高中三角函数教学设计及习题及答案

1、第三章三角函数章节结构图三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容.在考察中，以容易题和中档题为主.在复习本部分内容时， 应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合. 利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象.而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换， 频繁出现因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在 应用中注意分析比较，提高能力.3. 1三角函数的概念（一）复习指导1了解任意角的概念，了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2 理解任意角三角函数 （正弦、

2、余弦、正切）的定义，掌握任意角的三角函数在各个象 限的符号.3会应用三角函数线解决与三角函数有关的简单问题.（二）解题方法指导例1 .写出与一60°终边相同的角的集合 S,并把S中满足一2二 a 4二的元素a写出来.1例2.已知角a终边上有一点P(x, 1),且coso =,求sin a, tana.2例3.求函数f（x）二sinx-1的定义域.V 2例4.已知a （0,门），比较sin , tan 的大小.2 2（三）体会与感受1. 重点知识2. 问题与困惑3. 经验问题梳理3. 2同角三角函数关系及诱导公式（一）复习指导一 一22sin x1. 理解同角三角函数的基本关系式：si

3、n x cos x=1,tan x.cos xn2. 能利用单位圆中的三角函数线推导出_，n_的正弦、余弦、正切的诱导公式.23能综合运用诱导公式和同角关系式对代数式进行化简.（二）解题方法指导例 1.已知 tanx=2,求 sinx, cosx的值.例 2.求 tan(-120)cos(210)sin(-480)的值. tan(-690 ) sin(-150 ') cos(330 )例 3. 若 sin x一cosx = 2, 求 sinxcosx 的值. sin x + cosx例 4.求证：tan2xsin2x=tan2x sin2x.（三）体会与感受1. 重点知识2. 问题与困

4、惑3. 经验问题梳理3. 3三角函数的图象与性质（一）（一 ）复习指导1. 能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.2. 理解正弦函数、余弦函数在区间0 , 2二的性质（如单调性、最大和最小值、图象与 x 轴交点等）n n3. 理解正切函数在区间 （-，）的单调性.2 2（二）解题方法指导函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域周期奇偶性单调性增区间减区间增区间减区间增区间减区间对称性对称轴对称轴对称轴对称中心对称中心对称中心n例1.用五点法画出函数 y =sin（x）草图，并求出函数的周期，单调区间，对称轴,对称中心.x n例2.求函数y=2sin（

5、）在区间0 , 2:上的值域.2 6例3.求下列函数的值域.(2)y= 2sin xcosx (sinx+ cosx).2(1)y= sin x cosx+2;1 sin x例4 .求函数y的值域.3-cos x（三）体会与感受1. 重点知识2. 问题与困惑3. 经验问题梳理3. 4三角函数的图象与性质(二)(一) 复习指导1. 了解函数y=Asin(©的物理意义；能画出y=Asin(ax+妨的图象，了解参数 A, w,0对函数图象变化的影响.2. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实 际问题.(二) 解题方法指导例1 .在同一个坐标系中，用五点法

6、画出下列函数的草图.nn(1)y=sin x, y=sin(x);(2)y=sin 2x, y = sin(2x).3 3n例2.已知函数f(x)=si n(2x )，该函数的图象可以由y=si nx的图象经过怎样的平6移和伸缩变换得到.例3.若函数y=Asi n( wx©( w> 0, ©> 0)的图象的一个最高点为(2. 2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6, 0)，求这个函数的一个解析式.例 4.已知函数 f(x)=cos4x 2sinxcosx sin4x.n(i )求f(x)的最小正周期；(n)若x 0,求f(x)的最大值、最小值.(三)体

7、会与感受1. 重点知识2. 问题与困惑3. 经验问题梳理3. 5和、差、倍角的三角函数(一)(一 )复习指导1. 掌握两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.2. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3. 能用上述公式解决一些化简和求值问题.(二)解题方法指导例 1.若 1 -tanx =“，则 tan(x+ n)的值为 () 1 tanx4V5 （D）-可L_75(A) 5(B) 一 .一 5(C5-22 n例 2. (sinx+cosx) +2sin ( 一x)=42n 1 亠 sin

8、2x2cos x ”例3.已知tan( x)二.求的值.4 21 +cos2x例 4.已知 f(cosx)=cos2x.(n )求 f(sinx).n(I )求 f (cos()的值;16（三）体会与感受1. 重点知识2. 问题与困惑3. 经验问题梳理3. 6和、差、倍角的三角函数（二）（一 ）复习指导1. 能利用三角函数公式对一些代数式进行化简和求值.2. 掌握Asinx+Bcosx型代数式变形方法.（二）解题方法指导4 _ nn例 1 .已知 cos, X 5 ( , n，则 cos()=(5 24(B).210(C)U(D)7 210例 2. f (x)二 cos2x - 2 3 sin

9、 x cosx 的最小值为 冗3冗例 3.已知：0 ： x , cosx ，且y： n,且 sin(x y) ，求 cosy 的值.25213冗-3-4求 sin 3.nsin , cos（：）=-,255（三）体会与感受1. 重点知识2. 问题与困惑3. 经验问题梳理3. 7正弦定理和余弦定理（一 ）复习指导1掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（二）解题方法指导例1 .在厶ABC中，a : b : c = 3 : 5 : 7,则其最大角为 .例2.在厶ABC中，有acosA=bcosB，判

10、断 ABC的形状.例3.在厶ABC中，/ A=60°,面积为10.3，周长为20,求三条边的长.例4.在一条河的对岸有两个目标物A, B,但不能到达.在岸边选取相距2 3里的C,D 两点，并测得/ ACB=75 ° / BCD=45 ° / ADC=30 ° ° / ADB=45 ° ° 且 A , B , C , D 在同 一个平面内，求 A , B之间的距离.（三）体会与感受1. 重点知识2. 问题与困惑3. 经验问题梳理例题解析第三章三角函数3. 1三角函数的概念例1分析：先把角转化成弧度制，然后写出与其终边相同角的集

11、合.nn解：因为60°，所以-2kn ,k Z,3 3S中满足一 2a 4 n的元素有一匸,_5,11 .3 33例2分析：已知一个角的一个函数值，可以利用三角函数定义求其它三角函数值，也可以利用同角关系直接求得.解：因为P(X, 1)在角a的终边上，所以，xcos 二解得x二今，又因为x>0,所以x = -3 ,所以 sin 3 , tan ： = , 3.3 2第10页共14页22小结：知道一个角某个三角函数值，求其它的函数值，是三角函数求值问题中典型问题之一.1 1例3解：因为sin x - 0，所以sin x亠,2 21 5 n当sinx 时，X=2kn n或x=2kn

12、，k乙利用三角形函数线得到，2 6 65x 2kn ,2kn, k Z.6 6例4分析：比较不同三角函数值的大小，可以充分利用三角函数线.aa解：因为a (0, n)所以 (0,)，如图3一 1-2,在单位圆中，作出的正弦线2 2 2MP和正切线 AT,因为Soap V oat,11所以 |OA|MP| |OA| | AT |,22即丨 MP | v| AT |,所以 sin tan 2 2小结：例3和例4都是三角形函数线的应用， 其中例4还可以利用比较法来解决，实际上有 x 二(0,)时，sinxv xv tanx. 23. 2同角三角函数关系及诱导公式例1分析：知道一个角某个三角函数值，求

13、其它函数值，方程思想是通法.解： 因为 tan x = Sin x = 2，又 sin2x+ cos2x=1,cosx联立得si nx = 2cosx2 2sin x +cos x =1解这个方程组得2屆sin x =5cosx 亠J5、cosx .5小结：这道题和3.1.1中的例2属于同一类型问题.例2分析：这种代数式化简，一般要用到诱导公式和同角函数关系，要注意公式的正确使用，特别是函数名称和符号的变化方法.解：原式tan(-120180 )cos(18030)sin(-360 -120 )tan(-72030o)sin(-150 )cos(360 -30 )tan60 (-cos30 )

14、(-sin120 )3.tan30 (-sin150 )cos30例3分析：这种代数式求值，可以利用方程组的思想，求出每个函数值，也可以利用 sinxlcosx 与 sinxcosx的关系，整体求值.解：法一：因为 sinx-cosx =2,sin x + cosx所以 sinx cosx=2(sinx+ cosx),得到sinx= 3cosx,又sin2x+ cos2x=1，联立方程组，解得sinx 矿,V10 cosx 二-百3烦3歸sin x=-怖，COSX3所以 sin xcosx 二10因为sin x - cosx sinx cosx所以 sinx cosx=2(sinx+ cosx

15、), 所以(sinx cosx)2=4(sinx+ cosx)2, 所以 1 2sin xcosx=4 + 8sin xcosx,所以有 sin xcosx 二-10小结：这两种方法中，第一种是通法，第二种利用了整体求值.例4分析：这种证明问题，可以从左边开始变形，向右边看齐，也可以反过来，还有的时候是两边同时变形.在变形的时候，要注意公式的正确使用，同时要时刻注意目标是什么.证明：法一：右边=tan2 x sin2x=tan, (tan, cos2x)=tan2x(1 cos2x)=tan 2x sin2x，问题 得证.法二：左边 =tan2xsin2x=tan2x(1 cos2x)=tan

16、2x tan2x cos2x=tan2x sin2x,问题得证.3. 3三角函数的图象与性质(一)例1解：.nx + 30n2n3n22 nnn2n7n5 nx36363y01010周期为T=2n,单调增区间为(2kn 5 ：2kn+乙6 6单调减区间为(2kn + = 2kn + 7), k己乙6 6n对称轴为x二kn ,k Z,6n 对称中心为(kn ,0), Z.3小结：画图的时候，要注意五个点的选取.例2分析：在求这样函数值域的时候，最好是把括号中与 x有关的代数式的取值范围求出来，然后利用三角函数图象求其值域.解：因为0<xw2n,所以0兰兰兀n<x + n<7n,

17、由正弦函数的图象，2 6 2 6 6得至卩 sin(x n) _,1,2 6 2所以 y 1, 2.例 3 解：(1)y=sin2x cosx+ 2 = 1 cos2x cosx+ 2= (cos2x+ cosx) + 3,人冲212131213令 t=cosx,则 t 一1,1, y = _(t2t) 3 = _(t )2(t )2,242413利用二次函数的图象得到y1,13.4(2)y= 2sinxcosx (sinx+ cosx)=(sinx + cosx)2 1 (sinx+ cosx)，令 t=sinx+ cosx =2 ,sin(x n)，则 t 二- 一 2, . 2则，y =

18、t2 - t -1,4利用二次函数的图象得到y<2.4小结：利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式，利用图象，求其值域，要注意转化后自变量的取值范围.例 4 解：设 A(3, 1), P(cosx, sinx),把y看成定点A与动点P所在直线的斜率，因为动点P(cosx, sinx)在单位圆上，所以只要求经过点 A(3, 1)与单位圆相切的两条直线的斜率，3两条切线的斜率分别为0和一，43所以 y 0, 4小结：这是数形结合解题的一个典型问题.3. 4三角函数的图象与性质(二)例1解：x0n2n3n22 ny01010+ n x十一30n2n3n22nnn2n7n5 nx3636

19、3y01010例2分析：这种问题的难点在于确定变换的先后顺序. 解：法一：将函数y=sinx依次作如下变换：把函数y=sinx的图象向左平移 n个单位，得到函数 y =sin(x+ -)的图象；6 6n1一把函数y=sin(x+ )图象上各点的横坐标缩小到原来的一，纵坐标保持不变，得到62函数y =sin(2x - 的图象.6法二：将函数y=sinx依次作如下变换：1 一 、(1) 把函数y=sinx的图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y=sin2x的图象.(2) 把函数y=sin2x向左平移个单位，得到函数 y =sin2(x )，即y =sin(2x n)的12 12

20、 6图象.小结：在进行图象变换的时候，应注意平移变换和压缩变换的顺序，顺序不一样，则平移的单位不一样.如y=sin2x的图象向左平移 n个单位，得到函数 y=sin2(x n)，即12 12y =sin(2x)的图象.6例3分析：这样的问题，首先要清楚几个参数A, 3, $对函数图象的影响，可以画出一个草图来分析问题.解：由最高点为(2,、2)，得到A二一 2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是 1个周期，这样求得4Tn4 , T=16，所以=48又由 J2=j2sin(上汇2+®)，得到可以取 ® = n.二 y=j2sin( ”x+ 8484例4分析：

21、这个函数的解析式比较复杂，我们先对其进行化简，这包括减少函数名称， 降低次数，然后再求相应的问题.71解：(I )因为 f(x)=cos4x 2sinxcosx sin4x= (cos2x sin2x)(cos2x+ sin2x) sin2x =(cos2 x -sin2 x) -sin 2x =cos2x -sin2x = . 2 sin(上-2x) - - . 2 sin(2x - n)4所以最小正周期为 n2 sin(一 =1;4(H )若 x可0,-,则(2x n引,竺,所以当x=0时，f(x)取最大值为244 4当时,f(x)取最小值为- i 2.3. 5和、差、倍角的三角函数(一)

22、例1解:1 -ta nx1 tan xntan ta n x4n1 亠 ta n tanx4二 tan(上x) =、5，所以 tan(丄x) 口441tan( ?x) 5选C.小结：本题还可以例3解：因为tan( x)=42 2sin 2x -2cos x 2sin xcosx -2cos x1 cos2x小结：在求值问题中, 导出结果.1 ta nx 11，所以tan x =1 tan x 23_24=tan x -1 =3在化简的过程中分析如何利用条件推2 cos2 x应该先对代数式进行化简,例4解：(I )因为二f(cos()16n二 COS,8而 cos2 = 一8 2屮且cos4 8

23、n 】2十J2，所以 cos 8 =2tanx把的值求出来，然后使用两角和的正切公式求值.例 2 解：(sin x cosx)2 2sin2( - x)4n=1 sin 2x 1 cos2( x) =1 sin 2x 1 sin 2x =2.4(n )因为 f (sin x) = f(cos(； -x) =cos(2(-x) =cos(n-2x) =-cos2x.3. 6和、差、倍角的三角函数(二)例 1 解：因为 cosa = -4 乏(n, n，所以 sin a =，525nnn* 2又cos( - - : J =cos cos爲'sin sin，代入求得结果为，所以选B .44410例 2 解：因为 f (x) =cos2x-2 3sin xcosx = cosx ；3 sin2x=2sin( 2x)，所以其最6小值为2.例3分析：在知值求值问题中，要注意角之间的关系.解：因为。吩曲弓贝V sin x.124-COS X = 5因为ox吵ny "所以x y吟,所以 cos(x - y),13所以 cosy=cos(x + y) x=cos(x+ y)cosx+ sin(x+ y)sinx12 35416=_X+=13 513565例4解：因为0yn-:n2所以3n,2 24 33又 cos(、；I) ，所以 sin(_：i)，或 sin(二-),5