数学建模复习

1、一一、 数数学模学模型基础知识型基础知识数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学表述数学表述. .建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据

2、对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律.将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型.机理分析没有统一的方法，主要通过机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析来学习。以下建模主要指机理分析. .二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数.1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤数学建模的

3、一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用数学模型的分类数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态、人口、交通、经济、生态、数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、初等数学、微分方程、规划、统计、表现特性表现特性描述、优化、预报、决策、描述、优化、预报、决策、建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续二二、 数学软件基础知识数学软件基础知识常用函数列表：常用函数列表：常用常用MATLABMATLAB命令

4、命令 利用利用size函数返回矩阵的行数和列数函数返回矩阵的行数和列数。 x = 1 2 3; 4 5 6 % 定义矩阵定义矩阵xx = 1 2 3 4 5 6 size(x) % 查看矩阵查看矩阵x的行数和列数的行数和列数ans = 2 3 m, n = size(x) % 返回矩阵返回矩阵x的行数的行数m和列数和列数nm = 2n = 3利用行标、列标和冒号运算符提取矩阵元素。利用行标、列标和冒号运算符提取矩阵元素。 x = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 % 定义一个定义一个3行行3列的矩阵列的矩阵xx = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y1 = x(1, 2) % 提取矩

5、阵提取矩阵x的第的第1行，第行，第2列的元素列的元素 y2 = x(2:3, 1:2) % 提取矩阵提取矩阵x的第的第2至至3行，第行，第1至至2列的元素列的元素 y3 = x(:, 1:2) % 提取矩阵提取矩阵x的第的第1至至2列的元素列的元素 y4 = x(1, :) % 提取矩阵提取矩阵x的第的第1行的元素行的元素特殊矩阵特殊矩阵 零矩阵：零矩阵：zeros 一矩阵：一矩阵：ones 单位阵：单位阵：eye 对角阵：对角阵：diag 随机阵：随机阵：rand 魔方阵：魔方阵：magic方阵的行列式。方阵的行列式。 A = 1 2; 3 4; % 定义矩阵定义矩阵A d1 = det(A

6、) % 求数值矩阵求数值矩阵A的行列式的行列式d1 = -2逆矩阵。逆矩阵。 A = 1 2; 3 4; % 定义矩阵定义矩阵A Ai = inv(A) % 求求A的逆矩阵的逆矩阵Ai = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.50002021-12-1方阵的特征值与特征向量。方阵的特征值与特征向量。 A = 5 0 4; 3 1 6; 0 2 3; % 定义矩阵定义矩阵A d = eig(A) % 求数值矩阵求数值矩阵A的特征值向量的特征值向量dd = -1.0000 3.0000 7.0000 V, D = eig(A) % 求特征值矩阵求特征值矩阵D与特征向量矩阵与特征向量矩

7、阵VV = -0.2857 0.8944 0.6667 -0.8571 0.0000 0.6667 0.4286 -0.4472 0.3333D = -1.0000 0 0 0 3.0000 0 0 0 7.00002021-12-1矩阵的迹和矩阵的秩。矩阵的迹和矩阵的秩。 A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; % 定义矩阵定义矩阵A t = trace(A) % 求矩阵的迹求矩阵的迹t = 15 r = rank(A) % 求矩阵的秩求矩阵的秩r = 2符号演算的符号演算的MATLAB命令命令 Matlab常用求极限命令常用求极限命令3401lim2xxx3lim2xx3lima

8、xa2lim()xxxx31052lim7xxxxx 求下列极限求下列极限syms xlimit(x3+1)/(x4+2)syms xlimit(x+2,3)syms x alimit(x+a,a,3)syms xlimit(sqrt(x2+x)-x,inf)syms x limit(5*x3+2*x)/(x10+x+7),x,-inf)微积分微积分求求 的的1阶和阶和10阶导数阶导数tan xsyms xf1 = diff(tan(x)；f2 = diff(tan(x),10)求下列积分求下列积分3 secyxdy32xdxsyms y xint(3*y*sec(x),y)syms xint

9、(x,2,3)0 xe dxsyms xint(exp(-x),0,inf)2 5xy z dxdydzsyms x y zint(int(int(x*y2*z5,x),y),z)24212x ydxdy syms x y int(int(x3*y,x,2,4),y,1,2)MATLAB绘图命令绘图命令 loglog函数：双对数坐标绘图函数：双对数坐标绘图 x = logspace(-1,2); loglog(x,exp(x),-s) grid on% 为为X轴，轴，Y轴加标签轴加标签 xlabel(X); ylabel(Y); polar函数：极坐标绘图函数：极坐标绘图 t = 0 : 0.

10、01 : 2*pi; polar(t, sin(2*t).*cos(2*t),-r) plotyy函数：双纵坐标绘图函数：双纵坐标绘图 x = 0:0.01:20; % 定义横坐标向量定义横坐标向量 y1 = 200*exp(-0.05*x).*sin(x); % 纵坐标向量纵坐标向量 y2 = 0.8*exp(-0.5*x).*sin(10*x); % 纵坐标向量纵坐标向量 ax = plotyy(x,y1,x,y2,plot); xlabel(X); set(get(ax(1),Ylabel),string,Left Y); % 左左Y轴标签轴标签 set(get(ax(2),Ylabel

11、),string,Right Y); % 右右Y轴标签轴标签双纵坐标绘图双纵坐标绘图 t = linspace(0, 10*pi, 300); %产生一个行向量产生一个行向量 plot3(20*sin(t), 20*cos(t), t, r, linewidth, 2); %绘制螺旋线绘制螺旋线 hold on %图形保持图形保持 quiver3(0,0,0,1,0,0,25,k,filled,LineWidth,2); %添加箭头作为添加箭头作为x轴轴 quiver3(0,0,0,0,1,0,25,k,filled,LineWidth,2); %添加箭头作为添加箭头作为y轴轴 quiver3

12、(0,0,0,0,0,1,40,k,filled,LineWidth,2); %添加箭头作为添加箭头作为z轴轴 grid on %添加网格添加网格 xlabel(X); ylabel(Y); zlabel(Z); %添加坐标轴标签添加坐标轴标签 axis(-25 25 -25 25 0 40); %设置坐标轴范围设置坐标轴范围 view(-210,30); %设置视角设置视角用用plot3函数绘制三维螺旋线。函数绘制三维螺旋线。 x,y=meshgrid(0:0.25:4*pi); z=sin(x+sin(y)-x/10; mesh(x,y,z); axis(0 4*pi 0 4*pi -2.

13、5 1);绘制三维曲面图绘制三维曲面图z=sin(x+sin(y)-x/10。05100510-2.5-2-1.5-1-0.500.51 ezsurf(u*sin(v),u*cos(v), 4*v,-2*pi,2*pi,-2*pi,2*pi)调调用用ezsurf函数绘制螺面函数绘制螺面sincos4xuvyuvzv数学软件编程语言数学软件编程语言 x1=linspace(0,2*pi,100); x2=linspace(0,3*pi,100); x3=linspace(0,4*pi,100); y1=sin(x1); y2=1+sin(x2); y3=2+sin(x3); x=x1;x2;x3

14、; y=y1;y2;y3; plot(x,y,x1,y1-1,r-*)02468101214-2-1.5-1-0.500.511.522.53x1,y1-1x,y三列三列2021-12-1% 程序程序1：y = 0;for i = 1:inf y = y + i2; if y 2000 break; %跳出循环跳出循环 endendn = i - 1 y = y - i2n = 17y = 1785% 程序程序2y = 0;i = 0;while y =2000 i = i + 1; y = y + i2;endn = i-1 y = y-i2 某工厂有两条生产线，分别用来生产某工厂有两条生产

15、线，分别用来生产M M和和P P两种型号的产品，利润分别为两种型号的产品，利润分别为200200元元/ /个和个和300300元元/ /个，生产线的最大生产能力分别为每日个，生产线的最大生产能力分别为每日100100和和120120，每生产一个每生产一个M M产品需要产品需要1 1个劳动日（个劳动日（1 1个工人工作个工人工作8 8小时称为一个劳动小时称为一个劳动日），而每个日），而每个P P产品需要产品需要2 2个劳动日，该厂工人每天共计能提供个劳动日，该厂工人每天共计能提供160160劳劳动日，假如原材料等其他条件不受限制，问应如何安排生产计划，才动日，假如原材料等其他条件不受限制，问应如

16、何安排生产计划，才能使获得的利润最大？能使获得的利润最大？建立模型建立模型121212max200300100120. .21600,1,2izxxxxstxxxi模型求解模型求解 在在Model窗口输入以下模型窗口输入以下模型 MAX = 200*X1+300*X2; X1=100; X2=200; X1+2*X2 p2/n2 ，定义定义 公平的席位分配公平的席位分配, 2 , 1,)1(2innpQiiii 定义定义该席给该席给Q值值较大的一方较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法minnpQiiii,2 , 1,)1(2计算，y

17、xp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质： 单调减单调减(x增加增加, y减小减小) 下凸下凸(凸向原点凸向原点) 互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y。甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线） 实物交换模型实物交换模型ABp交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩

18、矩形内任一点形内任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交等价交换原则换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换用货币衡量其价值，设交换前前x0,y0价值相同，则等价交换原价值相同，则等价交换原则下交换路径为则下交换路径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线两点的连线CDAB与与CD的的交点交点p设设X单价单价a, Y单价单价b, 则等价交换下则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.x军军备备竞竞赛赛模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方有乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹

19、数枚导弹，甲方所需的最少导弹数当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线 商商人安人安全过全过河模型河模型问题问题( (智力游戏智力游戏) ) 3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,

20、 , 在河的任在河的任一岸一岸, , 一旦随从的人数一旦随从的人数比商人多比商人多, , 就杀人越货就杀人越货. .乘船渡河的方案由商人决定乘船渡河的方案由商人决定. .商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人员船上的人员. .要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有限步使全体人员过河经有限步使全体人员过河. .河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S,

21、 并按并按转移律转移律 sk+1=sk+(-1)kdk 由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).模型求解模型求解S=(x , y) x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2 穷举法穷举法 编程上机编程上机xy3322110状态状态s=(x,y) 16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ,d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案d1d11允许状态允许状态 图解法图解法 存贮模型存贮模型模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数

22、 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用221QTccC每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化Tdttqc02)(一周期贮存费为一周期贮存费为A2221rTcc rTQ =QT/222QTc模型求解模型求解MinrTcTcTC2)(21求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型解释模型解释QTc,1QTc,2QTr,定性分析定性分析敏感性分析敏感性分析参数参数c1,c2, r的微小变化对的微小变化对T,Q的影响的影响T对对c1的的(相相对对)敏感度敏感度 111/),(ccTTcTSTccT11dd21c1增加增加1%, T增加增加0.5%S(T,c2)=-1/2, S(T,r)=-1/2c2或或r增加增加1%, T减少减少0.5%层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1）建立