次函数关系式;(2) P为线段AB上一动点(P不与A , B重合)，过P做x轴X垂线与二 次函数交于点E ,设线段PE长为h，点P横坐标为x ,求h与x之间的函数关 系式，并写出自变量x取值范围；(3) D为线段AB与二次函数对称 轴的交点，在AB上是否存在一点P,使 四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出 P点坐标；若不存在，请说明理 由。1因为A (3, 4)是直线y=x+m上的点，所以4=3+m ,解得m=1,进而求 得 B (0,

2、1)设二次函数为y =axA2+bx+c,把A、B、C三点坐标代入得：9a+3b+c=4a+b+c=0c=1解彳4 a=1, b=-2, c=1,所以二次函数的关系式为：y=xA2-2x+1(2因为P为线段AB上，且横坐标为x ,所以纵坐标是x+1,又因为E在二次 函数的图像上，且横坐标是 x ,所以纵坐标是xA2-2x+1 ,于是h=(x+1-(xA2-2x+1=- xA2+3x(3显然PE/ DC,因此若P点存在，那么必有PE =DC。因为D为直线AB 与这个二次函数图像对称轴的交点，所以 D的横坐标为1,因而纵坐标为2,所以 DC =2。若PE =2,则有-xA2+3x=2,解得x=2或

3、x =1 (跟C点重合，故舍去。 所以这牛¥的点P是存在的，它的坐标是(2,3。6、(10遵义市)如图，已知抛物线 y =ax +bx +c (a 的坐标为 Q (2,- 1,且与y轴交于点C (0, 3,与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，点P 是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD /y轴，交AC于点 D . 2(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当4ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点 F的坐标； 若不存在，请说明理由

4、.解：1)抛物线的顶点坐标为Q(2,-1所以 x=-b/2a=2 得 b= -4ay=-b24a+c=-1 得 4a=c+1点c (0,3)在抛物线上得c=3得 a=1 b=-4所以抛物线方程为y=x2-4x+32)当 y=0 时 x2-4x+3=0 解得 x1=3 , x2=1所以由题意得A(3,0旧(1,0所以AC的直线方程为x+y=3设 P(x,y因为PD| y轴所以D的横坐标为x所以 D (x , 3-x )AADP是直角三角形时所以当/ DPA=90 P与B重合 为(1,0)当/ DAP=90时向量 AP=(3-X,-y 向量 AD=(3,-3所以 9-3x+3y=0 得 y-x+3

5、=0在抛物线上所以x25x+6=0得x1=2或x2=3 (舍去，P与A不重合)所以P(2, -13当P (1,0)时不存在以APEF为顶点的平行四边形当P(2, -1设 E(k,0 F (x2,y2)向量 AP=(1,1 向量 FE=(x2-k,y213y2.- 13x2-k=0得y2=x2-k注：平行四边形对边平行2= (x2-k ) 2+y2 2所以y2 2=1注：平行四边形对边相等当 y2=1 时 y=x2-4x+3=1 得 x 24x+2=0解彳3 x= (4 ± V)/ /2=2 土，2当 x=2-V2 k=x2y2=2-V1=1-V2当 x =2+ VM k=x2-y2=

6、2+V2-1=1+V2当y2=-1时只有一点舍去所以F坐标为(2-M2J或(2+M2,力21、(09烟台 如图，抛物线y =ax +bx -3与x轴交于A , B两点，与y轴交于 C点，且经过点(2, -3a,对称轴是直线x =1,顶点是M .(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N ,在抛物线上是否存在这样的点 P,使以点P, A , C , N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设直线y =-x +3与y轴的交点是D ,在线段B D上任取一点E (不与 B , D重合)，经过A , B , E三点的圆交直线B C于点F ,试判断'A E F的形 状，并说明理由；(4)当E是直线y =-x +3上任意一点时，(3)中的结论是否成立？(请直接写出结论)ZJbA -3a)f对称轴x=1,即-2b/a=17a+3b=3由方程得a=1, b=-2所以 y=xA2-2x-32,点 A (-1,0) , M (1, -4) , B (3,0) , C (0,-3)过CM作直线，设y=-kx+d代入C,M得直线CM方程y=-x-3 则点N (-3, 0)过点A作平行于CM的直线l ,即y=-x+e,代入A点得e=-1,则直线l方程 y-x-1(5)设抛物线上存在点p ,使以点P,A,