第4讲二次函数与幂函数

1、第第 4 讲讲 二次函数与幂函数二次函数与幂函数 最新考纲 1.会用二次函数的图象理解、分析、研究二次函数的性质；2.了解幂函数的概念；3.结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象，了解它们的变化情况. 知 识 梳 理 1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)ax2bxc(a0). 顶点式：f(x)a(xm)2n(a0). 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a0) 图象 定义域 (，) (，) 值域 4acb24a， ，4acb24a 单调性 在，b2a

2、上单调递减； 在b2a， 上单调递增 在，b2a上单调递增； 在b2a， 上单调递减 对称性 函数的图象关于 xb2a对称 2.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 函数 特征 性质 yx yx2 yx3 yx12 yx1 定义域 R R R 0，) x|xR， 且x0 值域 R 0，) R 0，) y|yR， 且y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (，0减，0，)增 增 增 (0，)减 (，0)减， 定点 (0，0)，(1，1) (1，1) 诊 断 自

3、测 1.判断正误(在括号内打“”或“”) (1)二次函数 yax2bxc(a0)，xR 为偶函数的充要条件为 b0.() (2)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb24a.() (3)幂函数的图象都经过点(1，1)和(0，0).() (4)幂函数的图象不经过第四象限.() (5)当 0 时，函数 yx的图象是一条直线.() 2.在同一坐标系内，函数 yxa(a0)和 yax1a的图象可能是( ) 解析 若 a0， 由 yxa的图象知排除 C， D 选项， 由 yax1a的图象知应选 B；若 a0，yxa的图象知排除 A，B 选项，但 yax1a的图象均不适合，综上选B. 答案

4、 B 3.(2016 济宁高三诊断)已知幂函数 f(x)kax的图象过点12，22，则 k( ) A.12 B.1 C.32 D.2 解析 由幂函数的定义知 k1.又 f1222，所以1222，解得 12，从而 k32. 答案 C 4.(2016 张家口模拟)已知函数 h(x)4x2kx8 在5，20上是单调函数，则 k 的取值范围是( ) A.(，40 B.160，) C.(，40160，) D. 解析 函数 h(x)的对称轴为 xk8，因为 h(x)在5，20上是单调函数，所以k85或k820，即 k40 或 k160，故选 C. 答案 C 5.(人教 A 必修 1P82A10 改编)已知

5、幂函数 yf(x)的图象过点2，22，则此函数的解析式为_；在区间_上递减. 答案 yx12 (0，) 考点一 二次函数的图象及应用 【例 1】 (1)设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是( ) (2)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0，且 a1)的图象可能是( ) (2)已知实数 a，b 满足等式 2 014a2 015b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 (1)函数 yax1a是由函数 yax的图象向下平移1a个单位长度得到，A

6、 项显然错误；当 a1 时，01a1，平移距离小于 1，所以 B 项错误；当 0a1时，1a1，平移距离大于 1，所以 C 项错误，故选 D. (2)设 2 014a2 015bt，如图所示，由函数图象，可得 若 t1，则有 ab0；若 t1，则有 ab0；若 0t1，则有 ab0. 故可能成立，而不可能成立. 答案 (1)D (2)B 规律方法 (1)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象，利用数形结合求解. 【训练 2】 (1)函数 f(x)axb的图象如图，其中 a，

7、b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a1，b0 B.a1，b0 C.0a1，b0 D.0a1，b0 (2)(2016 衡水模拟)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点， 则 b 的取值范围是_. 解析 (1)由 f(x)axb的图象可以观察出，函数 f(x)axb在定义域上单调递减，所以 0a1.又由图象在 y 轴截距小于 1 可知 ab1，即b0，所以 b0，故选 D. (2)曲线|y|2x1 与直线 yb 的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1，1. 答案 (1)D (2)1，1 考点三 指数函数的性质及应用 【例

8、3】 (1)(2015 天津卷)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数，记 af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为( ) A.abc B.cab C.acb D.cba (2)如果函数 ya2x2ax1(a0，a1)在区间1，1上的最大值是 14，则 a的值为( ) A.13 B.1 C.3 D.13或 3 解析 (1)由函数 f(x)2|xm|1 为偶函数，得 m0， 即 f(x)2|x|1，其图象过原点，且关于 y 轴对称， 在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增. 又 af(log0.53)f(log23)

9、f(log23)，bf(log25)， cf(0)，且 0log23log25， 所以 cab，故选 B. (2)令 axt，则 ya2x2ax1t22t1(t1)22. 当 a1 时，因为 x1，1，所以 t1a，a ， 又函数 y(t1)22 在1a，a 上单调递增， 所以 ymax(a1)2214，解得 a3(负值舍去). 当 0a1 时，因为 x1，1，所以 ta，1a， 又函数 y(t1)22 在a，1a上单调递增， 则 ymax1a12214， 解得 a13(负值舍去). 综上知 a3 或 a13. 答案 (1)B (2)D 规律方法 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要

10、特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解. 【训练 3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.51.73 B.0.610.62 C.0.80.11.250.2 D.1.70.30.93.1 (2)已知函数 f(x)2|2xm|(m 为常数)，若 f(x)在区间2，)上是增函数，则 m 的取值范围是_. 解析 (1)A 中，函数 y1.7x在 R 上是增函数，2.53，1.72.51.73. B 中，y0.6x在 R 上是减函数，10.62. C 中，0.811.2

11、5，问题转化为比较 1.250.1与 1.250.2的大小. y1.25x在 R 上是增函数，0.10.2， 1.250.11.250.2，即 0.80.11，00.93.10.93.1. (2)令 t|2xm|， 则 t|2xm|在区间m2， 上单调递增， 在区间，m2上单调递减，而 y2t为 R 上的增函数，所以要使函数 f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有m22，即 m4，所以 m 的取值范围是(，4. 答案 (1)B (2)(，4 思想方法 1.比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数， 然后比较大小； 当指数相同， 底数不同时， 构造

12、两个指数函数，利用图象比较大小. 2.指数函数 yax(a0，且 a1)的单调性和底数 a 有关，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论. 3.与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最值问题，往往转化为二次函数的最值问题. 易错防范 1.指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等. 2.形如 a2xb axc0 或 a2xb axc0(0)形式， 常借助换元法转化为二次方程或不等式求解，但应注意换元后“新元”的范围. 第第 6 讲讲 对数与对数函数对数与对数函数 最新考纲 1

13、.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质 alogaNN；logaaNN (

14、a0，且 a1)； 零和负数没有对数. (2)对数的运算性法则(a0，且 a1，M0，N0) loga(M N)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR). (3)对数的重要公式 换底公式：logbNlogaNlogab (a，b 均大于零且不等于 1)； logab1logba，推广 logablogbclogcdlogad. 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，). (2)对数函数的图象与性质 a1 0a1 图象 定义域 (0，) 值域 R 性质 过点(1，

15、0)，即 x1 时，y0 当 x1 时，y0； 当 0 x1 时，y0 当 x1 时，y0； 当 0 x1 时，y0 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩 PPT 展示 (1)logax22logax.() (2)函数 ylog2x 与 ylog122x 都是对数函数.() (3)loga(bc)logablogac.() (4)若 logamlogan，则 mn.() (5)函数 f(x)lgx2x2与 g(x)lg(x2)lg(x2)是同一个函数.() 2.函数 f(x)loga(x2)2(a0，且 a1)的图象必过定点(

16、) A.(1，0) B.(1，2) C.(1，2) D.(1，1) 解析 令 x1，则 loga(x2)0，此时 f(1)2，故选 C. 答案 C 3.(2015 浙江卷)若 alog43，则 2a2a_. 解析 alog43log23， 2a2a2log232log23 3134 33. 答案 4 33 4.函数 f(x)log5(2x1)的单调增区间是_. 解析 由 2x10，得 x12，所以函数的定义域为12， ，由复合函数的单调性知，函数 f(x)log5(2x1)的单调增区间是12， . 答案 12， 5.(人教 A 必修 1P75B2 改编)若 loga341(a0，且 a1)，则

17、实数 a 的取值范围是_. 解析 当 0a1 时，loga34logaa1， 解得 0a34；当 a1 时，loga34logaa1，解得 a1. 答案 0，34(1，) 考点一 对数式的运算 【例 1】 计算：(1)log222_；2log23+log43_. (2)(lg 2)2lg 2lg 50lg 25_. 解析 (1)log222log22log2212112； 2log23+log432log232log4332log4332log233 3. (2)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52 (lg 2lg 51)lg 22lg 5 (11)lg 22lg 5 2(lg

18、2lg 5)2. 答案 (1)12 3 3 (2)2 规律方法 在对数运算中， 要熟练掌握对数式的定义， 灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式. 【训练 1】 (1)设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于( ) A. 10 B.10 C.20 D.100 (2)已知函数 f(x)12x，x4，f（x1），x4，则 f(2log23)的值为_. 解析 (1)由已知，得 alog2m，blog5m， 则1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102.解得 m 10. (2)因为 2log234，所以 f(2log23

19、)f(3log23)，而 3log234， 所以 f(3log23)123+log231812log231813124. 答案 (1)A (2)124 考点二 对数函数的图象及应用 【例 2】 (1)已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，且 a1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a1，c1 B.a1，0c1 C.0a1，c1 D.0a1，0c1 (2)当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是( ) A.0，22 B.22，1 C.(1， 2) D.( 2，2) 解析 (1)由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以 0a1.又当 x0 时，y0，即 l

20、ogac0，所以 0c1. (2)由题意得，当 0a1 时，要使得 4xlogax0 x12，即当 0 x12时，函数 y4x的图象在函数 ylogax 图象的下方.又当 x12时，4122，即函数 y4x的图象过点12，2 .把点12，2 代入函数 ylogax， 得 a22.若函数 y4x的图象在函数 ylogax 图象的下方， 则需22a1(如图所示). 当 a1 时，不符合题意，舍去. 所以实数 a 的取值范围是22，1 . 答案 (1)D (2)B 规律方法 (1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象.(2)对于较复杂

21、的不等式有解或恒成立问题，可以借助函数图象解决，具体做法为：对不等式变形，使不等号两边对应两函数 f(x)，g(x)；在同一坐标系下作出两函数 yf(x)及 yg(x)的图象； 比较当 x 在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况. 【训练 2】 已知函数 f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则 a，b满足的关系是( ) A.0a1b1 B.0ba11 C.0b1a1 D.0a1b11 解析 由函数图象可知， f(x)在 R 上单调递增， 故 a1.函数图象与 y 轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，解得1ab1.

22、综上有 01ab1. 答案 A 考点三 对数函数的性质及应用 微题型 1 比较大小 【例 31】 (1)设 alog32，blog52，clog23，则( ) A.acb B.bca C.cba D.cab (2)已知 xln ，ylog52，ze12，则( ) A.xyz B.zxy C.zyx D.yzx 解析 (1) 323，12 5，32，log33log32log33，log51log5 2log55，log23log22， 12a1，0b12，c1，cab. (2)xln ln e，x1. ylog52log55，0y12. ze121e1412，12z1.综上可得，yzx. 答案

23、 (1)D (2)D 规律方法 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后， 再进行比较； (3)若底数与真数都不同， 则常借助 1，0 等中间量进行比较. 微题型 2 解简单的对数不等式 【例 32】 (1)若 loga(a21)loga2a0，则 a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.0，12 C.12，1 D.(0，1)(1，) (2)设函数f(x)log2x，x0，log12（x），x0.若f(a)f(a)， 则实数a的取值范围是( ) A.(1，0)(0，1) B

24、.(，1)(1，) C.(1，0)(1，) D.(，1)(0，1) 解析 (1)由题意得 a0 且 a1，故必有 a212a. 又 loga(a21)loga2a0， 所以 0a1， 同时 2a1， a12， 综上， a12，1 . (2)由题意可得a0，log2alog2a或a0，log12（a）log2（a）， 解得 a1 或1a0. 答案 (1)C (2)C 规律方法 形如 logaxlogab 的不等式，借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0a1 两种情况讨论；形如 logaxb 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式. 【训练 3】

25、 (1)已知 a21.2， b120.8， c2log52， 则 a， b， c 的大小关系为( ) A.cba B.cab C.bac D.bca (2)函数 f(x)axloga(x1)在0，1上最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为_. 解析 (1)b120.820.821.2a，c2log52log522log55120.8b，cba. (2)yax与 yloga(x1)的单调性相同. 当 a1 时，f(x)的最大值为 f(1)，最小值为 f(0). 当 0a1 时，f(x)的最大值为 f(0)，最小值为 f(1). 不论 a1 还是 0a1 都有 f(0)f(1)a，即 a0log

26、a1aloga2a，解得a12. 答案 (1)A (2)12 思想方法 1.对数值取正、负值的规律 当 a1 且 b1 或 0a1 且 0b1 时，logab0； 当 a1 且 0b1 或 0a1 且 b1 时，logab0. 2.研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，要注意底数 a1 和 0a1 的两种不同情况.有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现. 3.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 4.多

27、个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线 y1 交点的横坐标进行判定. 易错防范 1.在运算性质 logaMnnlogaM 中，要特别注意条件，在无 M0 的条件下应为logaMnnloga|M|(nN*，且 n 为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围. 三年高考真题三年高考真题 1.(2014 四川)已知 b0，log5ba，lgbc，5d10，则下列等式一定成立的是( ) A.dac B.acd C.cad D.dac 2.(2015 浙江)若 alog43，则 2a2a_. 3.(2015 安徽)lg52

28、2lg 2121_. 4.(2014 安徽)168134log354log345_. 5.(2014 陕西)已知 4a2，lg xa，则 x_. 考点 2 基本函数的图象的应用 6.(2014 山东)已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a1，c1 B.a1，0c1 C.0a1，c1 D.0a1，0c1 7.(2014 浙江)在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图象可能是( ) 8.(2015 四川)已知函数 f(x)2x，g(x)x2ax(其中 aR).对于不相等的实数 x1，x2，设 mf

29、（x1）f（x2）x1x2，ng（x1）g（x2）x1x2， 现有如下命题： 对于任意不相等的实数 x1，x2，都有 m0； 对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1，x2，都有 n0； 对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x2，使得 mn； 对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x2，使得 mn. 其中的真命题有_(写出所有真命题的序号). 考点 3 基本函数的性质的应用 9.(2015 四川)设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 10.(2015 天津)已

30、知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数，记 af(log0.53)，b(log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为( ) A.abc B.acb C.cab D.cba 11.(2015 陕西)设 f(x)ln x， 0ab， 若 pf( ab)， qfab2， r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是( ) A.qrp B.qrp C.prq D.prq 12.(2015 山东)设函数 f(x)3x1，x1，2x，x1，则满足 f(f(a)2f(a)的 a 取值范围是( ) A.23，1 B.0，1 C.23， D.1, ) 13.(2014

31、 江西)已知函数 f(x)5|x|， g(x)ax2x(aR).若 fg(1)1， 则 a( ) A.1 B.2 C.3 D.1 14.(2014 辽宁)已知 a213，blog213，clog1213，则( ) A.abc B.acb C.cab D.cba 15.(2014 天津)函数 f(x)log12(x24)的单调递增区间为( ) A.(0，) B.(，0) C.(2，) D.(，2) 16.(2014 天津)设 alog2 ，blog12，c2，则( ) A.abc B.bac C.acb D.cba 17.(2014 山东)已知实数 x，y 满足 axay(0a1y21 B.ln

32、(x21)ln(y21) C.sin xsin y D.x3y3 18.(2015 福建)若函数 f(x)2|xa|(aR)满足 f(1x)f(1x)，且 f(x)在m，)上单调递增，则实数 m 的最小值等于_. 19.(2014 天津)函数 f(x)lg x2的单调递减区间是_. 20.(2016 全国)若 ab0，0c1，则( ) A.logaclogbc B.logcalogcb C.accb 21.(2016 浙江)已知 ab1.若 loga blogb a52，abba，则 a_，b_. 第第 7 讲讲 函数的应用函数的应用 最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的

33、联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 知 识 梳 理 1.函数的零点 (1)函数的零点的概念 对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点. (2)函数的零点与方程的根的关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数 yf(x)满足： 在区间a， b上的图象是

34、连续不断的一条曲线； f(a) f(b)0；则函数 yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个c 也就是方程 f(x)0 的根. 2.二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关系 0 0 0)的图象 与 x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 3.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 yax(a1) ylogax(a1) (n0)yxn 在(0，) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为 与 y 轴平行 随 x 的增大逐

35、渐表现为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxxnax 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩 PPT 展示 (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.() (2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a) f(b)0.() (3)二次函数 f(x)ax2bxc(a0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件为ac0.() (4)幂函数增长比直线增长更快.() (5)当 x0 时，函数 y2x与 yx2的图象有两个交点.() 2.若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0，16)，

36、(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题中正确的是( ) A.函数 f(x)在区间(0，1)内有零点 B.函数 f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点 C.函数 f(x)在区间2，16)上无零点 D.函数 f(x)在区间(1，16)内无零点 解析 由题意可知，函数 f(x)的唯一零点一定在区间(0，2)内，故一定不在2，16)内. 答案 C 3.已知函数 f(x)6xlog2x.在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，4) D.(4，) 解析 由题意知， 函数 f(x)在(0， )上为减函数， 又 f(1)6log2160， f

37、(2)3log2220，f(4)64log24322120，由零点存在性定理，可知函数 f(x)在区间(2，4)上必存在零点，故选 C. 答案 C 4.(2015 天津卷)已知函数 f(x)2|x|，x2，（x2）2，x2，函数 g(x)3f(2x)，则函数 yf(x)g(x)的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 由已知条件可得 g(x)3f(2x)|x2|1，x0，3x2，x0， 函数 yf(x)g(x)的零点个数.即为函数 yf(x)与 yg(x)图象的交点，在平面直角坐标系内作出函数 yf(x)与 yg(x)的图象如图所示，由图可知函数 yf(x)与yg(x)的图象有

38、 2 个交点，所以函数 yf(x)g(x)的零点个数为 2，选 A. 答案 A 5.(人教 A 必修 1P104 例 5 改编)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为_元. 解析 设在进价基础上增加 x 元后，日均销售利润为 y 元， 日均销售量为 48040(x1)52040 x(桶)， 则 y(52040 x)x20040 x252

39、0 x200，0 x13. 当 x6.5 时，y 有最大值.所以只需将销售单价定为 11.5 元，就可获得最大的利润. 答案 11.5 考点一 函数与方程 微题型 1 函数零点所在区间的判定 【例 11】 (1)(2016 唐山一模)设 f(x)exx4，则函数 f(x)的零点位于区间( ) A.(1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) (2)(2015 长沙模拟)若abc， 则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间( ) A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)内

40、 解析 (1)f(x)exx4，f(x)ex10，函数 f(x)在 R 上单调递增，对于 A 项，f(1)e1(1)45e10，f(0)30，f(1)f(0)0，A 不正确；同理可验证 B，D 不正确，对于 C 项，f(1)e14e30，f(2)e224e220，f(1)f(2)0.故 f(x)的零点位于区间(1，2). (2)令 y1(xa)(xb)(xb)(xc)(xb) 2x(ac)，y2(xc)(xa)，由 abc 作出函数 y1，y2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，即函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内. 答案

41、 (1)C (2)A 规律方法 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断，当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断. 微题型 2 判断函数零点个数 【例 12】 (1)函数 f(x)x1212x的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(2016 郑州一模)函数 f(x)ln xx22x，x0，4x1，x0的零点个数是_. 解析 (1)因为 yx12在 x0，)上单调递增，y12x在 xR 上单调递减，所以 f(x)x1212x在 x0，)上单调递增，又 f(0)10，f(1

42、)120，所以 f(x)x1212x在定义域内有唯一零点. (2)当 x0 时，令 g(x)ln x， h(x)x22x.画出 g(x)与 h(x)的图象如图： 故当 x0 时，f(x)有 2 个零点. 当 x0 时，由 4x10，得 x14，综上函数 f(x)的零点个数为 3. 答案 (1)B (2)3 规律方法 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令 f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a) f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 微题

43、型 3 根据函数零点的存在情况，求参数 【例 13】 (2015 湖南卷)已知函数 f(x)x3，xa，x2，xa，若存在实数 b， 使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_. 解析 当 a0 时，若 x(a，)，则 f(x)x2，当 b(0，a2)时，函数 g(x)f(x)b 有两个零点，分别是 x1 b，x2 b. 当 0a1 时，f(x)的图象如图所示. 易知函数 yf(x)b 最多有一个零点. 当 a1 时，f(x)的图象如图所示. 当 b(a2，a3时，函数 g(x)f(x)b 有两个零点，分别是 x13b，x2 b. 综上，a(，0)(1，). 答案 (，0)

44、(1，) 规律方法 已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解. 【训练 1】 (1)(2014 湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x.则函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合为( ) A.1，3 B.3，1，1，3 C.2 7，1，3 D.2 7，1，3 (2)(2016 安徽皖北四校联考)已知函数 f(x)2xa，x0，2x1

45、，x0(aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是( ) A.(，1) B.(，1 C.1，0) D.(0，1 解析 (1)当 x0 时，f(x)x23x，令 g(x)x23xx30，得 x13，x21. 当 x0 时，x0，f(x)(x)23(x)， f(x)x23x，f(x)x23x. 令 g(x)x23xx30， 得 x32 7，x42 70(舍)， 函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合是2 7，1，3，故选 D. (2)当 x0 时，由 f(x)0，即 2x10，解得 x12. 当 x0 时，由题意可得 f(x)有一个零点，故 a2x，因为 x0，所以 2x

46、(0，1，所以 a 的取值范围为(0，1，所以选 D. 答案 (1)D (2)D 考点二 二次函数的零点问题 【例 2】 已知函数 f(x)x2ax2，aR. (1)若不等式 f(x)0 的解集为1，2，求不等式 f(x)1x2的解集； (2)若函数 g(x)f(x)x21 在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围. 解 (1)因为不等式 f(x)0 的解集为1，2， 所以 a3，于是 f(x)x23x2. 由 f(x)1x2，得 2x23x10，解得 x12或 x1， 所以不等式 f(x)1x2的解集为 xx12或x1. (2) 函 数 g(x) 2x2 ax 3 在 区

47、间 (1 ， 2) 上 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 则g（1）0，g（2）0，1a42，a2240，即a50，2a110，8a4，a2 6或a2 6，解得5a2 6. 所以实数 a 的取值范围是(5，2 6). 规律方法 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组. 【训练 2】 已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比 1 大， 一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围. 解 法一 设方程 x2(a21)x(a2)0 的两根分别为 x1，x2(x1x2)，则(x1

48、1)(x21)0，x1x2(x1x2)10， 由根与系数的关系， 得(a2)(a21)10，即 a2a20，2a1. 法二 函数图象大致如图，则有 f(1)0，即 1(a21)a20，得 a2a20， 2a2；a0，b2；a1，b2. 5.(2015 天津)已知函数 f(x)2|x|，x2，（x2）2，x2，函数 g(x)bf(2x)，其中bR，若函数 yf(x)g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是( ) A.74， B.，74 C.0，74 D.74，2 6.(2014 山东)已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值

49、范围是( ) A.0，12 B.12，1 C.(1，2) D.(2，) 7.(2014 湖北)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为( ) A.1，3 B.3，1，1，3 C.2 7，1，3 D.2 7，1，3 8.(2014 重庆)已知函数 f(x)1x13，x（1，0，x，x（0，1， 且 g(x)f(x)mxm 在(1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是( ) A.94，2 0，12 B.114，2 0，12 C.94，2 0，23 D.114，2 0，23 9.(2015 湖南)若函数 f(x

50、)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_. 10.(2015 安徽)在平面直角坐标系 xOy 中， 若直线 y2a 与函数 y|xa|1 的图象只有一个交点，则 a 的值为_. 11.(2015 湖北)a 为实数，函数 f(x)|x2ax|在区间0，1上的最大值记为 g(a).当a_时，g(a)的值最小. 12.(2015 北京)设函数 f(x)2xa，x1，4（xa）（x2a），x1. 若 a1，则 f(x)的最小值为_； 若 f(x)恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是_. 13.(2015 湖南)已知函数 f(x)x3，xa，x2，xa，若存在实数 b， 使函数 g(

51、x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_. 14.(2014 天津)已知函数 f(x)|x25x4|，x0，2|x2|，x0.若函数 yf(x)a|x|恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为_. 15.(2014 天津)已知函数 f(x)|x23x|，xR.若方程 f(x)a|x1|0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为_. 16.(2016 全国)已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)2f(x)，若函数 yx1x与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则i1m (xiyi)( ) A.0 B.m C.2m D.4m 17.(2

52、016 山东)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_. 18.(2016 四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)( ) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 19.(2016 北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品