2019年高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学试卷(二)及解析

1、绝密 启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共14 页， 23 题（含选考题）。全卷满分150 分。考试用时120 分钟。祝考试顺利注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2b 铅笔将答题卡上试卷类型a 后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所

2、选题目的题号在答题卡上指定的位置用2b 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合|1mx x，21xnx，则mn（）a|01xxb|0 x xc|1x xd【答案】 a 【解析】210 xnxx x，|1mx x，|01mnxx故选： a2若双曲线221yxm的一个焦点为3,0 ，则m（）a 2 2b8c 9d64【答案】 b 【解析】 由双曲线性质：21a，2bm，219cm，8m，故

3、选 b3已知22log111sin13xxfxxx，则31322ff（）班级姓名准考证号考场号座位号a52b52c32d12【答案】 b 【解析】22log111sin13xxfxxx，22313313sinlog122322ff2115sin 5log26422故选 b4已知曲线421yxax在点11f，处切线的斜率为 8，则1f（）a7 b4 c7 d4 【答案】 b 【解析】342yxax，428a，6a，1114fa，故选 b5已知1a，2b，且 aab ，则向量a在b方向上的投影为（）a1b2c12d22【答案】 d 【解析】设a与b的夹角为， aab ，20aabaa b，2cos

4、0aab，2cos2，向量a在b方向上的投影为2cos2a，故选 d6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a83b163c203d8 【答案】 b 【解析】 由图可知该几何体底面积为8，高为 2 的四棱锥，如图所示：该几何体的体积1168233v，故选 b7已知函数sinfxax(0,0,)2a在一个周期内的图象如图所示，则4f（）a22b22c2d2【答案】 c 【解析】 由图象可知，2a，5 2882t，所以2，由28f，得22 82k， kz ，解得2 4k， kz ，因为2，所以4，所以 2sin22444f故选 c8已知正项数列na满足221120nnnnaaaa，设1

5、21lognnaba，则数列nb的前n项和为（）anb12n nc12n nd122nn【答案】 c 【解析】 由221120nnnnaaaa，可得：1120nnnnaaaa，又0na，12nnaa，112nnaa，1221loglog 2nnnabna，数列nb的前n项和12n n，故选： c9阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）a12 b18 c120 d125 【答案】 c 【解析】 第一次运行：0 11a，1i为奇数，1 12s，1 12i；第二次运行：123a，2i为偶数，326s，2 13i；第三次运行：336a，3i为奇数，6612s，3 14i；第四次运行：6

6、410a，4i为偶数，10 12120s，415i；程序终止运行，输出120s故选 c10如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）a514b412c 41d31【答案】 c 【解析】 根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥oabcd，正方体的棱长为4，a，d为棱的中点，根据几何体可以判断：球心应该在过a，d的平行于底面的中截面上，设球心到截面 bco的距离为x，则到ad的距离为 4x，2222 2rx，22224rx，解得出：32x，22341824r，该多面体外接球的表面积为：2441r，故选 c11某几何体的直观图

7、如图所示，ab是o的直径，bc 垂直o所在的平面，且10abbc，q为o上从a出发绕圆心逆时针方向运动的一动点若设弧aq的长为x，cq的长度为关于x的函数 fx ，则 yfx 的图像大致为（）abcd【答案】 a 【解析】 如图所示，设aoq，则弧长aqx，线段 cqfx ，5x，作ohbq于h当q在 半 圆 弧aqb上 运 动 时 ，1()2qoh，2sin2cos22bqoqoq，2222100cos10010 cos1210 xcqbqbc5 2cos65x，即5 2cos65xfx，由余弦函数的性质知当5x时，即运动到b点时y有最小值 10，只有 a 选项适合，又由对称性知选a，故选

8、a12设双曲线2222:1(0,0)xycabab的左、右焦点分别为1f ，2f ，122f fc，过2f 作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为a，已知3,2aq c，22f qf a ，点 p 是双曲线 c右支上的动点，且11232pfpqf f恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）a10,2b71,6c710,62d101,2【答案】 b 【解析】 令 x=c 代入双曲线的方程可得2221cbybaa，由|f2q|f2a|，可得232aba，即为 32a22b=2(2c-2a)，即有102cea，又11232pfpqf f恒成立，由双曲线的定义，可得223apfpqcc 恒成立，由2f

9、 ，p，q 共线时，2pfpq 取得最小值232af q，可得3322aca，即有76cea，由 e1，结合可得， e 的范围是71,6故选： b第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23) 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分。13已知x，yr，则“1a”是直线10axy与直线10 xay平行的 _条件（从“充分不必要” “必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个）【答案】 充要【解析】 若直线10axy与直线10 xay平行，则有21a，即1a，且当1a时，两直线重合，舍去，因

10、此1a，即1a是直线10axy与直线10 xay平行的充要条件，故答案为充分必要14如图，在平面直角坐标系xoy中，函数sinyx0，0的图像与x轴的交点a，b， c 满足2oaocob ，则_【答案】34【解析】不妨设0 x，x，2x， 得bx，ax，2cx，由2oaocob ，得3 22，解得3415在等腰梯形 abcd中，已知 abdc，2ab，1bc，60abc，动点e和f分别在线段 bc 和 dc 上，且 bebc，14dfdc，且238ae af，则=_【答案】23【解析】在等腰梯形 abcd 中， aeabbeabbc ，14afaddfaddc，14ae afabbcaddc1

11、144ab adabdcbc adbc dc，在等腰梯形 abcd 中，1 2cos601ab ad，2ab dc，11 1 cos602bc ad，11 1 cos1202bc dc11172312282288ae af，解得23因为 e在线段 bc 上，所以 01，所以23 故答案为： 23 16已知在等腰梯形 abcd 中， abcd，24abcd，60abc，双曲线以a，b为焦点，且与线段ad， bc（包含端点d，c ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 _ 【答案】1, 31【解析】以线段 ab 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则双曲线2c，1, 3c设双曲线方程为2

12、2221xyab，只需 c 点在双曲线右支图像的上方（包括在图像上）即可，也即22131ab，两边乘以22a b得22223baa b，由于22224bcaa，所以上式化为2222434aaaa，解得312a，113122a，故131ca三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 在abc中 ， 角a，b， c 所 对 的 边 分 别 为a，b，c， 已 知c o sc o sc o s3 s i nc o scabab（1）求 cosb的值；（2）若1ac，求b的取值范围【答案】 （1）1cos2b； （2）112b【解析】 （1）由已知得coscoscos3sincos0ab

13、abab，即有sinsin3sincos0abab， 3 分因为 sin0a，sin3 cos0bb又 cos0b，tan3b又 0b，3b，1cos2b， 6 分（2）由余弦定理，有2222cosbacacb因为1ac，1cos2b， 9 分有2211324ba，又 01a，于是有2114b，即有112b 12 分18基于移动互联技术的共享单车被称为“ 新四大发明 ” 之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2019.8 2019.9 2019.10 2019.11 201

14、9.12 2019.1 月份代码x1 2 3 4 5 6 市场占有率%y11 13 16 15 20 21 （1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019 年 2 月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和 800元/辆的a，b两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各 100 辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500 元不考虑除

15、采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人， 你会选择采购哪款车型？参考数据：62117.5iixx，6135iiixxyy，133036.5参考公式：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy；回归直线方程为?ybxa，其中121?niiiniixxyybxx，? aybx【答案】 （1）见解析；（2）?29yx，23%； （3）见解析【解析】 （1）散点图如图所示： 1 分11 13 16 152021166y，62176iiyy，12211niiinniiiixxy

16、yrxxyy3535350.9636.517.5761330，所以两变量之间具有较强的线性相关关系， 3 分故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系（2）12131?527.5niiiniixxyybxx， 4 分又1234563.56x，16?59?23.aybx， 5 分回归直线方程为?29yx 6 分2019 年 2 月的月份代码7x，27923y，所以估计 2019年 2 月的市场占有率为23% 7 分（3）用频率估计概率，a款单车的利润x的分布列为：500 0.10 0.3500 0.41000 0.2350e x（元） 9 分b款单车的利润y的分布列为：300 0.15200 0.4

17、700 0.35 1200 0.1400e y（元） 11分以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择b款车型 12 分19如图，在三棱锥pabcd 中，平面abc平面 apc，2abbcappc，90abc（1）求直线pa与平面 pbc所成角的正弦值；（2）若动点m在底面abc边界及内部，二面角mpac 的余弦值为3 1111，求bm的最小值【答案】 （1）63； （2）105【解析】 （1）取 ac 中点 o，abbc ， appc ，oboc ，opoc 平面 abc平面 apc，平面abc平面 apcac ，ob平面 pac，obop以 o为坐标原点， ob 、oc 、op 分别为

18、x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，2abbcpa，1obocop，0,0,0o，0, 1,0a，1,0,0b，0,1,0c，0,0,1p，1,1,0bc，1,0, 1pb，0,1,1ap， 2 分设平面 pbc 的法向量, ,x y zm，由0bc m，0pb m得方程组00 xyxz，取1,1,1m， 4 分 os3,6cap m 5 分直线pa与平面 pbc所成角的正弦值为63 6 分（2）由题意平面 pac 的法向量1,0,0n，设平面pam的法向量为000,xy zk，, ,0m m n，0,1,1ap，,1,0amm n，0ap k，0am k，0000010yzmxny，取1

19、, 1,1nmk， 9 分3 11cos,11n k219nm，13nm或13nm （舍去） b点到am的最小值为垂直距离105d 12 分20如图，曲线22:1(0,0)xyemnmn与正方形l：4xy的边界相切（1）求mn的值；（2） 设直线:lyxb交曲线e于a，b， 交l于 c ，d， 是否存在这样的曲线e， 使得 ca ，ab ， bd 成等差数列？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】 （1）16mn； （2）8 28 233b 【解析】 （1）由题2214xymnxy，得28160nm xmxmmn，有2644160mmnmmn， 2 分化简的 4640mn

20、 mnmn又0m，0n，所以0mn从而有16mn； 4 分（2）由 2 abcabd ，得342ab，即423ab 5 分由221xymnyxb，得2220nm xbmxmbmn，由2224440nmbn mm n可得216bmn，且122bmxxnm，212mbmnx xnm， 7 分所以224164 212163mnbabka， 8 分可得232163bmn，从而232183216mnmnb，所以21289b ，即有8 28 233b ， 10 分符合216bmn，故当实数 b 的取值范围是8 28 233b 时，存在直线 l 和曲线e，使得 ca ， ab ， bd 成等差数列 12 分

21、21已知函数ln1afxxxa axr （1）求函数 fx 的单调区间；（2）若存在1x，使1xfxxx成立，求整数a的最小值【答案】 （1）答案见解析；（2）5【解析】 （1）由题意可知，0 x，22211axxafxxxx， 1 分方程20 xxa对应的14a ，当140a，即14a时，当0,x时，0fx， fx 在 0,上单调递减； 2 分当104a时，方程20 xxa的两根为1142a，且114114022aa，此时， fx 在114114,22aa上0fx，函数 fx 单调递增，在1140,2a，114,2a上0fx，函数 fx 单调递减； 4分当0a时，11402a，11402a，

22、此时当1140,2ax，0fx， fx 单调递增，当114,2ax时，0fx， fx 单调递减；综上：当0a时，1140,2ax， fx 单调递增，当114,2ax时， fx 单调递减；当104a时， fx 在114114,22aa上单调递增，在1140,2a，114,2a上单调递减；当14a时， fx 在 0,上单调递减； 6 分（2）原式等价于1ln21xaxxx，即存在1x，使ln211xxxax成立设ln211xxxg xx，1x，则2ln21xxgxx， 7 分设ln2h xxx，则1110 xh xxx， h x 在 1,上单调递增又33ln321ln30h，44ln 4222ln 20h，根据零点存在性定理，可知h x 在 1,上有唯一零点，设该零点为0 x， 9 分则03,4x，且000ln20h xxx，即002lnxx，0000min0ln2111xxxg xxx，由题意可知01ax，又03,4x， az ，a的最小值为 5 12 分请考生在22、23 题中任选一题作答,如果多做 ,则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标