(word完整版)高中数学常用逻辑用语的解题方法归纳,推荐文档

1、 1.2 .常用逻辑用语一、 知识导学1 逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“ ”“ ”“ ”表示2 命题：能够判断真假的陈述句.3 简单命题：不含逻辑联结词的命题4复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或 q； p 且 q；非 p5.四种命题的构成：原命题：若p 则 q;逆命题：若 q 则 p;否命题：若一 p 则一 q ;逆否命题：若一 q 则一 p.6原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p 则 q”二“若q 则一 p ” .7反证法：欲证“若 p 则 q”，从“非 q”出发，导出矛盾，从而知“若p 则非 q”为假，即“若 p 则 q”为真&

2、amp;充分条件与必要条件 ：1p = q ： p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件；2p = q ： p 是 q 的充要条件9常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个” “对一切” “对每一个” “任给”等；并 用符号“ ”表示含有全称量词的命题叫做全称命题 10常用的存在量词： “存在一个”、 “至少有一个”、 “有些”、 “有一个”、 “有的”、 “对某 个”；并用符号“ ”表示含有存在量词的命题叫做特称命题 .二、 疑难知识导析1 基本题型及其方法(1 )由给定的复合命题指出它的形式及其构成；(2)给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；

3、(3 )给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假注意：否命题与命题的否定是不同的(4) 判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义(5) 证明p的充要条件是q；方法：分别证明充分性和必要性(6) 反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论反证法是通过证明命题的结论的反面不成立 而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一 注：常见关键词的否定：关键词是都是(全是)()至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是(全是)()一个也没有至少有两个存在任意2.全称命题与特称命题的关系:全称命题 p:x M,p(x),它

4、的否定p:x M, p(x)；特称命题 p:x M,p(x), 它的否定p:x M , p(x)；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命 题否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明三、经典例题导讲例 1把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则 q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似逆命题：若两个三角形相似，则它们全等否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“

5、一定”的意思对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识因而否命题与逆否命题错了 正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等例 2将下列命题改写成“若 p 则 q”的形式，并写出否命题.ao 时，函数 y=ax+b 的值随 x 值的增加而增加错解：原命题改为：若 ao 时，x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加错因：如果从字面上分析最简单的方法是将ao 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若 ao 时，贝 U 函数 y=ax+b 的值随着 x的值增加而增加，其否命题

6、为若a o 时，则函数 y=ax+b 的值不随 x 值的增加而增加此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把ao 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了正解：原命题改为：ao 时，若 x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加否命题为：ao 时，若 x 的值不增加，则函数 y=ax+b 的值也不增加原命题也可改为：当 x 的值增加时，若 ao,，则函数 y=ax+b 的值也随着增加 否命题为：当 x增加时，若 a o,则函数 y=ax+b 的值不增加.例 3已知 h0,设命题甲为：两个实数 a、b 满足a b 2h，命

7、题乙为：两个实数 a、b满足a 11 h且b 11 h，那么A 甲是乙的充分但不必要条件B 甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D甲是乙的既不充分也不必要条件错解：a b 2h (a 1) (b 1) 2h h h|a 1| h,|b 1| h关键词是都是(全是)()至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是(全是)()一个也没有至少有两个存在任意12.全称命题与特称命题的关系:全称命题 p:x M,p(x),它的否定p:x M, p(x);特称命题 p:x M,p(x), 它的否定p:x M , p(x);即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命 题.否定一个全称命题可以通

8、过“举反例”来说明例 1把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则 q”的形式，并写出它的逆命题、否命三、经典例题导讲例 1把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则 q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似逆命题：若两个三角形相似，则它们全等否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识 因而否命题与逆

9、否命题错了 正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等例 2将下列命题改写成“若 p 则 q”的形式，并写出否命题.ao 时，函数 y=ax+b 的值随 x 值的增加而增加错解：原命题改为：若 ao 时，x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加错因：如果从字面上分析最简单的方法是将ao 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若 ao 时，贝 U 函数 y=ax+b 的值随着 x的值增加而增加，其否命题为若a o 时，则函数 y=ax+b 的值不随 x 值的增加而增加此题错解在注意力集中在

10、“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把ao 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了正解：原命题改为：ao 时，若 x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加否命题为：ao 时，若 x 的值不增加，则函数 y=ax+b 的值也不增加原命题也可改为：当 x 的值增加时，若 ao,，则函数 y=ax+b 的值也随着增加否命题为：当 x 增加时，若 a o,则函数 y=ax+b 的值不增加.例 3已知 h0,设命题甲为：两个实数 a、b 满足a b 2h，命题乙为：两个实数 a、b满足a 11 h且b 11 h，那么故本题应选 c.错因：(1)

11、对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误;(2) 不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误A 甲是乙的充分但不必要条件B 甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D甲是乙的既不充分也不必要条件错解：a b 2h(a 1) (b 1) 2h h h例 1把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则 q”的形式，并写出它的逆命题、否命两式相减得2h a b 2h正解：因为a 1hb 1 h所以h a 1 h h b 1h2h即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件a 2 h由于b 2 h同理也可得a b 2h因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的

12、充分条件，故应选B.例 4已知命题甲：a+b 4,命题乙:a1且 b3，则命题甲是命题乙的.错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若 a=1 且 b=3 则 a+b=4 成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件错因：对命题的否定不正确.a1且 b3的否定是 a=1 或 b=3.正解：当 a+b 4 时，可选取 a=1,b=5，故此时 a1且 b3不成立（a=1）.同样，a1,且 b3时，可选取 a=2,b=2,a+b=4，故此时 a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a1且 b3为真时，必须 a1,b3同时成立.例 5已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q

13、是 s 的必要条件，那么 p 是 q成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为 p r s q 但 r 成立不能推出 p 成立，所以p q,但 q 成立不能推出 p 成立，所 以选 A解：选 A例 6已知关于x的一元二次方程（m Z）mX4x+ 4= 0 x2 4mx+4吊4m-5= 0求方程和都有整数解的充要条件.解：方程有实根的充要条件是16 4 4 m 0,解得 m 1.5方程有实根的充要条件是16m24（4m24m 5） 0，解得m .45m 1.而 m Z,故 m= 1 或n=0 或 m=1.4当 m= 1

14、 时，方程无整数解.当 m=0 时，无整数解；当 m=1 时，都有整数.从而都有整数解m=1.反之，m=1都有整数解.都有整数解的充要条件是m=1.例 7用反证法证明：若a、b、cR，且x a22b 1,y b22c 1,2z c 2a 1，则X、y、z中至少有一个不小于0*证明：假设x、y、z均小于 0,即：x2a2b10-；yb22c10_-；z2c2a 10- -； + + 得x y z (a 1)2(b 1)2(c 1)20,这与(a 1)2(b 1)2(c 1)20矛盾，则假设不成立，lx、y、z中至少有一个不小于 0、例 8已知命题p:方程x+m灶仁 0 有两个不等的负根；命题q:

15、方程 4x+ 4( m-2)x+ 1=0 无实根.若p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围.分析：p或q”为真，则命题p、q至少有一个为真，p且q”为假，则命题p、q至少 有一为假，因此，两命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命 题q为真即命题p:2一2若方程 4x+ 4(n 2)x+ 1 = 0 无实根，则A=16(mr2)16=16(m4m3)v0解得：1vmv3.即q： 1vmv3.因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.m 2亠m

16、2十或m 1或m 31 m 3解得：n3或 1v m2.四、典型习题导练21方程mx2x10至少有一个负根，则（）A.0 m 1或m 0B.0 m 1C.m 1D.m 12“x23x 2 0”是“x 1或x 4”的（）解：若方程x2+m灶 1=0 有两不等的负根，则400解得 m2,4.由命题p：6 是 12 的约数，q：6 是 24 的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ _,“p且q”形式的命题是 _, “非p”形式的命题是 _5. 若a,b R，试从2 2A.ab 0B.a b 0C.a b 0D.ab 0E.a b 0F.a2b20中，选出适合下列条件者，用代号填空：(1 )使a,b都为 0 的充分条件是 _；(2)_ 使a,b都不为 0 的充分条件是；(3) 使a,b中至少有一个为 0 的充要条件是 _；(4)_使a,b中至少有一个不为 0 的充要条件是 _ .6. 分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假.(1)p:梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等.(2)2 2p: 1 是方程x 4x 30的解；q： 3 是方程x4x 30的解.(3)2 2p:不等式X2x 1 0解集为R；q:不等式X2x 21解集为#丄7.命题： 已知a、b为实数，若x2+ax