(word完整版)排列组合知识总结+经典题型,推荐文档

1、(1) 知识梳理1.分类计数原理(加法原理)：完成一件事，有几类办法，在第一类中有 ml 种有不同的方法，在第 2 类中有 m2 种不同的方 法在第 n 类型有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有蚀+十鳴讶中不同的方法。2 .分步计数原理(乘法原理)：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有 ml 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方 法 ，做第 n 步有 mn 种不同的方法；那么完成这件事共有“二吋心乂叭种不同的方法。特别提醒：分类计数原理与 分类”有关，要注意 类”与 类”之间 所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与 分步”有关，要注意 步”与 步”之间具有的相依性和

2、连续性， 应用这两个原理进行正 确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。3.排列：从 n 个不同的元素中任取 m(m n)个元素，按照一定 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排 列.4 .排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素排成一列， 称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.从 n 个不同 元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号 蛊表示.5.排列数公式:唱少餌暨歹 Z 罗-?特别提醒：(1)规定 0! = 1(2)含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有 k 个不同元素 al， a2,.an 其中限重复数为 n

3、1、n2.nk，且 n =n1+ n2+nk ,贝 U S 的排列个数等于竝.例如：已知数字 3、2、2,求其排列个数112!又例如：数字 5、315、5、求其排列个数？其排列个数 3!= 1-6. 组合：从 n 个不同的元素中任取 m(m n)个元素并成一组， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.y_代_用(丹一】(理_觀+ 1)=创7.组合数公式：“ g忍梆心-呦！8.两个公式： 心严皿：。特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素.区别：前者是 排成一排”，后者是 并成一组”,前者有顺序关系， 后者无顺序关系.典型例题考点一：排列问题

4、例 1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1) 甲不站两端；(2) 甲、乙必须相邻；(3) 甲、乙不相邻；（4） 甲、乙之间间隔两人；（5） 甲、乙站在两端；（6） 甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例 2.男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人选派5 人外出比赛在下列情形中各有多少种选派方法？（1） 男运动员 3 名，女运动员 2 名；（2） 至少有 1 名女运动员；（3） 队长中至少有 1 人参加；（4） 既要有队长，又要有女运动员.考点三:综合问题例 3.4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1） 恰有 1 个盒不放球，共有几种放

5、法？（2） 恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？（3） 恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70 种 B.80 种 C.100 种 D.140 种2亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若 其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48 种 B.12 种 C.18 种 D.36 种3从 0，1, 2，3, 4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个

6、偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48B.12C.180D.1624甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学，2 名女 同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（）A.150 种 B.180 种 C.300 种 D.345 种5甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.366 用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A. 324B.328C.360D.6487从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长

7、助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为（）8将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分 到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.18B.24C.30D.309.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （）A.360B.288C.216D.96参考答案：例 1 解：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有為种站法，然后其余 5 人在另外 5 个位置 上作全排列有肌种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法： =480

8、（种方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5 个人中选 2个人站，有肌种站法，然后中间 4 人有恥种站法，根据分步乘法 计数原理，共有站法：M 爲丸刃（种）方法三：若对甲没有限制条件共有 臥种站法，甲在两端共有 2 虞种 站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A-2ij = 480（种）A.85B.56C.49D.28（2）方法一：先把甲、乙作为一个整体”看作一个人，和其余 4 人进行全排列有/种站法，再把甲、乙进行全排列，有 隨种 站法，根据分步乘法计数原理，共有祈呕 40（种）方法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有幕种站法，再在5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有

9、 肌种方法，最后让甲、乙 全排列，有込种方法，共有町说-刃沁（种）（3） 因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用插空法”第一步 先让甲、乙以外的 4 个人站队，有仍种站法；第二步再将甲、乙 排在 4人形成的 5 个空档（含两端）中，有頃种站法，故共有站法为时AI=480（种）也可用 间接法” 6 个人全排列有船种站法，由（2）知甲、乙 相邻有&仔放种站法，所以不相邻的站法有轉矚 A=720-20=480（种；.（4）方法一：先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有抖种，然 后将甲、乙按条件插入站队，有彳码种，故共有詹3 佛）皿 4 （种;站 法.方法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2

10、人排在甲、乙之间的 两个位置上，有則种，然后把甲、乙及中间 2 人看作一个 大”元 素与余下 2 人作全排列有阿种方法，最后对甲、乙进行排列，有 唏中方法，故共有阴鸠编44 （种站法.（5） 方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 歸种， 再让其他 4 人在中间位置作全排列，有舄种，根据分步乘法计数 原理，共有込碼婀（种）站法.方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有 迥种站法， 然后考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 人去站，有肋种站法，由分 步乘法计数原理共有.厂叮二站法.（6）方法一：甲在左端的站法有 Ag 种，乙在右端的站法有 第种，且甲在左端而乙在右端的站法有 A 种，共

11、有亠：-:叮二亠 站 法.方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有昭种站法，甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有 1 种，故共有址姒羽 A *=504 （种）站法.例 2 解 （1）第一步：选 3 名男运动员，有-：种选法.第二步：选 2 名女运动员，有 B 种选法.共有-种选法.（2）方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男.由分类加法计数原理可得总选法数为叫團弋鞋代*4 弋弭 0246 种.方法二至少 1 名女运动员”的反面为全是男运动员”可用 间接法求解.从 10 人中任选 5 人有吒种选法，其中全是男运动员的选法

12、有 耳 种.所以 至少有 1 名女运动员”的选法为（3 ）方法一：可分类求解：只有男队长”的选法为 只有女队长”的选法为门；男、女队长都入选”的选法为嚼；所以共有 2%也卜 1 册种选法.9 分方法二：间接法：从 10 人中任选 5 人有种选法.其中不选队长的方法有仇种.所以 至少 1 名队长”的选法为（00）-04=196 种.9 分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有 9 种选法不选女队长 时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有 匚种， 所以不选女队长时的选法共有CS_C?种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有 席弋計併种.例 3 解 （1）为保证 恰有 1 个盒不放球

13、”先从 4 个盒子中任 意取出去一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放 入球，共有几种放法？ ”即把 4 个球分成 2，1，1 的三组，然后 再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另 外 2 个盒 子内，由分步乘法计数原理，共有 CiC|ClXA144 种（2）恰有 1 个盒内有 2 个球”即另外 3 个盒子放 2 个球，每 个盒子至多放 1 个球，也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒，因此，恰有 1 个盒内有 2 个球”与 恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所 以共有 144 种放法.（3）确定 2 个空盒有种方法.4 个球放进 2 个盒子可分成（3，1）

14、、（ 2，2）两类，第一类有序不均匀分组有 Me 抽引种方法；第二类有序均匀分组有尿 种当堂检测答案1从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，贝 V 不同的组队方案共有A.70 种 B.80 种 C.100 种 D.140 种 解析：分为 2 男 1 女，和 1 男 2女两大类，共有算已十硏。冃 0=70 种， 解题策略：合理分类与准确分步的策略。2亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若工作，则不同的选派方案共有（解析：合理分类，通过分析分为（1 ）小张和小王恰有 1 人入

15、选，先从两人中选 1 人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有种选法。（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的3 人中选 2 人排列有种方法。共有 24+12=36 种选法。解题策略：1特殊元素优先安排的策略。2.合理分类与准确分步的策略。方法.故共有IC CfCfA齐密1 切=84其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项A.48 种 B.12 种 C.18 种D.36 种3排列、组合混合问题先选后排的策略。3从 0, 1, 2, 3, 4, 5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48B.12C.

16、180D.162解析：分为两大类：（1）含有 0,分步 1,从另外两个偶数中选 一个，1J 种方法，2从 3 个奇数中选两个，有 J 种方法；3给 0 安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有种方法；4其他的 3 个数字进行全排列，有&种排法，根据乘法原理共种方法。（2）不含 0，分步，偶数必然是 2, 4 ;奇数有 G 种不 同的选法，然后把 4 个元素全排列，共月种排法，不含 0 的排 法有疾&种。根据加法原理把两部分加一块得U 借靄蚩珥辺隔解题策略：1特殊元素优先安排的策略。2.合理分类与准确分步的策略。3排列、组合混合问题先选后排的策略。4甲组有 5 名男同学，3 名女

17、同学；乙组有 6 名男同学，2 名女 同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（）A.150 种 B.180 种 C.300 种 D.345 种解析：4 人中恰有 1 名女同学的情况分为两种，即这 1 名女同学 或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有种选法。解题策略：合理分类与准确分步的策略。5甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中 至少有 1 门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.36解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有 N

18、 种选法，然后乙从剩余的两门选，有 空种不同的选 法，全不相同的选法是色必种方法，所以至少有一门不相同的选 法为c厂c：空=恥种不同的选法。解题策略：正难则反，等价转化的策略。6 用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （）A.324B.328C.360D.648解析：第一类个位是零， E E 共 g 种不同的排法。第二类个位不是零， 目 叵 CO 共毗晞种不同的解 法。解题策略：合理分类与准确分步的策略.7从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理，则甲、乙 至少有1 人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为（）A.85B.56C.49D.28解析：合理

19、分类，甲乙全被选中，有种选法，甲乙有一 个被选中，有空 G 种不同的选法，共。卜 49+=49 种不同 的选法。解题策略：(1) 特殊元素优先安排的策略，(2) 合理分类与准确分步的策略.8将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分 到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为()A.18B.24C.30D.30将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有皤种不同的分法，然后三组进行全排列共 翅种不同的方法；然后再把甲、乙分到一 个班的情况排除掉，共 眉种不同的排法。所以总的排法为 屜一后种 这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法 的问题。这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ： 这里不再详述。解题策略：1正难则反、等价转化的策略2 相邻问题捆绑处理的策略3排列、组合混合问题先选后排的策略；9.3 位男生和 3 位女生共 6