2022年2022年函数的基本性质教案

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载我的函数的基本性质教案1. .函数的单调性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 设 x1x2a、b 、 x1x2 那么精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx f x f x 0f x1 f x2 0f x在a、b上为增函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1212x1x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx f x f x 0f x1 f x2 0f x在a 、b上为减函数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1212x1x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2)

2、 设函数yf x在某个区间内可导,假如f x0 ,就f x为增函数；假如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x0 ,就f x 为减函数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：假如函数f x 和g x都为减函数 、 就在公共定义域内、 和函数f xg x 也为减精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函 数 ; 如 果 函 数 yf u 和 ug x在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 为 减 函 数 、 就 复 合 函 数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yf g x 为增函数 .2. 奇偶函数的图象特点函数奇偶性的判定奇函数的图象关于原点对称,

3、偶函数的图象关于y 轴对称 ;反过来,假如一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数；假如一个函数的图象关于y 轴对称, 那么这个函数为偶函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：如函数yf x 为偶函数,就f xaf xa ；如函数yf xa 为偶精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数,就f xa f xa .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：对于函数yf x xr 、f xa f bx 恒成立 、 就函数f x 的对称轴为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数 xab; 两个函数y2f xa 与 yf bx的图象关于直线xab 2a

4、对称 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注 ： 如f xf xa) 、 就 函 数yf x的 图 象 关 于 点、02对 称 ; 如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xf xa) 、 就函数yf x 为周期为2a 的周期函数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 多项式函数p xa xnaxn 1a 的奇偶性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载多项式函数多项式函数nnp x 为奇函数p x 为偶函数10px 的偶次项 即奇数项 的系数全为零.px

5、的奇次项 即偶数项 的系数全为零.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载23. 函数 yf x 的图象的对称性1 函 数 yf x 的图象关于直线xa 对称f axf axf 2 axf x .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 函数yf x 的图象关于直线xab 对称2f amxf bmx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f abmxf mx .4. 两个函数图象的对称性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 函数yf x 与函数yf x 的图象关于直线x0 即 y 轴 对称 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 函数yf m

6、xa 与函数yf bmx 的图象关于直线xab对称 .2 m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 函数 yf x 和 yf1 x的图象关于直线y=x 对称 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载25. 如将函数yf x 的图象右移a .上移 b 个单位,得到函数yf xa b 的图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载象；如将曲线象.f x、 y0 的图象右移a .上移 b 个单位, 得到曲线f xa、 yb 0 的图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 互为反函数的两个函数的关系精品

7、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f abf1 ba .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载27. 如 函 数 yf kxb) 存 在 反 函 数 、 就 其 反 函 数 为 y1 f k1 xb 、 并 不 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y f1 kxb 、 而函数 y f1 kxb 为 y1 f x kb 的反函数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6. 几个常见的函数方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 正比例函数f xcx 、f xyf xf y、f 1c .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 指数

8、函数f xa x 、f xyf xf y、f 1a0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 对数函数f xlog a x 、f xyf xf y、f a1a0、 a1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(4) 幂函数f xx、fxy f x f y、f ' 1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(5) 余弦函数f xcos x 、 正弦函数g xsin x ,f xyf x f yg xg y ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 01、limg x1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0x7. 几个函数方程的周

9、期商定 a>0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）f xf xa ,就f x 的周期 t=a；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）f xf xa 0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或 f xa 1 f f xx0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或 f xa 11f x2 f x0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或f x2f xf xa 、f x0、1 、 就f x 的周期 t=2a；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3f x11f x f xa0) ,就f x 的周期 t=3a；精品学习资

10、料精选学习资料 - - - 欢迎下载(4) f xx f x1 f x2 且 f a 1 f x f x1、0| xx|2a ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载121f x1f x2 1212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x 的周期 t=4a；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(5) f xf xaf x2a f x3af x4a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x f xa f x2a f x3a f x4a 、 就f x 的周期 t=5a；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(6) f xaf xf xa) ,就f

11、x 的周期 t=6a.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8. 分数指数幂m1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) a nm（ an am0、 m、 nn,且 n1 ） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) an1m （ aa n0、 m、 nn ,且 n1 ） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载9. 根式的性质（ 1） n a na .n（ 2）当 n 为奇数时,n aa ；nna、 a0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 n 为偶数时,a| a |.a、 a0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

12、载10. 有理指数幂的运算性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) a ra sa r s a0、 r 、 sq .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) a r sa rs a0、 r 、 sq .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) ab rar br a0、 b0、 rq .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：如 a 0, p 为一个无理数,就ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.33. 指数式与对数式的互化式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载blog a nba34. 对数的换底

13、公式n a0、 a1、 n0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载loga nlog m n a0 、 且 a1、 m0 、 且 m1、n0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载log m a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an推论log m bn logb aam0、 且 a1 、 m、 n0 、 且 m1、 n1 、n0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11. 对数的四就运算法就如 a0, a 1, m 0, n 0,就(1) log a mn log a mlog a n ;(2) logmlogmlogn ;aaan精品学习资料精选学习

14、资料 - - - 欢迎下载(3) logm nn logm nr .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：设函数f xlog m axbxc a0 、 记b 24ac . 如f x的定义域为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载r 、 就 a0 ,且0 ; 如f x的值域为r 、 就 a0 ,且0 . 对于 a0 的情形 、 需要精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载单独检验 .12. 对数换底不等式及其推论精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 a0 、 b0、 x0 、 x1、 就函数 yalog a

15、x bx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 当 ab时 、 在 0、 1 和 1 、 上 ylog ax bx 为增函数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a22当 ab 时、 在 0、 1 aa和 1 、 上 y alog ax bx 为减函数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推论 :设 nm1, p0 , a0 ,且 a1 ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） log m p nplog m n .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） logm lognlog2

16、 mn.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aaa2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载四典例解析题型一：判定函数的奇偶性例 1 争论下述函数的奇偶性：解：（ 1）函数定义域为r ,f x为偶函数；（另解）先化简：,明显为偶函数；从这可以看出,化简后再解决要简洁得多；（ 2）必要分两段争论：设设当 x=0 时 fx=0,也满意f x= fx；由.知,对x r 有 f x =fx, fx为奇函数；（ 3）,函数的定义域为, fx=log 21=0 x=±1 ,即 fx 的图象由两个点a（ 1, 0）与 b（ 1,0）组成,这两点既关于y 轴对称,又关

17、于原点对称,fx既为奇函数,又为偶函数；（ 4） x2 a2、 要分 a >0 与 a <0 两类争论,当 a >0 时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载,当 a >0 时, fx为奇函数；既不为奇函数,也不为偶函数.点评： 判定函数的奇偶性为比较基本的问题,难度不大, 解决问题时应先考察函数的定义域, 如函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必需为等价变换过程（要保证定 义域不变）；例 22002 天津文 .16设函数 f（x）在（ ,+）内有定义,以下函数：y= |f（x） |； y=xf（ x2）； y= f（ x）； y=f（

18、 x） f（ x）；必为奇函数的有 （要求填写正确答案的序号）答案：；解析：y=（ x） f（ x） 2 = xf（ x2） = y； y=f（ x） f（x） =y；点评：该题考察了判定抽象函数奇偶性的问题；对同学规律思维才能有较高的要求；题型二：奇偶性的应用例 3（2002 上海春, 4）设 f（ x）为定义在r 上的奇函数,如当x0时, f（x）=lo g3（1+ x）,就 f（ 2） = _；答案： 1；解：由于x0时, f（ x） =lo g3（ 1+x）,又 f（ x）为奇函数,所以f（ x）=f（ x）,设 x0,所以 f（ x）= f（ x）= f（ 1 x）,所以f（ 2）=

19、 log33= 1；点评： 该题考察函数奇偶性的应用；解题思路为利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值；例 4已知定义在r 上的函数y= f x满意 f 2+x= f2 x,且 fx为偶函数,当x 0 ,2 时, fx=2x 1,求 x 4,0 时 f x的表达式；解：由条件可以看出,应将区间 4, 0 分成两段考虑：如 x 2, 0 , x0 , 2 , fx为偶函数,当 x 2, 0 时, fx= f x= 2x 1、如 x 4, 2, 4+ x0 , 2, f2+ x+ f 2 x, fx= f4 x, fx= f x= f4 （ x） = f4+ x=2 （ x+4） 1=2

20、x+7；综上,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载点评：结合函数的数字特点,借助函数的奇偶性,处理函数的解析式；题型三：判定证明函数的单调性例 5 （ 2001 天津, 19）设,为上的偶函数；（ 1）求的值；（ 2）证明在上为增函数；解：（ 1）依题意,对一切,有,即；对一切成立,就,；（2） 定义法 设,就,由,得,即（导数法）,在上为增函数；在上为增函数点评：此题用了两种方法：定义法和导数法,相比之下导数法比定义法更为简洁；例 6已知 fx为定义在 r 上的增函数, 对 x r 有 fx>0,且 f5=1 ,设 fx= f x+,争论 f x的单调性,并证

21、明你的结论；解：这为抽角函数的单调性问题,应当用单调性定义解决；在 r 上任取 x1.x2,设 x1<x2 , fx2= fx1,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载 fx为 r 上的增函数,且f10=1 ,当 x<10 时 0< fx<1、 而当 x>10 时 f x>1; 如 x1<x2<5, 就 0<fx1<fx2<1、 0< fx1 fx2<1、<0、 f x2< f x1；如 x2 >x1>5,就 fx2> fx1>1 、 fx1fx2>1

22、、>0、 f x2> f x1；综上, f x在（ , 5）为减函数,在（5, +）为增函数；点评：该题属于判定抽象函数的单调性；抽象函数问题为函数学习中一类比较特别的问题,其基本才能为变量代换.换元等,应娴熟把握它们的这些特点；题型四：函数的单调区间例 7（ 2001 春季北京.安徽,12）设函数 f （ x）（ a b0）,求 f（ x）的单调区间,并证明f（ x）在其单调区间上的单调性；.解：在定义域内任取x1 x2, f（ x1） f（ x2）, a b 0, b a 0,x1 x20,只有当 x1x2 b 或 b x1 x2 时函数才单调当 x1 x2 b 或 b x1

23、x2 时 f（ x1） f（ x2） 0 f（ x）在（ b, ）上为单调减函数,在（, b）上为单调减函数点评：本小题主要考查了函数单调性的基本学问；对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间；例 8 （1）求函数的单调区间；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（ 2）已知如试确定的单调区间和单调性；解：（ 1）函数的定义域为,分解基本函数为.明显在上为单调递减的,而在上分别为单调递减和单调递增的；依据复合函数的单调性的规章：所以函数在上分别单调递增.单调递减；（ 2）解法一：函数的定义域为r,分解基本函数为和；明显在上为单调递减的,上单调递增；而在上 分

24、 别 为 单 调 递 增 和 单 调 递 减 的 ； 且,依据复合函数的单调性的规章：所以函数的单调增区间为；单调减区间为；解法二：,令,得或,令,或单调增区间为；单调减区间为；点评：该题考察了复合函数的单调性；要记住“同向增.异向减”的规章；题型五：单调性的应用例 9 已知偶函数f x在0 ,+上为增函数,且f2=0 ,解不等式f log 2x2+5x+4 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0；解： f2=0、 原不等式可化为f log 2x2+5x +4 f2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 fx为偶函数,且f x在0, +上为增函数,f x在 、0上为减函数

25、且f 2=f 2=0 ；不等式可化为log2x2 +5x+4 2 或log 2x2+5x+4 2由得 x2+5x+44, x 5 或 x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载由得 0x2 +5x+4得x 4 或 1 x由得原不等式的解集为 x|x 5 或x 4 或 1 x或 x0；例 10已知奇函数fx的定义域为r ,且 fx在 0, +上为增函数,为否存在实数 m,使 fcos2 3+f4m 2mcos>f0 对全部 0、都成立？如存在,求出符合条件的全部实数m 的范畴,如不存在,说明理由；解： fx为 r 上的奇函数,且在0, +上为增函数, fx为 r 上

26、的增函数,于为不等式可等价地转化为fcos23> f2mcos 4m,即 cos2 3>2 mcos 4m、即 cos2mcos+2 m 2>0；设 t=cos、就问题等价地转化为函数gt=t2 mt+2m 2= t2 +2m2 在 0,1上的值恒为正,又转化为函数gt在 0,1上的最小值为正；当<0、 即 m<0 时, g0=2 m 2>0m>1 与 m<0 不符；当 01时,即 0m2时, gm=+2m 2>04 2<m<4+2, 4 2<m2当>1、即 m>2 时, g1= m 1>0m>1；

27、m>2综上,符合题目要求的m 的值存在,其取值范畴为m>4 2；另法 仅限当 m 能够解出的情形： cos2 mcos+2m 2>0 对于 0、恒成立,等价于 m>2 cos2/2 cos 对于 0、恒成立精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载当 0、时, 2 cos2/2 cos42, m>4 2；点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题；题型六：最值问题例 11 （ 2002 全国理, 21）设 a 为实数,函数f（ x） =x2+|x a|+1, xr ；（ 1）争论 f（ x）的奇偶性；（2）求 f（ x

28、）的最小值；解：（ 1）当 a=0 时,函数f（ x） =（ x） 2+| x|+1=f（ x）,此时f（ x）为偶函数；当 a0时, f（ a） =a2+1, f（ a）=a2+2|a|+1, f（ a）f（ a）, f（ a） f （ a）；此时函数 f（ x）既不为奇函数,也不为偶函数；（ 2）当 xa 时,函数f（x） =x2 x+a+1= （x） 2+a+；+1；如 a,就函数 f（ x）在（ ,a）上单调递减,从而,函数f（ x）在（ , a）上的最小值为f （a） =a2如 a,就函数f（ x）在（ , a上的最小值为f（） =+a,且 f（）f（ a）；当 xa 时,函数f（

29、x） =x2+x a+1=（ x+） 2 a+；如 a,就函数f（ x）在 a, + 上的最小值为f（） = a,且 f（）f（ a）；如 a,就函数f （x）在 a, +上单调递增,从而,函数f（ x）在 a, +上的最小值为f（ a） =a2+1；综上,当 a时,函数f（ x）的最小值为 a；当a时,函数f（ x）的最小值为a2+1；当 a时,函数f（ x）的最小值为a+；点评： 函数奇偶性的争论问题为中学数学的基本问题,假如平常留意学问的积存,对解此题会有较大帮忙.由于x r ,f（ 0） =|a|+1 ,0由此排除f（ x）为奇函数的可能性.运用偶精品学习资料精选学习资料 - - -

30、欢迎下载学习必备欢迎下载函数的定义分析可知,当a=0 时, f（ x）为偶函数,第2 题主要考查同学的分类争论思想.对称思想；x+m+例 12 设 m 为实数,记m = m|m>1 , fx=log 32 4mx+4m2；1证明：当m m 时, fx对全部实数都有意义；反之,如fx对全部实数x 都有意义,就 m m；2当 mm 时,求函数fx的最小值；3求证：对每个m m 、函数 fx的最小值都不小于1；+1 证明：先将fx变形： fx=log 3 x2m2 m+ 、当 m m 时, m>1、 xm2+m+>0 恒成立,故 fx 的定义域为r；反之,如 fx对全部实数x 都有

31、意义,就只须x24mx+4m2+m+>0；令 0,即 16m 44m22+m+ 0,解得 m>1,故 m m ；2解析：设u=x24mx+4m2+m+, y=log 3u 为增函数,当 u 最小时, fx最小；而 u=x 2m2+m+,明显,当 x=m 时, u 取最小值为m+,此时 f2m=log 3m+为最小值；3证明：当m m 时, m+=m 1+13,当且仅当 m=2 时等号成立； log3m+ lo3g3=1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载点评： 该题属于函数最值的综合性问题,考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理；题型七：周期

32、问题例 13 如 y=f2x的图像关于直线和对称,就fx的一个周期为（）abcd解：由于 y=f2x 关于对称,所以fa+2x=fa 2x；所以 f2 a 2x=f a+a2x= fa a 2x= f2 x；同理, fb+2x =fb 2x,所以 f2 b 2x=f2x,所以 f2 b 2a+2x=f2 b 2a 2x= f2a 2x=f2x；所以 f2 x的一个周期为2b 2a,故知 f x的一个周期为4 b a；选项为d ；点评：考察函数的对称性以及周期性,类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规就处理即可；如函数y=f x的图像关于直线x=a 和 x=b 对称（ ab）,就这个函数为周期函数,其周期为2（ b a）；例14 已 知 函 数为 定 义 在上 的 周 期 函 数 , 周 期, 函 数为奇函数又知在上为一次函数,在上为二次函数,且在时函数取得最小值；证明：；求的解析式；求在上的解析式； 解：为以为周期的周期函数,又为奇函数,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载；当时,由题意可设由得,；为奇函数,又知在上为一次函数,可设,而,当时,从而当时,故时,；当时,有,；当时,；点评： 该题属于一般函数周期性应用的题目,周期性为函数的图像特点,要将其转化成数字特点；五思维总结1 判定函数的奇偶性,必需依据函数的奇偶性定义进行,为了便于判