上海市2020年高考理科数学模拟试题及答案

1、1 上海市 2020 年高考理科数学模拟试题及答案（满分 150 分，考试时间120 分钟）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1. 已知全集ur，集合|24 ,|(1)(3)0 xaxbxxx，则uabe（）a. (1,2)b. 1,2c. (1,3)d. (,22. 已知复数(i)(1i)za（i为虚数单位） 在复平面内对应的点在直线2yx上，则实数a的值为（）a. 0b. 1c. 1d. 133abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c，若26cb，60b, 则c等于（）a30 b60 c150 d30或1504

2、. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=4，则输出 p 为（）a. 6 b. 24 c. 120 d. 720 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（）a. b. c. d. 6. 已知直线和抛物线c：，p为 c上的一点，且p到直线 l 的距离与p到 c的焦点距离相等，那么这样的点p有（）a. 0个b. 1 个c. 2 个d. 无数个7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为2 a. b. c. d. 8. 从 2 个不同的红球，2 个不同的黄球，2 个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中，每个袋子中至多放入1 个球，且球

3、的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有（）a46 种 b36 种 c72 种 d42 种9. 已知双曲线2222:1xycab（0,0ab）的左焦点为f，第二象限的点m在双曲线c的渐近线上，且|oma，若直线mf的斜率为ba，则双曲线的渐近线方程为( ) ayx b2yxc3yx d4yx10. 已知数列的通项公式是，其前项和，则项数a. 13 b. 10 c. 9 d. 611. 已知fx是定义域为r的偶函数 , 且在 (0,+ ) 单调递增 , 设21log3mf,0.17nf, 4log 25pf, 则, ,m n p的大小关系为 ( ) a.mpn b.pnm c.pmn d.npm

4、12. 已知函数1xfxeax在区间 (-1,1)内存在极值点, 且0fx恰好有唯一整数解, 则a的取值范围是 ( 其中e为自然对数的底数,2.71828e ) a.221,2eee b.22211,11,22eeee3 c.2211,1,e2eeeee d.1,ee二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。）13. 5212xx展开式中的6x的系数为 _ 14. 若向量(2, ),( 2,1)ax b不共线，且()()abab，则a b_ 15. 设等比数列的前项和是，若，则_16. 已知点，抛物线的焦点为，连接，与抛物线相交于点，延长，与抛物线的准线相交于点，若，则实数的值为

5、 _三、解答题（共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题（共60 分）17. （本题满分12 分）的内角，的对边分别为， ， ，已知，. （1）求角；（2）若点满足，求的长 .18.（本题满分12 分）如图，在三棱锥中，底面，为的中点（1）求证：（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积 . 19.（本题满分12 分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出（不足时按计算）需再收元公司从承揽过的包裹中，随机抽取件，其重量统

6、计如下：4 公司又随机抽取了天的揽件数，得到频数分布表如下：以记录的天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率（1）计算该公司天中恰有天揽件数在的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员人，每人每天揽件不超过件，每人每天工资元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）20. （本题满分12 分）已知椭圆c：的离心率为，左、右顶点分别为a，b，点 m是椭圆 c上异于 a

7、，b的一点，直线am与 y 轴交于点p（1）若点 p在椭圆 c的内部，求直线am的斜率的取值范围；（2）设椭圆 c的右焦点为f，点 q在 y 轴上，且 aq bm ，求证： pfq 为定值21 （本题满分12 分）已知函数ln1fxxxaxar. （ 1）讨论fx在1,上的零点个数；（ 2）当1a时，若存在1,x，使13fxea，求实数a的取值范围 . （e为自然对数的底数，其值为2.71828）（二）选考题（共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐

8、标系，已知曲线c：sin2 2acos (a0) ，已知过点p( 2， 4) 的直线l的参数方程为5 x 222ty 422t，直线l与曲线c分别交于m，n两点 . (1) 写出曲线c和直线l的普通方程；(2) 若|pm| ，|mn| ，|pn| 成等比数列，求a的值 . 23 选修 45：不等式选讲 （10 分）设不等式的解集为m (1) 求集合 m ；(2) 已知，求证：6 参考答案一、选择题1.b 2.d 3.a 4.b 5.c 6.c 7.b 8.d 9.a 10.d 11.c 12.c 二、填空题13.30 14.3 15. 16.三、解答题17. （1）由题设及正弦定理得，又，所以

9、. 由于，则. 又因为，所以. （2）由正弦定理易知，解得. 又因为，所以，即. 在中，因为，所以，所以在中，由余弦定理得，所以. 18. （1）在中，由余弦定理得，则因为为的中点，则因为，则，所以因为，则因为底面，则，所以平面，从而（2）分别以直线，为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示7 设，则点，所以，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以因为为平面的法向量，则，即所以，解得，所以所以19.样本中包裹件数在内的天数为，频率为，可估计概率为，未来天中，包裹件数在间的天数x服从二项分布，即，故所求概率为；样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元） ，故该公

10、司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元（3）根据题意及，揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元） ，8 将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元） ；若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）因故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利20. （）由题意可得c2a22，e，a 2，c，椭圆的方程为1，设 p（0，m ） ，由点 p在椭圆 c的内部，得m，又 a（ 2，0） ，直线 am的斜率 kam（，） ，又 m为椭圆 c上异于 a，b的一点，kam（，0

11、）（0，） ，9 （）由题意f（，0） ，m （x0，y0） ，其中 x02，则1，直线 am的方程为y（x+2） ，令 x0，得点 p的坐标为（ 0，） ，kbm=kaq，直线aq的方程为y（x+2） ，令 x0，得点 q的坐标为（ 0，） ，由（，） ，（，） ，?20，即 pfq 90，故pfq为定值21. （1）由ln10fxxxax得1lnaxx，令1lng xxx，因此讨论fx在1,上的零点个数，即是讨论直线ya与曲线yg x的交点个数，22111xgxxxx，0gx在1,上恒成立，故1lng xxx在1,上单调递增，1,g x，又g x连续不断，所以当1a时，fx在1,上无零点；

12、当1a时，fx在1,上存在一个零点. （2）当1a时，由（ 1）得fx在1,上存在一个零点，由ln10fxxa得1axe，由（ 1）可得fx在11,ae上单调递减，在1,ae上单调递增；所以11min1aafxfee，又存在1,x，使13fxea成立，所以，只需1113aeea成立，即11310aeea不等式成立，令1131xh xeex，则11xh xee，易知110 xh xee在1,x上恒成立，故1131xh xeex在1,x上单调递增10 又20h，所以02h xx. 故实数a的取值范围为2,. 22 (1) 由c： sin22acos ，得 ( sin )22acos ，所以曲线的普通方程为y22ax.由直线l的参数方程x 222t，y 422t消去参数t，得xy20. 5 分(2) 直线l的