陕西高考理科数学试题及答案详解

1、2011年陕西高考理科数学试题及答案详解2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修）(陕西卷)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）rrrrrr1设a，b是向量，命题“若a=-b，则|a|=|b|”的逆命题是 （ ）rrrrrrrr（A）若a¹-b，则|a|¹|b| （B）若a=-b，则|a|¹|b|rrrrrrrr（C）若|a|¹|b|，则a¹-b （D）若|a|=|b|，则a=-b【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。rr

2、rr【解】选D 原命题的条件是a=-b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|=|b|，作为逆rrrr命题的条件，即得逆命题“若|a|=|b|，则a=-b”，故选D2设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是 （ ）（A）y=-8x （B）y=8x （C）y=-4x （D）y=4x【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键【解】选B 由准线方程x=-2得-所以y=2px=8x 22222p，=-2,且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半轴）23设函数f(x)（xÎR）满足f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，则函数y=f(x)的图像是 （ ） 【分析

3、】根据题意，确定函数y=f(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质【解】选B 由f(-x)=f(x)得y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于y轴对 称，可知B，D符合；由f(x+2)=f(x)得y=f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B 4(4-2)（xÎR）展开式中的常数项是 （ ）（A）-20 （B）-15 （C）15 （D）20【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.【解】选C Tr+1=C6(4)rx6-rrr(2-x

4、)r=C6×22x(6-r)×2-xr=C6×212x-3xr，4x-x6令12x-3xr=0，则r=4，所以T5=C6=15，故选C5某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）（A）8-（B）8-2p 3p3（C）8-2p（D） 【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算【精讲精析】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是 2p 318p. V=23-´p´22´2=8-33 6函数f(x)=cosx在0,+¥) （

5、）（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。 【解】选B （方法一）数形结合法，令f(x)=osx，cosx=0，=c设函数y=和y=cosx，它们在0,+¥)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数f(x)=cosx在0,+¥)）（A）（0，1） （B）(0，1 （C）0，1) （D）0，1 221i，i为虚数单位，xÎR，【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。【解】选C y=|cos

6、x-sinx|=|cos2x|Î0,1，所以M=0,1；因为|x-|<221i|x+i|<，即|x-(-i)<，又因为xÎR，所以-1<x<1，即N=(-1,1)；所以MIN=0,1)，故选C. 8右图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评 分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（ ） （A）11 （B）10 （C）8 （D）7【分析】先读懂右图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件|x3-x1|<|x3-x2|是否成立是解答本题的关键【解】选C x1=6，x2=9,|x1-x2|=3

7、2不成立,即为“否”，所以再输入x3；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式|x3-x1|<|x3-x2|知，点x3到点x1的距离小于点x3到x2的距离，所以当x3<7.5时，|x3-x1|<|x3-x2|成立，即为“是”，此时x2=x3，所以p=x1+x36+x3，即=8.5，解得x3=11>7.5，不合题意；当x37.5时，22x+x2x+9|x3-x1|<|x3-x2不成立，即为“否”|，此时x1=x3，所以p=3，即3=8.5，解22得x3=8>7.5，符合题意，故选C9设(x1,y1),(x2,y2)，(x3,y3)是变量x和y的n个样本

8、点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ） （A）x和y的相关系数为直线l的斜率 （B）x和y的相关系数在0到1之间（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 （D）直线l过点(x,y)【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断 【解】选D 10甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）（A）1151 （B） （C） （D） 963636【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件

9、（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有A6×A6（种）；最后一小时他们同在33A5×A5´61= 一个景点的情形有A×A´6（种），所以P=44A6×A66353544 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）lgxìï11设f(x)=íax+ò3t2dtï0îx>0x0，若f(f(1)=1，则a= 【分析】分段函数问题通常需要分布

10、进行计算或判断，从x=1算起是解答本题的突破口.【解】因为x=1>0，所以f(1)=lg1=0，又因为f(x)=x+所以f(0)=a，所以a=1，a=1【答案】112设nÎN+，一元二次方程x-4x+n=0有整数根的充要条件是n= 【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算【解】x=23òa03t2dt=x+a3， 3=2±，因为x是整数，即2±，验证可知n=3,4符合题意；反之n=3,4时，整数，且n4，又因为nÎN+，取n=1,2,3,4可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根 【答案】3或4 13观察

11、下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为 .【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论行数、项数及其变化规律是解答本题的关键【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n-1；等式右边都是完全平方数，行数 等号左边的项数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7 所以n+(n+1)+L+n+(2n-1)-1=(2n-1)，即n+(n+1)+L+(3n-2)=(2n-1)【答案】

12、n+(n+1)+L+(3n-2)=(2n-1)14植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题【解】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图）， 222 1 2 i 19 20那么各个树坑到第i个树坑距离的和是s=(i-1)´10+(i-2)´10+L+(i-i)´10+(i+1)-i´10+L+(20-i)´10=10´i&

13、#180;i-i(i+1)(20-i)(i+1+20)-i´(20-i)+ 22=10(i2-21i+210)，所以当i=10或11时，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10´(1+2+L+19)´2=10´19(1+19)´2=3800；树苗放在第210

14、个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10´(1+2+L+9)+10´(1+2+L+10)´2 =10´米. 9´(1+9)10´(1+10)´2+10´´2=900+1100=2000，所以路程总和最小为200022【答案】2000 15（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A（不等式选做题）若关于x的不等式|a|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数a的取值范围是 【分析】先确定|x+1|+|x-2|的取值范围，再使得a能取到此范围内的值即可【解】当x-1时，|x+1

15、|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+13；当-1<x2时，|x+1|+|x-2|=x+1-x+2=3；当x>2时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1>3；综上可得|x+1|+|x-2|3，所以只要|a|3，解得a-3或a3， 即实数a的取值范围是(-¥,-3U3,+¥)【答案】(-¥,-3U3,+¥)B（几何证明选做题）如图，B=D，AEBC，ÐACD=90，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE= 【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解【解】因为AEBC，所以AEB=

16、08;ACD=90，又因为B=D，所以AEBACD，所以所以AE=oo ACAD, =AEABAB×AC6´4=2，在RtAEB中，BE=AD12【答案】C（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：í则|AB|的最小值为 【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程【解】曲线C1的方程是(x-3)+(y-4)=1，曲线C2的方程是x+y=1，两圆外离，所以|AB|1-1=3【答案】3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16

17、（本小题满分12分）如图，在ABC中，ABC=60，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90（1）证明：平面ADB平面BDC； oooìx=3+cosq（q为参数）和曲线C2：r=1上，îy=4+sinq2222uuuruuur（2）设E为BC的中点，求AE与DB夹 角的余弦值【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解 【解】（1）折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后

18、， ADDC，ADDB，又DBIDC=D，AD平面BDC，ADÜ平面ABD，平面ABD平面BDC（2）由BDC=90及（1）知DA，DB，DC两两垂直，ouuuruuuruuur不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：),E(uuur13uuur所以AE=(,，DB=(1,0,0)，2213,0)，22uuuruuuruuuruuurAEgDBcos<AE,DB>=AE×DB1=22uuuruuur所以AE与DB17（本小题满分12分）如图，设是圆x+y=25上的动点，点是在x轴上投影，为P

19、D上一点，且|MD|=224|PD| 54的直线被C所截线段的长度 5（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为【分析】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算【解】（1）设点M的坐标是(x,y)，P的坐标是(xp,yp)，因为点是在x轴上投影，为PD上一点，且|MD|=2245|PD|，所以xp=x，且yp=y， 542x2y252P在圆x+y=25上，x+(y)=25，整理得+=1， 25164x2y2即C的

20、方程是+=1 2516（2）过点（3，0）且斜率为44的直线方程是y=(x-3)， 55设此直线与C的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)， x2y24+=1得： 将直线方程y=(x-3)代入C的方程25165x2(x-3)233+=1，化简得x2-3x-8=0，x1=，x2=， 222525所以线段AB的长度是|AB|=4141=，即所截线段的长度是 5518（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理【分析思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固【解】叙述:余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与

21、它们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB， c2=a2+b2-2abcosC.uuuruuuruuuruuuruuur-A证明：（证法一） 如图，c=BC =AC-AB·AC B2()()uuur2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2 =AC-2AC·AB+AB=AC-2AC·ABcosA+AB=b-2bccosA+c即 a=b+c-2bccosA同理可证 b=c+a-2cacosB，c=a+b-2abcosC（证法二）已知DABC中，A,

22、B,C所对边分别为a,b,c,，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(bcosA,bsinA),B(c,0)，a=|BC|=(bcosA-c)+(bsinA)=bcosA-2bccosA+c+bsinA 22222222222222222222=b2+c2-2bccosA，即 a=b+c-2bccosA同理可证 b=c+a-2cacosB，c=a+b-2abcosC 19（本小题满分12分）如图，从点P1（0，0）作x轴的垂线交曲线y=e于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1,Q1；x2222

23、22222P2,Q2；Pn,Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)（k=0,1,2,L,n）（1）试求xk与xk-1的关系（2剟kn）；（2）求|PQ11|+|PQ22|+|PQ33|+L+|PnQn|【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x轴的交点坐标；（2）尝试求出通项|PnQn| 的表达式，然后再求和【解】（1）设点Pk-1的坐标是(xk-1,0)，y=e，y¢=e，Qk-1(xk-1,exk-1xx)，在点Qk-1(xk-1,exk-1)处的切线方程是y-exk-1=exk-1(x-xk-1)， n）令y=0，则xk=xk-1-1（2剟k（2）x1=0，xk-xk

24、-1=-1，xk=-(k-1)，|PkQk|=exk=e-(k-1)，于是有-1-2-(k-1)|PQ+L+e11|+|PQ22|+|PQ33|+L+|PnQn|=1+e+e1-e-n =-11-ee-e1-n=， e-1e-e1-n即|PQ 11|+|PQ22|+|PQ33|+L+|PnQn|=e-1 20（本小题满分13分）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙

25、两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 . 【分析】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（2）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望【解】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”， Bi表示事件“甲选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1，2用频率估计相应的概率，则有：P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5；P(A1)>P(A2)，甲应选择路径L1；P(B1)=0.1+0.2+0.3

26、+0.2=0.8，P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9；P(B2)>P(B1)，乙应选择路径L2（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知P(A)=0.6，P(B)=0.9，又事件A，B相互独立，X的取值是0，1，2， P(X=0)=P(AB)=P(A)×P(B)=0.4´0.1=0.04，P(X=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.4´0.9+0.6´0.1=0.42P(X=2)=P(AB)=P(A)×P(B)=0.6´0.9=0.54，X的分布

27、列为EX=0´0.04+1´0.42+2´0.54=1.5 21（本小题满分14分）设函数f(x)定义在(0,+¥)上，f(1)=0，导函数f¢(x)=（1）求g(x)的单调区间和最小值；（2）讨论g(x)与g()的大小关系；（3）是否存在x0>0，使得|g(x)-g(x0)|<围；若不存在，请说明理由1，g(x)=f(x)+f¢(x) x1x1对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范x 【分析】（1）先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论【解】