(完整word版)(第一章全等三角形的辅助线)知识点与练习含解析解析.doc(良心出品必属精品)

1、1 （第一章全等三角形的辅助线）知识点与练习含解析解析 知识精讲 一、中点类辅助线作法 见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段， 尤其是在涉 及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图 AD是厶ABC底边的 中线）、 二、角平分线类辅助线作法 有以下三种作辅助线的方式： 1、 由角平分线上的一点向角的两边作垂线； 2、 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形; 3、 OA-OB， 这种对称的图形应用得也较为普遍、 - O 一 P B 三、截长补短类辅助线作法 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法， 也是

2、把几何题化难为易的一种思想、 所 谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于的两条较短线段中的 一条，然后证明其中的另一段与的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个的较短的线段延长 至与另一个的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的线段的关系、 有的是采取截长补短 后，使之构成某种特定的三角形进行求解、 三点剖析 一、 考点：全等三角形辅助线的作法 二、 重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法 三、 易错点： 1、 辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线， 关键是如何分析题目； 2、 辅助线不是随便都可以

3、作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度” 这种p O- C E图1 N 2 辅助线就不一定能作出来、3 j卡题模精讲 题模一：中点类 例 1.1.1 : ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB=8 , AC =6，试求 AD 的取值范围、 【答案】1 ：AD ：,7 【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等、 延长 AD 至 E,使得DE二AD，连结 CE 在厶 ABDm ECD 中 BD =CD 1. !ZADB ZEDC AD =ED ABDA ECD SAS AB =CE AE 的取值范围为 CE -AC : AE :：: CE AC 2 : AE 1

4、4 1 ：:AD ：:7 例 1.1.2 如下图，在ABC中，AB =AC ,延长AB到D，使BD二AB，E为AB的中点，连接CE、CD， 求证：CD =2EC、 【解析】解法一：如下图，延长 CE到F，使EF =CE，连接 BF、 容易证明 EBF 也 EAC，从而 BF = AC，f * E 4 而 AC = AB = BD，故 BF = BD、5 注意至U . CBD =. BAC 宀/ACB 二.BAC 宀/ABC , .CBF =. ABC . FBA =. ABC . CAB , 故.CBF =. CBD，而 BC 公用，故：CBF :CBD , 因此 CD =CF =2CE、 【

5、答案】见解析 【解【解析】AB D=BC;BE_ CE、证明如下： 在线段BC上取点F，使FB =AB，连结EF、 在 ABE和 ：FBE中解法二：如下图，取CD的中点G ,连接BG、 因为G是CD的中点，B是AD的中点， 故BG是.DAC的中位线，从而 BG =1AC =1AB =BE， 2 2 由 BG / AC 可得.GBC =/ACB =/ABC =/EBC，故 BCE 也 BCG， 从而 EC =GC，CD =2CE、 题模二：角平分线类 例 1.2.1 如图，.A . D =180， BE 平分.ABC， CE 平分.BCD， 探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系、 探讨线段BE

6、与CE之间的位置关系、 点E在AD上、 6 AB =FB I #ABE =/FBE BE =BE /. ABE 也 FBE . AEB =/FEB , BAE =/BFE I . A . D =180 而.BFE . CFE =180 . CDE =. CFE 在.CDE和CFE中 CDE =. CFE ZDCE ZFCE CE =CE . CDE CFE . DEC 二.FEC , CD 二 CF AB CD 二 BC , . BEC =. BEF . CEF =90 例 1.2.2 如图，AB=AC, . BAC =90 , BD 为/ ABC 的平分线，CE1 BE,求证：BD =2CE

7、、 【答案】见解析 【解析】延长 CE 交 BA 的延长线于点 F、 BD 为/ ABC 的平分线，CEL BE BEFA BEC BC =BF , CE =FE、 / . BAC =90 , CEL BE ABD h ACF , 又I AB =AC , ABDA ACF BD =CF、 BD =2CE、 7 例 1.2.3 ZMAN =120。, AC 平分/ MAN 点 B D 分别在 AN AMh、 1如图 1,假设/ABC =/ADC =90，请你探索线段 AD AB AC 之间的数量关系，并证明之;8 2如图 2,假设.ABC . ADC =180，那么1中的结论是否仍然成立？假设成

8、立，给出证明; 假设不成立，请说明理由、 A B N 圏1 【答案】见解析 【解析】1关系是： =.CAB =60 =.ABC =90 , =/ACB =30 二ABAC直角三角形一锐角为 30,那么它所对直角边为斜边一半 2 AD AB =AC ; 2仍成立、 证明：过点 C 分别作 AM AN 的垂线，垂足分别为 E、F AC 平分/ MAN CE =：CF角平分线上点到角两边距离相等 / . ABC . ADC =180 ， . ADC . CDE =180 . CDE =. ABC 又 ZCED MCFB =90， CEDA CFB AAS / ED =FB， AD AB =AE -E

9、D AF FB =AE AF 由1知 AE AF =AC， 题模三：截长补短类 例 1.3.1 如下图，ABC是边长为1 的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角 形，以D为顶点作一个60的.MDN，点M、N分别在AB、AC上，求 AMN的周长、 证明： AC 平分/ MAN NMAN =120 . CAD 又.ADC . ACD 那么AD D AD AB =AC、 9 【答案】见解析 【解【解析】如下图，延长AC到E使CE =BM、10 在.BDM 与. CDE 中，因为 BD 二CD , . MBD =. ECD =90 , BM 二CE , 所以. BDM 也.CDE，故 MD =ED

10、、 因为.BDC =120 , MDN =60，所以.BDM . NDC =60、 又因为.BDM 二/CDE，所以.MDN 二/EDN =60、 在 MIND 与 END 中, DN =DN， . MDN =/EDN =60 ， DM = DE， 所以.:MND也 END，那么NE =MN，所以.：AMN的周长为2、 例 1.3.2 阅读以下材料： 如图 1,在四边形 ABCD 中，/ ACB=/ BAD=105，/ ABC=/ ADC=45 .求证：CD=AB. 小刚是这样思考的：由可得，/ CAB=30，/ DAC=75，/ DCA=60，/ ACBV DAC=180，由求 证及特殊角度

11、数可联想到构造特殊三角形即过点 A 作 AEAB 交 BC 的延长线于点 E,那么 AB=AE / E=Z D. 在厶 ADC CEA 中, V TZECA=75 LAC=CA ADCA CEA 得 CD=AE=AB. 请你参考小刚同学思考冋题的方法，解决下面冋题: 假设/ ACB+/ CAD=180，/ B=Z D,请问：CD 与 AB 是否相等？假设相 等，请你给出证明；假设不相等，请说明理由 【答案】见解析 【解【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质、 CD 与 AB 相等、 E 11 证明如下:12 作AE =AB交 BC 的延长线于点 E, . B =/E / . B =/D .

12、 D 二.E， / . ACB . DAC =180 ， . ACB . ECA =180 ， . DAC =/ECA， 在 DAOm ECA 中 DACA ECA CD =AE 二 CD 二 AB . 随堂练习 随练 1.1 如下图，厶ABC中，AD平分.BAC , E、F分别在BD、AD上、DE = CD , EF = AC、求 证：EF / AB、 【答案】见解析 【解【解析】延长AD到M，使DM =AD，连结EM，利用SAS证明ADC也厶MDE , 乙3 ZM， AC =EM、 又 AC =EF， EM =EF， 乙 1 =. M，厶 Z3， / AD 平分乙BAC，乙2 Z3， 1=

13、2， EF / AB、Ac CA 13 随练 1.2 ABC中，.A =60 , BD、CE分别平分.ABC和.ACB , BD、CE交于点O，试判断BE、 CD、BC的数量关系，并加以证明、 【答案】见解析 【解析】BE CD=BC, 理由是：在BC上截取BF =BE，连结OF , 利用 SAS证得 BEO 也. BFO ,二.1 二/2， 1 T ZA =60，二/BOC =90 A =120 ,二 /DOE =120 ， /. CA . DOE =180 , MAEO /ADO =180 ， . 1 Z3 =180 , I E2 . 4 =180 , /1 = . 2 , Z3 Z4 ,

14、 利用 AAS 证得-：CDO 望 CFO , CD =CF , - BC =BF CF =BE CD、 随练 1.3 如图，在 ABC 中，zBAC=60&, ZACB=40”, P、Q 分别在 BC CA 上，并且 AP BC 分别 是/ BAC / ABC 的角平分线、求证： 1BQ 二CQ ; 2 BQ AQ =AB BP、 A M 14 【答案】见解析 【解析】该题考察的是全等三角形、 1V BQ 是.ABC的角平分线， 1 . QBC ABC、 2 / . ABC . ACB . BAC =180，且.BAC =60 , ACB =40 , . ABC =80 , 1 .Q

15、BC 80 =40 , 2 . QBC - . C , BQ 二 CQ ; 2延长 AB 至 M 使得BM =BP，连结 MR . M =/BPM , / ABC 中乙BAC =60 , /C =40 , /ABC =80 , / BQ 平分.ABC , . QBC =40=/C , BQ =CQ , / . ABC = . M . BPM , . M BPM =40 =. C , / AP 平分.BAC , . MAP 二.CAP, 在厶 AMPF3 ACP 中, M =/C .MAP CAP AP 二 AP AMP ACP AM =AC , / AM 二 AB BM 二 AB BP , A

16、C 二 AQ QC 二 AQ BQ , AB BP 二 AQ BQ 随练 1.4 五边形 ABCD 中,AB =AE , BC DE =CD , . ABC AED =180 ,求证：AD 平分/ CDE15 【答案】见解析 【解析】延长 DE 至 F,使得EF =BC，连接 AC. / . ABC . AED =180 , . AEF . AED =180 ,二.ABC = . AEF / AB =AE , BC =EF ,山 ABCA AEF EF =BC , AC 二 AF / BC DE 二CD , CD 二 DE EF 二 DF ADCA ADF NADC =ZADF 即 AD 平分

17、/ CDE 随练 1.5 如图， ABC 中，BAC B C , AD 是 BC 边上的高，如果CD =AB BD ,我们就称厶 ABC 为“高和三角形”、请你依据这一定义回答以下问题： 1假设/BAC=90乜，忆C=30。，那么 ABC _ “高和三角形”填“是”或“不是”丨； 2一般地，如果 ABC 是 “高和三角形”，那么NB与三C之间的关系是 _ ，并证明你的结论 【答案】1是2B =2 C ;见解析 【解【解析】该题考察的是全等三角形、 1如图，Rt ABC 中， BAC =90 , B =60 , C =30 在 BC上截取BE AB，那么 ABE 为等边三角形 AB 二BE =A

18、E I BAE =60 , BAC =90 EAC =30=/C AE =EC AB =EC T AD _BC，且 ABE 为等边三角形 BD =DE DC =DE EC =BD ABA 16 是咼和二角形、 2如上图，在 ABC 中，在 DC 上截取DE =BD、 / CD =AB BD CE =AB ZC = EAC BEA=2 / AD 是 BC 边上的高且BD =DE ABDA AED SAS . AEB =. B . B =2 C 随练 1.6 如下图， BAC= .DAE=90 , M 是 BE 的中点，AB 二 AC , AD =AE，求证 AM _ CD、 【答案】见解析 【解

19、析】如下图，设AM交DC于H ，要证明AM _ CD，实际上就是证明 AHD二90，而条件BM二ME 不好运用，我们可以倍长中线 AM到F，连接BF交AD于点N，交CD于点0、 容易证明.AME也AFMB 那么 AE =FB， /EAF ZF，从而 AE / FB， ZANF =90 而.CAD . DAB =90， . DAB . ABN =90，故.CAD =/ABN 从而 CAD也ABF，故.D - . F 而.D . DON =. FOH . F =90 故.AHD =90，亦即 AM _CD、 随练 1.7 :如图，在 ABC 中，.ABC =3. C， 1=/2，BE!AE 求证：

20、AC-AB=2BE、 A E 17 【答案】见解析 【解析】延长 BE 交 AC 于 M / BE 丄 AE . AEB =/AEM =90 在 ABE 中，I . 1 . 3 . AEB =180 , . 3 =90 一/1 同理，.4 =90, -Z2 / . 1 二/2 , 3 二/4 , AB = AM / BE 丄 AE, BM =2BE , AC _AB =AC - AM =CM , / 4 是厶 BCM 勺外角， .4=.5.c / . ABC =3. C , . ABC -.3 . 5-. 4 . 5 3. Z4 5 =25 . C , Z5 ZC CM =BM , AC _A

21、B =BM =2BE y自我总结 专课后作业 作业 1：如图，E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上 ,且.BAE - CDE、 【答案】见解析、 【解析】延长 DE 到 F,使EF二DE，连接 BF, E 是 BC 的中点， BE =CE , 在 BEF 和厶 CED 中 BE =CE I 立BEF =. CED EF =DE 18 . F =. CDE , BF =CD、 I . BAE =. CDE , . BAE =. F 、 作业 2 如图，在 ABC中，D 为 BC 边上的中点，AE 平分.BAC交 BC 于 E, DF/AE交 AC 于 F, AC =2 , 【答案】3 2

22、【解析】解：延长 DF 交 BA 延长线与点 G 延长 FD 到 H 使得HD二FD，连接 BH AE 平分 /BAC , DG /AE , Z BAE ZEAC ZDFC ZAFG ZDGA , . FA =GA, 又 DH =DF , CD =DB，易得.CFD ：- BHD , .CF =BH , CFD = BHD = AGF , 那么 BH 二BG =CF，设 AF =x，那么 BG =1 x , CF 二AC AF =2 x =BH 二BG =1 x , 解得，x =- , CF =2 -x =3、 2 2 AB =BF , AB =CD、 19 【答案】见解析 【解析】在 AB

23、上截取点 E,使得AE二AC、 / AD 平分/ BAC EAD =NCAD , ADEA ADC SAS、 ZAED =NC , ED =CD、 / . C =2 B , . AED=2 B、 / . AED =. B . EDB , . B =. EDB , BE 二DE、 CD 二BE 二AB AE 二AB AC、 作业 4:. AOB =90 , OM 是/AOB 的平分线，将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上滑动，两直角边分 别与OA OB 交于 C、D 1、PC 和 PD 的数量关系是 _ 、 【答案】见解析 【解【解析】1、PC =：PD、 AB _ AC 二 CD、 20

24、2过 P 分别作 PEOB 于 E, PF 丄 OA 于 F,21 . CFP =. DEP =90 , TOM 是/ AOB 的平分线， PE二PF, / . 1 . FPD =90，且.AOB =90 , . FPE =90 , . 2 . FPD =90 , . 1 = 2, 在厶 CFP DEP 中 J?CPF =. DEP (PF =PE , DEP PC=PD、 J /1 =/2 作业 5:如图, ABC 中 , 1 2 DP 丄 BC 时如图 ,BD 平分/ ABC BC 上有动点 P、 BP =DC CP ; AB =AC 1,求证： 如图 2，BD CD CP 三者有何数量关

25、系? 【解【解析】1证明：在 BP 上截取PM二PC ,连接 DM T DPI BC, DM 二DC , . C =/DMC , T AB =AC , . ABC = . C = . DMP , T BD 平分/ ABC . ABC =2. DBC = . C , . DMC =2. DBC , T EDMC ZDBC ZBDM , /DBC ZMDB , DM =BM =DC , BP =BM PM 二DC CP、 2BD =CD CP 22 2解：BD =CD CP , 理由是：在 BD 上截取DM二DC，连接 PM v DP 平分/ BDC . MDP =. CDP , 在厶 MDFm

26、CDP 中 DM =DC I /MDP 二/CDP DP =DP MDS CDP SAS, CP =MP , C =/DMP , .C = . ABC =2. DBC , . DMP =2 DBC =. DBC . MPB , . DBC =. MPB , BM 二MP =CP , BD 二CD CP、 作业 6 等腰 ABC , . A =100 , . ABC的平分线交 AC于D，那么BD AD二BC、 【答案】见解析 【解析】如图，在BC上截取BE =BD，连接DE , 过 D 作 DF / BC ,交 AB 于 F，于是.3 =/2 , . ADF =/ECD、 又 V 1 - 2 ,

27、 . 1二/3，故DF -BF、显然FBCD是等腰梯形、 BF =DC , DF =DC、 1 11 V/2 ABC 180 -100 =20 , 2 2 2 / 1 BED = BDE 180-2 =80 , DEC =180 BED =100 , . FAD =. DEC =100 , AFD 也.：EDC , AD =EC、 又 V BE =BD , BC 二 BD EC = BD AD、23 作业 7 如图，在 ABC 中，AB=AC ,D 是三角形外一点，且.ABD =60 , BD DC二AB、求证：ACD =60 / BD CD =AB， BE =BD DE，二 BE =AB， V . ABD =60，二 ABE 是等边三角形， AE = AB = AC， . E =60 ， 工AC =AE 心 ACD?3 ADE 中, CD =DE， i AD =AD ACDA ADE SSS， MACD E =60 、 作业 8 如图 1，在 ABC 中，.ACB =2. B，/