中考数学专题复习——存在性问题

1、中考数学专题复习一一存在性问题 作者:一、二次函数中相似三角形的存在性问题1 .如图，把抛物线y x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y (x h)2 k.所得抛物线与x轴交于A, B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,顶点为D.(1)写出h、k的值； (2)判断ACD勺形状，并说明理由；(3)在线段AC上是否存在点M使AOMbAAB。若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由2 .如图，抛物线经过A (-2, 0) , B (-3, 3)及原点0,顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且 A、O D E为顶点的四边形是平行四边

2、形, 求点D的坐标；(3) P是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P作PM x轴，垂足为M是否存在点P, 使得以P、M A为顶点的三角形4 BOCffi似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.二、二次函数中面积的存在性问题3 .如图，抛物线y ax2 bx a>0与双曲线y k相交于点A, B.已知点B的坐标为(2, 2), x点A在第一象限内，且tan/AO月4.过点A作直线AC/ x轴，交抛物线于另一点 C.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算 ABC的面积；(3)在抛物线上是否存在点 D,使ABD勺面积等于 ABC的面积.若存在，写出点 D的坐标；若不存在，说明理由

3、.4 .如图，抛物线y = ax2+c (a>0)经过梯形ABCD勺四个顶点，梯形的底 AD x轴上,A( 2,0) , B (1, -3).(1)求抛物线的解析式；(3分)(2)点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点 M的坐标；(2分)(3)在第(2)问的结论下，抛物线上的点 P使Si户4s"bm成立，求点P的坐标.(4分)(4)在抛物线的BD®上是否存在点Q使三角形BDQ勺面积最大，若有，求出点 Q的坐标，若没有,说明理由。5三、二次函数中直角三角形的存在性问题5 .如图，在平面直角坐标系中， ABC是直角三角形，/ ACB=90,A

4、C=BC,OA=1OC=4抛物线y x2 bx c经过A, B两点，抛物线的顶点为D.(1)求b, c的值；(2)点E是直角三角形ABCM边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下：求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P,使 EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.26题图26题备用图四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6 .如图，直线y 3x 3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C (3,0).求抛物线的解析

5、式； 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使ABQ1等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q点坐标;若不存在，t#说明理由.五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题7 .如图，二次函数y= x2 ax b的图像与x轴交于A 1, 0)、B(2 , 0)两点，且与y轴交于点C;(1) 求该抛物线的解析式，并判断 ABC的形状；(2) 在x轴上方的抛物线上有一点 D,且以A、C、D B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；(3) 在此抛,物线上是否存在点 P,使彳导以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由。6六、二次函数中菱形的存在性

6、问题8.如图，抛物线经过原点 。和x轴上一点A (4, 0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D. 直线y= - 2x - 1经过抛物线上一点B ( - 2, m且与y轴交于点C,与抛物线的又t称轴交于点 F.(1)求m的值及该抛物线对应的解析式；(2) P (x, V)是抛物线上的一点，若 Saad=SaADC,求出所有符合条件的点P的坐标；(3)点Q是平面内任意一点，点 M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点 M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.七、二次函数中与圆有

7、关存在性问题9.已知：抛物线 yx2(12 m)x 64m与 x 轴交于两点 A (xi,0), B(x2,0)(x1x2,二 0),X2它的对称轴交x轴于点N (x3, 0),若A, B两点距离不大于6,(1)求m的取值范围；(2)当AB=5时，求抛物线的解析式；(3)试判断，是否存在 m的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点(0, 1),或过点B和点N能作圆与y轴切于点(0, 1),若存在找出满足条件的 m的值，若不存在试说明理由定值问题:1.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4, /BAD=120 , zAEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC. CD上滑动，且E、F不与B. C.

8、D重合.(1)证明不论E、F在BC. CD上如何滑动，总有 BE=CF;(2)当点E、F在BC. CD上滑动时，分别探讨四边形 AECF和4CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.201、【答案】解：(1)二.由平移的性质知，y (x h)2 k的顶点坐标为D (1, 4),h1, k 4 o2 (2)由(1)得 y= x 14.2当 y=0 时，x 14 0 .解N,得 X13, X2 1A( 3, 0), R1, 0).又当 x0 时，y=x12 40 1 2 43,.C点坐标为(0, 3)。又抛物线顶点坐标D ( 1, 4),作抛物线白对称轴x

9、1交x轴于点E, DF，y轴于点F。易知在 RtAAED, AD=22+42=20,在 RtzXAOC, AC=32+32=18,在 RtACFDF, CD=12+12=2, .aC+ CD2 = aD。.ACD直角三角形(3)存在.作OM/ BC交AC于M M点即为所求点。由(2)知，AOE等腰直角三角形，/ BAC= 45°, AC 万 372 oAB AC4 3.2由小0般 AAB(C 彳# AO AM。即 3 AM, AM 972。过M点作MG_ AB于点G,则AG=MOG=AOAG=3- 9 30又点M在第三象限，所以M(3,-) 4 4442、【答案】解：(1)设抛物线的

10、解析式为y ax2 bx ca 0 ,4a 2b c=0a=1.抛物线过 A ( - 2, 0) , B ( - 3, 3) , O (0,0)可得 9a 3b c=3 ,解得 b=2c=0c=0抛物线的解析式为y x2 2x(2)当AE为边时，: A Q D E为顶点的四边形是平行四边形，DE=AO=2则D在x轴下方不可能，D在x轴上方且DE=2则D (1, 3) , D2 (-3, 3)。当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。点E在对称轴上，且线段 AO的中点横坐标为-1,由对称性知，符合条件的点 D只有一个，与点C重合，即C(- 1, - 1)。故符合条件的点D有三个，分别是 D (1

11、, 3) , D2 (-3, 3) , C (-1, - 1)。(3)存在，如图：: B (-3, 3) , C(- 1, - 1),根据勾股定理得:BO=18, CO=2, bC=20, .BO+CO=BC.BOO直角三角形。假设存在点P,使以P, M, A为顶点的三角形与 BOG目似,设P ( x , y),由题意知x>0,若 AMDABO(C则AM PMBO即 x+2=3 ( x2+2x)得:COxi=-, 3当x=1 时，y = 7,即 P (1, 7)。3939若PM#ABOC 则，BO PM oCO BOx 2= - 2 (舍去).y >0,且 y x2即：x2+2x=

12、3 (x+2)得：xi=3, X2=-2 (舍去)当 x=3 时，y = 15,即 P (3, 15).故符合条件的点P有两个，分别是P(1，7)或(33915)3、【答案】解：(1)把点B( 2, -2)的坐标代入双曲线的解析式为：y0x设A点的坐标为（mi, n） .; A点在双曲线上，.二mn= 4又,. tan/AOX= 4,m =4,即 mi= 4n。 .n2=1, .n=±1。n.A点在第一象限，n=1, m4。，A点的坐标为（1,4）。a b 4把A、B点的坐标代入y ax bx得，4a 2b 2，解得，a=1, b=3抛物线的解析式为：y x2 3x0（2） AC/

13、x轴，.点C的纵坐标y = 4,代入y x2 3x得方程，x2 3x 4 0,解得x1 = 4, x2=1 （舍去）.C点的坐标为（一4, 4）,且AO 51又.ABC的图为 6,.ABC的面积=-X5X6= 15。2（3）存在D点使4ABD的面积等于 ABC勺面积。理由如下：过点C作CD/ AB交抛物线于另一点D,此时 ABD勺面积等于 ABC的面积（同底：AB,等高：CD和AB的距离）。二.直线AB相应的一次函数是：y 2x 2,且CD/ AB,可设直线CDS析式为y 2x p ,把C点的坐标（-4, 4）代入可得，p 12。直线CDf目应的一次函数是：y 2x 12。2解方矛5组y x

14、,解得，x 3 0y 2x 12y 18点D的坐标为（3, 18）。4. (1)、因为点A B均在抛物线上，故点 A B的坐标适合抛物线方程4a c 0a c 3解之得:;故y x2 4为所求4(2)如图2,连接BR交y轴于点M,则点M就是所求作的点2k设BD的斛析式为y kx b ,则有 k03'k 1b 2'故BD的解析式为y x 2 ;令x 0,则y 2 ,故M (0, 2)、如图3,连接AM BC交y轴于点N,由(2)知，OM=OA=OD= AMB 90易知BN=MN1=,易求AM 2亚 BM &Svabm 1 2&亚 2;设 P(x,x2 4),212

15、1依题意有：ADgx2 4 4 2,即：4gx2 4 4 2 22解之彳$ x 2石，x 0,故符合条件的P点有三个：P(2冠,4), P2( 2应,4), P3(0, 4)5.解答：解：(1)由已知得：A( 1, 0) , B (4, 5),二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A(- 1, 0) , B (4, 5),f. -b+C=Q 解得：b= 2, c=-3;l16 + 4i + c = 5(2)如图：二直线 AB经过点A(-1, 0) , B (4, 5) , 直线AB的解析式为：y=x+1, .二次函数 y=x2- 2x- 3,.设点 E (t , t+1 )，贝U F (

16、t , t2 2t -3), .EF=(t+1) - (t2-2t -3) =- (t-9)2号，当t=|时，EF的最大值为系：点E的坐标为（I', 1）;（3）如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD 315可求出点F的坐标（W,）,点D的坐标为（1, - 4）1 253；1 25375S 四边形 EBFD=S BEF+Sa def=£X （4 - J） +3X g1） =T如图:i）过点E作a± EF交抛物线于点P,设点P （mi, m2 - 2nn- 3）则有：m2- 2mi- 2=,2Z+逐 -?-屏百、-z2+<6 5、斛得：mi= j , m

17、2=二, P1 （ J , 2）, P2 （2，2），ii）过点F作b± EF交抛物线于P3,设P3 （n, n2-2n- 3）则有：n2- 2n-2=-学,1 qi 15解得：n1=2, n2=y （与点F重合，舍去），.二P3信，,综上所述：所有点 P的坐标：Pi （一 1） , P2 （安普，1） , P3 （1, 空） 能使4EFP组成以EF为直角边的直角三角形.6.解：(1);当乂=0时，y=3 当 y=0 时，x = 1；A( 1, 0) , B(0, 3). C (3, 0)1分设抛物线的解析式为y=a ( x+1) ( x - 3).-3=axix (-3).,.a=

18、- 1此抛物线的解析式为y = - ( x + 1 ) (x - 3) =- x 2 +2 x +3 2分13.八二,抛物线的对称轴为：x=-=1 . 4分如图对称轴与x轴的交点即为Q1v OA=OQ 1 , BO ± AQ 1 a AB=Q 1 B Q 1 (1, 0)6分当Q2 A=Q2 B时，设Q 2的坐标为(1, m1. .22+mf =12+ (3- m 2m=1 Q 2 (1, 1)8分当 Q3A = AB 时，设 Q3 (1, n). 22+n2 =12+32. n>0n=<'6 Q 3 (1,而).符合条件的Q点坐标为Q1 (1, 0) , Q 2

19、 (1, 1) , Q 3 (1, V6) 10分7、答案：解（1）根据题意，将A（ 0）,蜕2, 0）代入y= x21ax b中，得 441 a22a解这个方程，得a=3, b=1, 该抛物线的解析式为y= x2 3x 1,当x=0时，y=1, 22.点 C 的坐标为（0, 1）。在AOCfr , AC= JOA2 OC2 = Jg）2 12 §。在 BOC , BG= VOB2 OC2 = v22 12=75 0AB=OAOB=1 2=5, . AC2 BC2=5 5=25=AB2, .ABC是直角三角形。2244（2）点D的坐标为（3，1）。（3）存在。由（1）知，AC BC若

20、以BC为底边，则BC/ AP,如图1所示，可求得直线BC的解析式为y= 1x 1,直线AP可以看作是由直线2BC平移得到的，所以设直线 AP的解析式为y= lx b,2,11把点A（ 1, 0）代入直线AP的解析式，求得b=:，直线AP的解析式为y= 1x 10二点P既在抛物线上，又在直线 AP上, 24点P的纵坐标相等，即x2 -x 1= 2x1,解得玄二勺， 2242x2= 2 （舍去）。当 x= 2时，y= 2 , 点 P（：,：）。若以AC为底边，则BP/ AG如图2所示。可求得直线AC的解析式为y=2x 1。直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2x b

21、,把点B（2, 0）代入直线BP的解析式，求得b= 4,直线BP的解析式为y=2x 4。点P既在抛物线上，又在直线 BP上，.点P的纵坐标相等，即 x2 3x 1=2x 4,解得 x1= 5, x2=2（舍去）。 22当x二 5时，y= 9, 点P的坐标为（2 , 9）。综上所述，满足题目条件的点 P为（5, 当或（5, 9）。2224a-2bk解得：卜 16a+4b=0l_ _任已-5)8.解：(1) 丁点 B ( 2, n)在直线 y=-2x- 1 上m=3 即 B ( 2, 3) 又抛物线经过原点 O.设抛物线白解析式为y=ax2+bx点B ( - 2, 3) , A (4, 0)在抛物

22、线上设抛物线的解析式为v=1k2-x.4(2) v P (x, y)是抛物线上的一点，. p (心工7,4右 S>AADF=S>AADC, S瞰弓AD0C，弓前，目，又丁点C是直线y= - 2x - 1与y轴交点, .C (0, 1) , o OC=1富 |二。，即 J J 一 K= 1 或一 K=- 11444解得：k产2+2调1 12- 22,工3rd=2 点 P 的坐标为 F (2+2&| L) , ?之(2-2«, 1) , P3 (2, -1)(3)结论：存在.抛物线的解析式为 尸!广一，顶点E (2, -1),对 称轴为x=2;点F是直线y=-2x-

23、1与对称轴x=2的交点，. F (2,-5) , DF=5又A (4, 0) ,. AE<5，如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形AEMQ. _.工匕时 DM=AE=/, .MF=DF- de- DM=4一阴，.-.t1=4-菱形AEOM 止匕时 DM=DE=1, . MF=DF+DM6, 2=6;菱形AEMQ. _ 止匕时 EM=AE=/,.DM=EM DE5- 1, .MF=DM+DF=(近 T) +5=4+/5, . 3=4+/5;菱形AMEQ.此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与MQ交于点H,则AE± MQ,.易知 AEM MEH,Vs冷|,得M>E1 .DM=ME- DE=-1=二22 . MF=DM+DF=+5也， 222综上所述，存在点 M点Q,使彳导以Q A、E M四点为顶点的四边形是菱形;时间 t 的值为：ti=4一代，t2=6, 13=4+/g, t4专.9.解：(1)令 y=0,贝 x2(1 2m)x 6 m 0;x1x2，且上0, .x10,x20X2 AB 2 (2m 3) 5 2mx1 2m 3, x22. . A(2m 3, 0), B(