(完整)高中必修一函数全章知识点整理,推荐文档

1、1 函数复习主要知识点 一、函数的概念与表示 1、映射 (1 )映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则 f,对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集 合 B 的映射，记作 f: A TB。 注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 2、函数 构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域 二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据： (1) 分式的分母不为零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

2、 (3) 指数函数的底数必须大于零且不等于 1; 1函数y v x2 3x 4的定义域为 2 求函数定义域的两个难点问题 2 (1) 已知 f(x)的定义域是-2,5, 求 f(2x+3)的定义域。 (2) 已知 f(2x1)的定义域是-1,3,求 f( x)的定义域3 1 例 2 设f(x) (x 1)2，贝y f(2x)的定义域为 _ 变式练习：f (2 x) 4 x2，求f. x)的定义域。 三.函数的奇偶性 1. 定义：设 y=f(x) , x A，如果对于任意 x A，都有f ( x) f (x)，则称 y=f(x)为偶函数。 如果对于任意x A，都有f ( x) f (x)，则称

3、y=f(x)为奇函数。 2性质： y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于y轴对称， y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称， 若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0 奇埼=奇 偶偶=偶 奇 奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇两函数的定义域 Di , D2, D1QD2要关于原点对称 3奇偶性的判断 看定义域是否关于原点对称 看 f(x)与 f(-x)的关系 1、已知函数f (x)是定义在(, )上的偶函数当x ( , 0)时，f(x) x x4，则当x (0, f (x) _ (i)求a,b的值; 2 2t) f(2t k) 0恒成立，求k的取值范围; )时, 2、

4、已知定义域为 R的函数f(x) 2x 2x 是奇函数。 (n)若对任意的t R，不等式f(t2 4 3、若奇函数 f (x)(x R)满足 f (2) 1 , f (x 2)f(x) f (2)，则 f(5) _ 5 四、函数的单调性 1 函数单调性的定义: 2 设y f g x是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则 y f g x在 M 上是减函数; 若 f(x)与 g(x)的单调性相同，贝U y f g x在 M 上是增函数。 1 判断函数f(x) x3(x R)的单调性。 (6 x 2x2) 1 2 函数y 的单调增区间是 _ 2 (3a 1)x 4a,x 1

5、3(高考真题)已知f(x) x 是(，)上的减函数，那么 a的取值范围是 ( ) a ,x 1 1 11 1 (A) (0,1) (B) (0, ) (C) , ) (D ,1) 3 6 3 6 6 元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根为二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a丰0) y 0的x的取值。五二次函数(涉及二次函数问题必画图分析) 1.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a丰0)的图象是一条抛物线， 对称轴 2二次函数与一元二次方程关系 b ,顶点坐标( 2a ( 4 ac b2 7 二次函数 情况 一兀二次不等式解集 2 Y=ax +bx+c (a0) =b2-4ac

6、 ax2+bx+c0 (a0) ax2+bx+c0) 图 象 与 解 0 xx x,或 x x2 x x x2 K =0 XX X。 4 、y o - s 0) 2 ) 2,)上是增函数，则 1、已知函数f(x) 4x mx 5在区间 f (1)的范围是( (A)f(1) 25 (B) f(1) 25 (C) f(1) (D) f(1) 25 2 2、方程 mx 2mx 1 0有一另一根小于 1,则实根 m 的取值范围是 8 六指数式 1 幕的有关概念 1 m an (6) 0 的正分数指数幕等于 0,0 的负分数指数幕没有意义.(1)零指数幕a0 1 (a 0) (2) 负整数指数0,n N

7、 (3)正分数指数幕 0,m, n N ,n 1 ； 1 a 0,m, n N ,n 1 n m 、 、 (5)负分数指数幕 9 (i)(4)2 4ab1)= (0.1) 2(a3b 3)2 十指数函数 名称 指数函数 一般形式 y=ax(a1) y=ax(0a1) 定义域 (-m，+ oo ) 值域 (0,+ o) 过定点 (0，1) 图象 y=aX (0al 单调性 在（o，+ o ）上为增函数 在（-o，+ o ）上为减函数 值分布 X0 时 0y0 时, y1,x=0,y=1 X1,x0 时，0y1,x=0,y=1 2比较两个幕值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还

8、是指数相同，如果底数木 _ 同，可利用指数函数的单调性； 指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象： 2、 研究指数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 3、 指数函数中的绝大部分问题是指数函数与其他函数的复合问题， 讨论复合函数的单调性是解决 问题的重要途径。 1、（ 1） y 422 . 1 -的定义域为 _ ； 5 3x 1 （2） _ y 2x 3的值域为 ； 2 1 aras ar s a 0,r,s Q 3 ab r arbr a 0,b 0,r Q 3根式 r s rs 2 a a a 0,r, s Q a

9、；当n是偶数，则n an |a 2 有理数指数幕的性质 根式的性质：当n是奇数，则n an 10 （3） y 2（ x x）的递增区间为 ,值域为 2、 (1) 1x 1 x 2 0，则 x 4 2 3、 要使函数y 1 2x 4xa 在 x ,1上y 0恒成立。求a的取值范围 2.2对数函数 (1) 对数的定义 若ax N(a 0,且 a 1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x loga N，其中a叫做底数, N叫做真数. 负数和零没有对数. 对数式与指数式的互化： x loga N ax N (a 0,a 1,N 0). (2) 几个重要的对数恒等式 logal 0 , log a a 1

10、, logaab b . (3) 常用对数与自然对数 常用对数：lg N，即log10 N ；自然对数：In N，即loge N (其中e 2.71828). (4) 对数的运算性质 如果a 0,a 1,M 0, N 0,那么 加法：loga M loga N Ioga(MN) 减法：IogaM loga N IogaM N 数乘：n logaM log a M n (n R) alogaN N log ab Mn nlogaM (b 0,n R) 换底公式：loga N (b 0,且 b 1) b log b a 【2.2.2】对数函数及其性质 11 (5 )对数函数12 函数 名称 对数函

11、数 定义 函数y log a x(a 0且a 1)叫做对数函数 图象 a 1 0 a 1 1 y 1 ,x 1 y lOga x 厂 k y l x 1 ； y lOg a x ；(1,0) . O /；(1,0) x O 定义 域 (0,) 值域 R 过定 占 八、 图象过定点(1,0)，即当x 1时，y 0 奇偶 性 非奇非偶 单调 性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 函数 值的 变化 情况 lOga x 0 (x 1) lOga x 0 (x 1) loga x 0 (0 x 1) lOga x 0 (x 1) lOga x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1)

12、 a变 化 对 图象的 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内， a越大图象越靠咼. (6)反函数的概念 设函数y f(x)的定义域为A，值域为C,从式子y f(x)中解出x，得式子x (y) 如果对 于y在C中的任何一个值，通过式子 x (y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x (y)表示x是y的函数，函数x (y)叫做函数y f (x)的反函数，记作x f 1(y)，习惯上改 写成 y f 1(x) (7) 反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域； 13 从原函数式y f (x)中反解出x f 1(y)； 将x f 1(y)改写成y f 1(x)，并注明反函数

13、的定义域. (8) 反函数的性质 原函数y f(x)与反函数y f 1(x)的图象关于直线y x对称. 函数y f (x)的定义域、值域分别是其反函数 y f 1(x)的值域、定义域. 若P(a,b)在原函数y f (x)的图象上，贝V P(b,a)在反函数y f tx)的图象上. 一般地，函数 y f(x)要有反函数则它必须为单调函数. 2.3幂函数 (1)幕函数的定义 般地，函数 y x叫做幕函数，其中 x为自变量， 是常数. (2)幕函数的图象 (3) 幕函数的性质 图象分布：幕函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 .幕函数是偶函数时，图象分 布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称)；是 非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 . 过定点：所有的幕函数在 (0,)都有定义，并且图象都通过点 (1,1). 14 单调性：如果 0,则幕函数的图象过原点，并且在 0,)上为增函数如果 0，则幕函 数的图象在（0,）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x轴与y轴. 奇偶性：当 为奇数时，幕函数为奇函数，当 为偶