变量的相关性

1、2.3 变量的相关性.1、变量之间除了函数关系外，还有相关关系。例：（1）商品销售收入与广告支出经费之间的关系 （2）粮食产量与施肥量之间的关系 （3）人体内脂肪含量与年龄之间的关系不同点：函数关系是一种确定的关系；而 相关关系是一种非确定关系.相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系一、变量与变量之间的关系：一、变量与变量之间的关系：1、一类具备确定性的、一类具备确定性的函数关系函数关系；如正方；如正方形边长形边长a与面积与面积S2、另一类不具备函数关系所要、另一类不具备函数关系所要求的确定性：如脂肪含量与年龄求的确定性：如脂肪含量与年龄，这样的两个变量我们，这样的两个变量我

2、们称它们具有称它们具有相关关系相关关系2、两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响。3、需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中， 研究人员获得了一组样本数据：年龄年龄 23273941454950脂肪脂肪 9.517.8 21.225.927.526.328.2年龄年龄 53545657586061脂肪脂肪 29.630.231.430.833.535.234.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？散点图: 两个变量的散点图中点的分布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量值由小变大，另一个变量值也由小变大，我们

3、称这种相关关系为正相关。人体脂肪含量百分比与年龄散点图010203040010203040506070年龄脂肪含量思考：1、两个变量成负相关关系时，散点图有什么特点？答：两个变量的散点图中点的分布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量值由小变大，而另一个变量值由大变小，我们称这种相关关系为负相关。2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者负相关的例子吗？ 如学习时间与成绩，负相关如日用眼时间和视力，汽车的重量和汽车每消耗一升汽油所行驶的平均路程等。注：若两个变量散点图呈上图，则不具有相关关系，如：身高与数学成绩没有相关关系。020406080100120020406080100人体脂肪含量百

4、分比与年龄散点图02040020406080年龄脂肪含量散点图回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线就叫做回归直线。 这条回归直线的方程，简称为回归方程。1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有函数关系2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系3.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系202530 35

5、4045 50 55 60 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量0510152025303540 我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附近近,像这样，像这样，如果如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系线性相关关系,这条直这条直线叫做线叫做回归直线回归直线，该直线的方程叫，该直线的方程叫回归直线方程回归直线方程。问题：问题：（1）回归直线有多少条？）回归直线有多少条？（2）如何求得回归直线方程？）如何求得回归直线方程？（3）那

6、种方法最合理？）那种方法最合理？“最贴近最贴近”已知数据点的直线已知数据点的直线常记为常记为bxay y的上方加的上方加“”，表示当，表示当x取取值值xi时，时，Y的实际观察值的实际观察值yi与回与回归方程对应于归方程对应于xi时的纵坐标是时的纵坐标是xYiibxay. 方案方案1、在图中取最左端和最右端两点作直线在图中取最左端和最右端两点作直线202530 35 4045 50 55 60 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量0510152025303540. 方案方案2、在图中选两点作直线，使直线在图中选两点作直线，使直线两侧两侧 的点的个数基本相同。的点的个数基本相同。 202530 35 40

7、45 50 55 60 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量0510152025303540. 方案方案3、画出一条直线，测量出各点与它的距离，、画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，当距离和最小时的直线即为所求。再测再移动直线，当距离和最小时的直线即为所求。再测出它的斜率和截距，得回归方程。出它的斜率和截距，得回归方程。202530 35 4045 50 55 60 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量0510152025303540如图如图 ： 我们还可以找到我们还可以找到 更多的方法，但更多的方法，但 这些方法都可行这些方法都可行 吗吗?科学吗？科学吗？ 准确吗？怎样的准确吗？怎样的 方法是最

8、好的？方法是最好的？202530 35 4045 50 55 60 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量0510152025303540我们把由一个变量的变化我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法去推测另一个变量的方法称为称为回归方法。回归方法。 方案方案4、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方程。截距。而得回归方程。 如图如图:上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的定义。求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各

9、点与直线的偏差最小”。计算回归方程的斜率和截距的一般公式： xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)()(1221121其中，b是回归方程的斜率，a是截距。5、最小二乘法的公式的探索过程如下：设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据： （x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）设所求的回归直线方程为Y=bx+a，其中a，b是待定的系数。当变量x取x1，x2，xn时，可以得到 Yi=bxi+a（i=1，2，n）它与实际收集得到的yi之间偏差是 yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi ，yi ）yi-Yiy x这样，

10、用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。例例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：个学生的数学和物理成绩如下表：一、相关关系的判断一、相关关系的判断ABCDE数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们是否有相关关系。画出散点图，并判断它们是否有相关关系。解：解：数学成绩数学成绩由散点图可见，两者之间具有正相关关系。由散点图可见，两者之间具有正相关关系。说明：说明：二、求线性回归方程二、求线性回归方程例例2：观察两相关变量得如下表：观察两相关变量得如下表：x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程解解1： 列表：列表：i12345678910-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149计算得计算得:0, 0yx110,1101011012yxxiiiii1010110010110101010122101iiiiixxyxyxb