一《高中数学解题的思维策略》

1、、高中数学解题的思维策略导 读数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径， 是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况， 从以下四个方面进行讲 解：一、数学思维的变通性根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。三、数学思维的严密性考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。四、数学思维的开拓性对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运 用多种不同的解法。什么”转变，从而培养他们的思维能力。策略的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想

2、既快又准的解题， 总用一套固定的方案是行不通的，必须具 有思维的变通性一一善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思 维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：(1)善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态， 是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、 发现问题和解决问题的前提。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具 体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本 质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。一. .、一

3、1111例如，求和十十十十.1 2 2 3 3 4 n(n 1)这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且F=1-工，因此，原式等于1-1+°-1+1-3=11问题很快就解决n(n 1) n n 12 2 3 n n 1 n 1了。(2)善于联想联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、 复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关 知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。例如，解方程组(x + y =2xy = -3这个方程指明两个数的和为2,这两个数的积为-3。由此联想到韦达定理，x、

4、y是元二次方程t2 2t 3=0的两个根,x = 1x = 3. .所以 或 3 .可见，联想可使问题变得简单。 y = 3y = 1(3)善于将问题进行转化数学家G.波利亚在怎样解题中说过： 数学解题是命题的连续变换。 可见，解题 过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎 样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把 未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化 关系。1111例如,已知 一 一 一 =, (abc = 0, a b c - 0),a b c abc求证a、b、c三数中必

5、有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、 简单。要证的结论，可以转化为：(a + b)(b + c)(c + a) = 0思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。二、思维训练实例(1)观察能力的训练虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视 观察能力的训

6、练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊 方法来解题。例 1 已知 a,b,c,d 都是实数，求证 Va2+b2+Vc2+d2 豆，(ac)2+(b d)2. .思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而 左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点， 可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现，证明 不妨设A(a,b), B(c,d)如图1-2-1所示，则 AB =J(ac)2 +(bd)2.在AOAB中，由三角形三边之间的关系知:OA + OB之AB当且仅当。在AB上时，等号成立。因止匕， a2 b2c2d2 - (

7、a-c)2 (b -d)2.思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此 题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似 的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意 数学公式、定理的运用练习。例2已知3x2 +2y2 =6x ,试求x2 + y2的最大值。解由 3x2 +2y2 =6x 得又 x2 y2 =x2 - x2 3x =(x -3)2 -,222二当x=2时，x2+y2有最大值，最大值为(2-3)2+9=4.22思路分析要求x2 + y2的最大值，由已知条件很快将x2十y2变为一元二次函

8、数f(x) =-2(x-3)2 +：，然后求极值点的x值，联系到y2 >0,这一条件，既快又准地求出 最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。思维障碍大部分学生的作法如下：.CCC3 C由 3x +2y =6x得 y =x +3x,2二 当x=3时，x2 +y2取最大值，最大值为92这种解法由于忽略了 y2至0这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的 已知条件，又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。有些问题的观察要从相应的图像着手。例3已知二次函数f (x) = ax

9、2 + bx + c = 0(a > 0),满足关系f(2+x) = f(2 x),试比较f (0.5)与f(n)的大小。思路分析由已知条件f(2+x) = f(2-x)可知，在与x = 2左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线 x=2对称，又由 已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致 图像简捷地解出此题。解 (如图 1 22)由 f(2 + x) = f(2 x),知f(x)是以直线x =2为对称轴，开口向上的抛物线它与x = 2距离越近的点,函数值越小。思维障碍 有些同学对比较f (0.5)与f (n)的大小，只想到求出它们酬1而2匕题函数f(x)的表达式不确

10、定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已 知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推 敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。(1)联想能力的训练例4在AABC中，若 CC为钝角，则tgA .tgB的值(A)等于1(B) 小于1(C)大于1(D)不能确定思路分析 此题是在AABC中确定三角函数tgA.tgB的值。因此，联想到三角函数正切 的两角和公式tg(A + B)= tgA+tgB 可得下面解法。1 - tgA tgB解 :/C 为钝角，.tgC <0.在 AABC 中 A + B+C=n/. C=n (A+

11、B)且A、B均为锐角，故应选择(B)思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公 式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。例 5 若(z x)2 4(x y)(y z) =0,证明：2y = x + z.思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不 难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证 题。证明 当 xy#0 时，等式(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=0可看作是关于t的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t + (y-z) = 0有等根的条件，在进一步观

12、察这个方程，它的两个相等实根是 1 ,根据韦达定理就有：-z =1 即 2y=x + z x - y若xy=0,由已知条件易得 zx=0,即x = y = z,显然也有2y = x + z.例6已知a、b、c均为正实数，满足关系式a2+b2 =c2,又n为不小于3的自然数，求证：an bn :二 cn.思路分析由条件a2 +b2 =c2联想到勾股定理，a、b、c可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明 设a、b、c所对的角分别为A、B、C.则C是直角，A为锐角，于是absin A = ,cosA =-,且 0 <sin A <1, 0 < cos

13、A <1, cc当 n 至3时，有 sinn A <sin2 A, cosn A <cos2 A于是有 sinn A cosn A ： sin2 A cos2 A =1即 (a)n (b)n ：二1, c c从而就有 an - bn ： cn.思维阻碍由于这是一个关于自然数n的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学 几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。(2)问题转化的训练我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联 想有关知识，而且要将其转化成我

14、们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使 问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。d转化成容易解决的明显题目11 1例11 已知a+b+c = + +- =1,求证a、b、c中至少有一个等于1。a b c思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。a、b、c中至少有一个为1,也就是说a-1、b-1、c-1中至少有 一个为零，这样，问题就容易解决了。111.证明 一一一 二1, bc ac ab =abc. a b c于是 (a -1)(b -1)(c -1) = abc -(ab ac bc -1) (a b c) =

15、0.二 a-1、b-1、c-1中至少有一个为零，即 a、b、c中至少有一个为1。思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至 少有一个为1,其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问 题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。例12直线L的方程为x = -其中p>0;椭圆E的中心为。'(2 + ：0),焦点在X轴 上，长半轴为2,短半轴为1,它的一个顶点为A(-p,0),问p在什么范围内取值时，椭圆 上有四个不同的点，它们中的每一点到点 A的距离等于该点到直线L的距离。思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知

16、，四个不同的点应在抛物线2y = 2px(1)是，又从已知条件可得椭圆E的方程为x-(2 1)22 + y2=1(2)4因此，问题转化为当方程组(1)、(2)有四个不同的实数解时，求 p的取值范围。将(2)代入(1)得：2x2 +(7p 4)x + +2p =0.(3)4确定p的范围，实际上就是求(3)有两个不等正根的充要条件，解不等式组: 在p >0的条件下，得0<p<13.本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。(2逆向思维的训练逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。 当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题

17、的反面，从反面入手，使问题得到解决。例13 已知函数f(x) = 2x2 +mx+n ,求证 “1)、f(2)、f(3)中至少有一个不小于1.思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方 法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。证明(反证法)假设原命题不成立，即|f(1)、|f(2)、| f (3)都小于1。1f c1'1<2 + m + n<1，3<m + n<1则“f(2)|<1341<8+2m+n<1 = «9c2m + n<7|f(3)|<11<18+3m + n<1119<3m + n<-17十 得-11<2m+n<-9,与矛盾，所以假设不成立，即|f(1)、|f(2)、|f(3)|中至少有一个不小于1。一题多解训练由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因