《高中试卷》2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷

1、2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）已知ab，cd，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）aadbcbacbdcacbdda+cb+d2（3分）命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）a若x21，则x1且x1b若1x1，则x21c若x1或x1，则x21d若x1或x1，则x213（3分）“a4”是“直线ax+2y0与直线2x+y1平行”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4（3分）已知m，n是两条不同的直线

2、，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn其中正确命题的个数为（）a1b2c3d45（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）abcd6（3分）如图，已知三棱锥dabc，记二面角cabd的平面角是，直线da与平面abc所成的角是1，直线da与bc所成的角是2，则其中正确的是（）a1b1c2d27（3分）若不等式|xa2|+|x2a|a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是

3、（）aa1或a3ba1ca2da2或a38（3分）已知过定点p（2，0）的直线l与曲线相交于a，b两点，o为坐标原点，当aob的面积最大时，直线l的倾斜角为（）a150°b135°c120°d30°9（3分）如图，棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e为cc1的中点，点p，q分别为面a1b1c1d1和线段b1c上动点，则peq周长的最小值为（）a2bcd10（3分）已知f1，f2是椭圆和双曲线的公共焦点，p是它们的一个公共点且f1pf2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）abc3d2二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分11（

4、4分）若x2+y2+2x+y0表示圆方程，则a的取值范围是 12（4分）若x，y满足约束条件，则x+3y的最大值为 13（4分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为 14（4分）如图，p是二面角ab棱ab上的一点，分别在，上引射线pm，pn，如果bpmbpn45°，mpn60°，那么二面角ab的大小是 15（4分）设双曲线x21的左，右焦点分别为f1，f2若点p在双曲线上，且f1pf2为钝角三角形，则|pf1|+|pf2|的取值范围是 16（4分）已知实数若x，y满足xy0且x+y2，则的最小值是 17（4分）在平面直角坐标系中，定义两点p1（x1，y1

5、），p2（x2，y2）间的“l距离”为|p1p2|x1x2|+|y1y2|，则平面内与a（1，1），b（1，1），c（1，1），d（1，1）的“l距离”之和等于10的点轨迹长为 三、解答题（本大题共4小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18（8分）如图，已知圆o：x2+y24，过点p（1，0）的直线l交圆o于a，b两点（）若直线l斜率为1，求弦长|ab|；（）若以oa，ob为邻边，作菱形oacb，求点c的轨迹方程19（10分）如图，设抛物线y22px（p0）的焦点为f，抛物线上的点a到y轴的距离为|af|1（）求p的值；（）已知b，c为抛物线上的动点，且0，直线bc与x轴

6、交于点p，求|pc|pb|的最小值20（12分）如图1，2，在矩形abcd中，已知ab2，ad3，点e，f分别在ad，cd上，且aecf1，将四边形abce沿ec折起，使点b在平面cde上的射影h在直线de上（）求证：cdbe；（）求证：hf平面abce；（）求直线ac与平面cde所成角的正弦值21（12分）已知椭圆c：1（ab0），点p（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m0与椭圆c交于a，b两点，且线段ab被直线op平分（）求椭圆c方程；（）设q（0x1）是抛物线c1：x2y上动点，过点q作抛物线c1的切线交椭圆于m，n，求omn的面积的最大值2017-2018学年浙江省杭州市西

7、湖区学军中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）已知ab，cd，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）aadbcbacbdcacbdda+cb+d【解答】解：令a2，b2，c3，d6，则2×3（5）（6）30，可排除a2×（6）（2）×3可排除b；23（2）（6）4可排除c，ab，cd，a+cb+d（不等式的加法性质）正确故选：d2（3分）命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）a若x21，则x1且x1b若1x1，则x21c若x1或x1，

8、则x21d若x1或x1，则x21【解答】解：根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：若x1，或x1，则x21故选：d3（3分）“a4”是“直线ax+2y0与直线2x+y1平行”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【解答】解：由直线ax+2y0与直线2x+y1平行，解得a4a4”是“直线ax+2y0与直线2x+y1平行”的充要条件故选：c4（3分）已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn其中正确命题的个数为（）a1b2c3d4【解答】解：m，mn，n或n，又n，成

9、立若m，mn，则n或n与相交，不一定平行，错误若m，mn，则n或n，若n，则不一定平行，错误若m，m，又n，mn成立，正确故选：b5（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）abcd【解答】解：满足条件的四面体如右图，依题意投影到yoz平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故选：b6（3分）如图，已知三棱锥dabc，记二面角cabd的平面角是，直线da与平面abc所成的角是1，直线da与bc所成的角是2，则其中正

10、确的是（）a1b1c2d2【解答】解：设三棱锥dabc是棱长为2的正四面体，取ab中点e，dc中点m，ac中点m，连结de、ce、mn、en，过d作doce，交ce于o，连结ao，则dec，dao1，mne2，dece，dc2，cos，aoco，cos1，取bc中点e，连结de、ae，则debc，aebc，又deaee，bc平面aed，bcad，290°21故选：a7（3分）若不等式|xa2|+|x2a|a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）aa1或a3ba1ca2da2或a3【解答】解：不等式|xa2|+|x2a|a对任意实数x恒成立，可得a|xa2|+|x2a|的最小值，

11、由|xa2|+|x2a|xa2x+2a|a22a|，当且仅当（xa2）（x2a）0，取得等号，则|a22a|a，即为a22aa或a22aa，解得a3或a1，故选：a8（3分）已知过定点p（2，0）的直线l与曲线相交于a，b两点，o为坐标原点，当aob的面积最大时，直线l的倾斜角为（）a150°b135°c120°d30°【解答】解：曲线y为圆x2+y22的上半圆，由题意可得aob的面积soaobsinaobsinaobsinaob，当sinaob1即aob90°时，aob的面积取到最大值，此时在rtaob中易得o到直线l的距离od1，在rtpo

12、d中，易得sinopd，可得opd30°，直线l的倾斜角为150°故选：a9（3分）如图，棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e为cc1的中点，点p，q分别为面a1b1c1d1和线段b1c上动点，则peq周长的最小值为（）a2bcd【解答】解：由题意得：peq周长取最小值时，p在b1c1上，在平面b1c1cb上，设e关于b1c的对称点为m，关于b1c1的对称点为n，连结mn，当mn与b1c1的交点为p，mn与b1c的交点为m时，则mn是peq周长的最小值，em2，en，men135°，mnpeq周长的最小值为故选：b10（3分）已知f1，f2是椭圆和双曲线

13、的公共焦点，p是它们的一个公共点且f1pf2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）abc3d2【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（aa1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|pf1|r1，|pf2|r2，|f1f2|2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2f1pf2，由余弦定理可得4c2（r1）2+（r2）22r1r2cos，在椭圆中，化简为即4c24a23r1r2，即，在双曲线中，化简为即4c24a12+r1r2，即，联立得，4，由柯西不等式得（1）（）（1）2，即（）即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1a2

14、），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|pf1|r1，|pf2|r2，|f1f2|2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2f1pf2，由余弦定理可得4c2（r1）2+（r2）22r1r2cos（r1）2+（r2）2r1r2，由，得，令m，当时，即的最大值为，法3：设|pf1|m，|pf2|n，则，则a1+a2m，则，由正弦定理得，即sin（120°）故选：a二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分11（4分）若x2+y2+2x+y0表示圆方程，则a的取值范围是（，0）（，+）【解答】解：根据题意，若x2+y2+2x+y0表示圆方程，则有4+140，即0，解可得：a0或a

15、，即a的取值范围为：（，0）（，+）；故答案为：（，0）（，+）12（4分）若x，y满足约束条件，则x+3y的最大值为15【解答】解：由已知约束条件得到可行域如图：由zx+3y得到y，当此直线经过图中b时，在y轴的截距最大，由，解得b（3，4），所以z 的最大值为3+1215；故答案为：1513（4分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为25【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，长方体底面边长为2则长方体外接球半径为r，则2r5r长方体外接球的表面积s4r225故答案为：2514（4分）如图，p是二面角ab棱ab上的一点，分别在，上引射线pm，p

16、n，如果bpmbpn45°，mpn60°，那么二面角ab的大小是90°【解答】解：过ab上一点q分别在，内做ab的垂线，交pm，pn于m点和n点则mqn即为二面角ab的平面角，如下图所示：设pqa，则bpmbpn45°qmqnapmpna又由mpn60°，易得pmn为等边三角形则mna解三角形qmn易得mqn90°故答案为：90°15（4分）设双曲线x21的左，右焦点分别为f1，f2若点p在双曲线上，且f1pf2为钝角三角形，则|pf1|+|pf2|的取值范围是（4，2）（8，+）【解答】解：由双曲线x21，得a21，b23

17、，c2，不妨以p在双曲线右支为例，当pf2x轴时，把x2代入x21，得y±3，即|pf2|3，此时|pf1|pf2|+25，则|pf1|+|pf2|8；由pf1pf2，得|pf1|2+|pf2|2|f1f2|24c216，又|pf1|pf2|2，两边平方得：|pf1|2+|pf2|22|pf1|pf2|4，|pf1|pf2|6，联立解得：|pf1|1，|pf2|1，此时|pf1|+|pf2|2，且|pf1|+|pf2|2c4，由如图可知，使f1pf2为钝角三角形的|pf1|+|pf2|的取值范围是（4，2）（8，+）故答案为：（4，2）（8，+）16（4分）已知实数若x，y满足xy0

18、且x+y2，则的最小值是【解答】解：根据题意，实数满足xy0且x+y2，则（）（x+3y）+（xy）（）（5）（5+4），当且仅当（x+3y）2（xy）即x，y时等号成立，则的最小值是；故答案为：17（4分）在平面直角坐标系中，定义两点p1（x1，y1），p2（x2，y2）间的“l距离”为|p1p2|x1x2|+|y1y2|，则平面内与a（1，1），b（1，1），c（1，1），d（1，1）的“l距离”之和等于10的点轨迹长为8+2【解答】解：设动点的坐标为（x，y），由平面内动点与a（1，1），b（1，1），c（1，1），d（1，1）的“l距离”之和等于10，可得|x1|+|y1|+|x+1|

19、+|y1|+|x+1|y+1|+|x1|+|y+1|10，化为|x+1|+|x1|+|y+1|+|y1|5，讨论可得x1，y1时，方程化为x+y2.5；x1，1y1时，即有x1.5；x1，y1，即有xy2.5；1x1，y1时，方程化为y1.5；1x1，1y1时，方程不成立；1x1，y1，即有y1.5；x1，y1时，方程化为x+y2.5；x1，1y1时，即有x1.5；x1，y1，即有xy2.5作出动点的轨迹可得：轨迹的长度为2×448+2，故答案为：8+2三、解答题（本大题共4小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18（8分）如图，已知圆o：x2+y24，过点p（1

20、，0）的直线l交圆o于a，b两点（）若直线l斜率为1，求弦长|ab|；（）若以oa，ob为邻边，作菱形oacb，求点c的轨迹方程【解答】解：（）圆o：x2+y24，过点p（1，0）的直线l交圆o于a，b两点，直线l斜率为1，直线l的方程为yx1，即xy10，圆心o（0，0）到直线的距离d，弦长|ab|2（）以oa，ob为邻边，作菱形oacb，oaob2，点p（1，0），op1，连结oc，pc，由菱形的性质得：aboc，oppc1，点c的轨迹是以p（1，0）为圆心，以r1为半径的圆，且c与圆点o不重合，点c的轨迹方程为：（x1）2+y21，（x0）19（10分）如图，设抛物线y22px（p0）的

21、焦点为f，抛物线上的点a到y轴的距离为|af|1（）求p的值；（）已知b，c为抛物线上的动点，且0，直线bc与x轴交于点p，求|pc|pb|的最小值【解答】解：（）抛物线y22px（p0）的焦点为f，抛物线上的点a到y轴的距离为|af|1，1，解得p2（3分）（）由（）可知，抛物线方程为y24x，设直线cb的方程为：xmy+t，c（，y1），b（），直线与抛物线联立：，得：y24my4t0，则y1+y24m，y1y24t，（5分），kockob1，则t4，直线cb过定点（4，0），即p点坐标为（4，0），（7分）（）+16+y1y216m216，|16m2+1616，当且仅当m0时，|pc|pb|取最小值16（10分）20（12分）如图1，2，在矩形abcd中，已知ab2，ad3，点e，f分别在ad，cd上，且aecf1，将四边形abce沿ec折起，使点b在平面cde上的射影h在直线de上（）求证：cdbe；（）求证：hf平面abce；（）求直线ac与平面cde所成角的正弦值【解答】证明：（）bh平面cde，bhcd，又cdde，bhdeh，cd平面dbe，be平面dbe，cdbe（4分）