《高中试卷》2018-2019学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）

1、2018-2019学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填答题卡相应位置上.1（5分）命题“对任意的xr，x210”的否定是 2（5分）已知命题p：多面体abcd为正三棱锥，命题q：多面体abcd为正四面体，则命题p是命题q的 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）3（5分）以x1为准线的抛物线的标准方程是 4（5分）鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是 推理（在“演绎”、“类比”、“归纳”中选一个合适的填空）5（5分）直线x+2y0与圆（x3）2+（y1）225

2、相交于a，b两点，则线段ab的长为 6（5分）函数f（x）sinx在，上的平均变化率是 7（5分）若双曲线c：1的焦距为8，点m（1，）在其渐近线上，则双曲线c的准线方程为 8（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x） 9（5分）现有一个底面半径为8cm，高为4cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 cm10（5分）已知e是自然对数的底数，n是自然数，函数f0（x），设fn+1（x）为fn（x）的导函数，f1（x）f0（x）'，f2（x）f1（x）'，f3（x）f2（x）'，根据以上结果，推断f2019（x） 11（

3、5分）设椭圆的右焦点为f1，右准线为l1，若过f1且垂直于x轴的弦长等于点f1到l1的距离，则椭圆的离心率是 12（5分）若方程a（x+2）有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是 13（5分）做一个正四棱柱形状容积为256m3的无盖水箱，则高为 m时，所用材料最省14（5分）若函数f（x），恰有两个不同零点，则实数a的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（14分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，平面pad平面abcd，apad，m，n分别为棱pd，pc的中点求证：（1）mn平面pab；（

4、2）am平面pcd16（14分）（1）已知ab0，m0，用分析法证明：；（2）已知实数a，b，c，d满足ac2（b+d），用反证法证明：方程x2+ax+b0与方程x2+cx+d0至少有一个方程有实根17（14分）已知函数f（x）x34x的定义域为3，4（1）求函数yf（x）的最大值和最小值；（2）试求函数yf（x）的零点个数18（16分）某小区边角有块空地，空地由半圆o和矩形efgh两部分组成，其中ef为半圆直径，长度为200米，矩形efgh的宽fg长度为100米开发商准备利用这块区域建一个矩形游泳池abcd，设计要求a，b在半圆周边界上，c，d在gh边界上，如图所示设aoe（1）求游泳池的面

5、积s关于的函数关系式；（2）试确定的值，使得游泳池的面积s最大，并求出最大值19（16分）如图，已知椭圆c：1（ab0）过点（0，1）和（1，），圆o：x2+y2b2直线ab与圆o相切，切点在第一象限内，且与椭圆c交于a，b两点（1）求椭圆c和圆o的标准方程；（2）若oab的面积为，求直线ab的方程；（3）设圆o与x轴正半轴的交点为d，求证：dab的周长为定值20（16分）已知函数f（x）ex，g（x）lnx，其中e为自然对数的底数（1）求函数yf（x）g（x）的图象在x1处的切线方程；（2）若对任意0x1x2，均有g（x2）g（x1）成立，求实数的取值范围；（3）设函数h（x）（x2）f（x

6、）+g（x）x，求证：对任意的x，h（x）3恒成立附加卷21（10分）求函数y3cos（2x）在x处的切线方程22（10分）已知定点a（2，0），点b是圆x2+y28x+120上一动点，求ab中点m的轨迹方程23（10分）已知n为正整数，请用数学归纳法证明：124（10分）如图，在四棱锥sabcd中，sd平面abcd，四边形abcd是直角梯形，adcdab90°，sdadab2，dc1（1）求二面角sbca的余弦值；（2）设p是棱bc上一点，e是sa的中点，若pe与平面sad所成角的正弦值为，求线段cp的长2018-2019学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题

7、解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填答题卡相应位置上.1（5分）命题“对任意的xr，x210”的否定是“存在xr，x210”【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“对任意的xr，x210”的否定是“存在xr，x210”故答案为：“存在xr，x210”2（5分）已知命题p：多面体abcd为正三棱锥，命题q：多面体abcd为正四面体，则命题p是命题q的必要不充分条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）【解答】解：底面是正三角形，且顶点在底面射影是底面三角形中心的三棱锥叫正三棱锥，侧棱和底面三角形

8、的边长不一定相等，二所有棱长都相等的三棱锥叫正四面体，则命题p是命题q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分3（5分）以x1为准线的抛物线的标准方程是y24x【解答】解：根据题意，要求抛物线的准线方程为x1，则抛物线的开口向左，且1，则抛物线的标准方程为：y24x；故答案为：y24x4（5分）鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是“类比”推理（在“演绎”、“类比”、“归纳”中选一个合适的填空）【解答】解：鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是“类比”推理故答案为：“类比”5（5分）直线x+2y0与圆（x3）2+（y1）225相交于a，b两点，则线段ab的长为【解答】解：圆（x3）2+（y1）2

9、25的圆心坐标为（3，1），半径为5圆心（3，1）到直线x+2y0的距离d，线段ab的长为2故答案为：46（5分）函数f（x）sinx在，上的平均变化率是【解答】解：函数f（x）sinx在，上的平均变化率为：故答案为：7（5分）若双曲线c：1的焦距为8，点m（1，）在其渐近线上，则双曲线c的准线方程为x±1【解答】解：根据题意，双曲线的焦距为8，即2c8，则c4，若点在其渐近线上，则双曲线的一条渐近线方程为yx，又由双曲线的方程为，则有，又由c4，则a2+b2c216，解可得a24，b212，则双曲线的方程为：，其中1，则其准线方程为x±1，故答案为：x±18（5

10、分）已知函数f（x）的导函数为f'（x）【解答】解：f（x），故答案为：9（5分）现有一个底面半径为8cm，高为4cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是4cm【解答】解：设铁球的半径是rcm，则v圆锥v球，即，解得：r4（cm）故答案为：410（5分）已知e是自然对数的底数，n是自然数，函数f0（x），设fn+1（x）为fn（x）的导函数，f1（x）f0（x）'，f2（x）f1（x）'，f3（x）f2（x）'，根据以上结果，推断f2019（x）【解答】解：f1（x）f0（x）'，f2（x）f1（x）'，

11、f3（x）f2（x）'，f4（x）f3（x）'，依此类推，fn（x）（1）n，f2019（x），故答案为：11（5分）设椭圆的右焦点为f1，右准线为l1，若过f1且垂直于x轴的弦长等于点f1到l1的距离，则椭圆的离心率是【解答】解：过f1且垂直于x轴的弦长等于 ，点f1到l1的距离为 c，由条件知， c，即 ，故答案为：12（5分）若方程a（x+2）有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是0，）【解答】解：画出函数y，与ya（x+2）的图象，即以o为圆心，1为半径的上半圆与恒过定点（2，0）的直线ya（x+2），如图：方程a（x+2）有两个不相等实数解，可得1，解得a（，），

12、结合图象可得：a0，）故答案为：0，）13（5分）做一个正四棱柱形状容积为256m3的无盖水箱，则高为4m时，所用材料最省【解答】解：设底边长为xm，（x0）由题意可得，高hm用料yx2+4xhx2x23192，当且仅当x2即x8时取等号故它的底边长为8，高为4时最省材料故答案为：414（5分）若函数f（x），恰有两个不同零点，则实数a的取值范围为a0或a【解答】解：当x0时，由f（x）2x+3x0得3x2x，由图象知此时方程3x2x有一个根，即此时函数f（x）有一个零点，若f（x）恰有两个不同零点，则等价为当x0时，函数f（x）axlnx有一个零点，由f（x）axlnx0得a，设g（x），则

13、函数的导数g（x），由g（x）0得1lnx0，得lnx1，得0xe，此时函数f（x）单调递增，由g（x）0得1lnx0，得lnx1，得xe，此时函数f（x）单调递减，即当xe时，函数f（x）取得极大值g（e），当x1时，0g（x），当0x1时，g（x）0，则g（x）的对应图象为，若a只有一个根，则a0或a，即实数a的取值范围是a0或a，故答案为：a0或a二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（14分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，平面pad平面abcd，apad，m，n分别为棱pd，pc的中点求证：（1

14、）mn平面pab；（2）am平面pcd【解答】证明：（1）因为m、n分别为pd、pc的中点，所以mndc，又因为底面abcd是矩形，所以abdc所以mnab，又ab平面pab，mn平面pab，所以mn平面pab（2）因为apad，p为pd的中点，所以ampd因为平面pad平面abcd，又平面pad平面abcdad，cdad，cd平面abcd，所以cd平面pad，又am平面pad，所以cdam因为cd、pd平面pcd，cdpdd，am平面pcd16（14分）（1）已知ab0，m0，用分析法证明：；（2）已知实数a，b，c，d满足ac2（b+d），用反证法证明：方程x2+ax+b0与方程x2+cx

15、+d0至少有一个方程有实根【解答】解：（1）要证明：成立，由于ab0，m0，则证明b（a+m）a（b+m），即证ab+bmab+am成立，即bmam成立，即ba成立即可，由条件知ba成立，则成立（2）反证法：假设结论不成立，即方程x2+ax+b0与方程x2+cx+d0都没有实根，则判别式满足1a24b0，2c24d0，则a2+c24d4b0，即4d+4ba2+c2，即4d+4ba2+c22ac，即2（b+d）ac，与条件ac2（b+d）矛盾，即假设不成立，则原命题成立17（14分）已知函数f（x）x34x的定义域为3，4（1）求函数yf（x）的最大值和最小值；（2）试求函数yf（x）的零点个数

16、【解答】解：（1）函数f（x）x34x的导数为f（x）x24，由f（x）0，可得x±2，由f（2），f（2）5，f（3），f（4），可得f（x）的最小值为5，最大值为；（2）由（1）可得f（x）在（2，2）递减；在（3，2），（2，4）递增，可得f（x）在x2处取得极大值0；f（x）在x2处取得极小值50，且f（3）0，f（4）0，可得f（x）在3，4的零点个数为218（16分）某小区边角有块空地，空地由半圆o和矩形efgh两部分组成，其中ef为半圆直径，长度为200米，矩形efgh的宽fg长度为100米开发商准备利用这块区域建一个矩形游泳池abcd，设计要求a，b在半圆周边界上，c

17、，d在gh边界上，如图所示设aoe（1）求游泳池的面积s关于的函数关系式；（2）试确定的值，使得游泳池的面积s最大，并求出最大值【解答】解：（1）由于ef200，则ao100，fg100，ad100sin+100100（sin+1），ab2×100cos200cos，s（）abad20000（sin+1）cos，0，（2）由（1）可得s（）20000（sincos+cos），设f（）sincos+cos，0，f（）cos2sin2sin2sin2sin+1（2sin1）（sin+1），令f（）0，解得sin，即，当0时，即0sin时，f（）0，函数f（）单调递增，当时，即sin1时，

18、f（）0，函数f（）单调递减，故当，f（）maxf（），smax200001500019（16分）如图，已知椭圆c：1（ab0）过点（0，1）和（1，），圆o：x2+y2b2直线ab与圆o相切，切点在第一象限内，且与椭圆c交于a，b两点（1）求椭圆c和圆o的标准方程；（2）若oab的面积为，求直线ab的方程；（3）设圆o与x轴正半轴的交点为d，求证：dab的周长为定值【解答】解：（1）将两点坐标代入椭圆c的方程可得，得，所以，椭圆c的标准方程为，圆o的标准方程为x2+y21；（2）由于oab的高为1，oab的面积为，得由题意可知，直线ab的斜率存在，设直线ab的方程为ykx+m，即kxy+m0

19、，则k0，由于直线ab与圆o相切，则，化简得m2k2+1，设点a（x1，y1）、b（x2，y2），将直线ab的方程与椭圆方程联立，消去y并化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m220，由韦达定理可得，所以，化简得4k4+4k230，即（2k21）（2k2+3）0，由于k0，解得，由于直线ab与圆的切点在第一象限，则m0，所以，因此，直线ab的方程为；（3）易知点d（1，0），设直线ab与圆o的切点为p（x0，y0），则x00，y00，且，由于点a（x1，y1），则，所以，且，同理可得，由勾股定理可得，同理可得，因此，abd的周长为|ad|+|bd|+|ap|+|bp|所以，dab的周长为定值

20、20（16分）已知函数f（x）ex，g（x）lnx，其中e为自然对数的底数（1）求函数yf（x）g（x）的图象在x1处的切线方程；（2）若对任意0x1x2，均有g（x2）g（x1）成立，求实数的取值范围；（3）设函数h（x）（x2）f（x）+g（x）x，求证：对任意的x，h（x）3恒成立【解答】解：（1）函数f（x）exlnx的导数为f（x）ex（lnx），可得f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为ke（ln1+1）e，切点为（1，0），即有f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y0e（x1），化简为yexe；（2）：由g（x2）g（x1）得：g（x1）g（x2），令h（x）g（x）f（x

21、）1lnx，（x0），依题意只需h（x）在（0，+）单调递增即可，h（x），只需ex+x0在（0，+）上恒成立即可，即，令m（x），（x0），m可得m（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，m（x）m（1）e，故e；（3）函数h（x）（x2）f（x）+g（x）x（x2）ex+lnxx，易得lnxx1，h（x）（x2）ex+lnxx（x2）ex1，令g（x）（x2）ex1，x，g（x）（x1）ex0g（x）在单调递减，g（x）g（）3，故对任意的x，h（x）3恒成立附加卷21（10分）求函数y3cos（2x）在x处的切线方程【解答】解：函数y3cos（2x），可得y6sin（2x），可得6x，可得y3cos（2）0，函数y3cos（2x）在x处的切线方程：y6（x）22（10分）已知定点a