高中数学选修导数导学案

1、§1.1.1函数的平均变化率【知识要点】1函数的平均变化率：已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x ，yy1y0f(x1)f(x0) ，则当x0时，商_叫做函数yf(x)在x0到x0x之间的 2函数yf(x)的平均变化率的几何意义：_ 表示函数yf(x)图象上过两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的割线的 .【问题探究】在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题探究点一函数的平均变化率问题1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？问题2什么是平均变化率

2、，平均变化率有何作用？例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率问题3平均变化率有什么几何意义？跟踪训练1如图是函数yf(x)的图象，则：（1）函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；（2）函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_探究点二求函数的平均变化率例2已知函数f(x)x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：（1） 1,3；（2）1,2；（3）1,1.1；（4）1,1.001跟踪训练2分别求函数f(x)13x在自变量x从0变到1和从m变到n(mn)时的平均变化率问题一次函数ykxb(k0)在区间m，

3、n上的平均变化率有什么特点？探究点三平均变化率的应用例3甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？【当堂检测】1函数f(x)53x2在区间1,2上的平均变化率为_2一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度为_3甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是_【课堂小结】1函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢2求函数f(x)的平

4、均变化率的步骤：（1） 求函数值的增量yf(x2)f(x1)； （2）计算平均变化率.【拓展提高】1设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）A B C D2质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（ ）A B C D §1.1.2瞬时速度与导数【知识要点】1瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 设物体运动路程与时间的关系是ss(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0t这段时间内的平均变化率，当t0时的极限，即v _2瞬时变化率：一般地，函数yf(x)在x0处的瞬时变化率是 _.3导数的概念：一般地，函数yf(x)在x0处的瞬时变化率是_，我们称它为函

5、数yf(x)在xx0处的 ，记为 ，即f(x0) _4导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b) 这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数，于是在区间(a，b)内，构成一个新的函数，把这个函数称为函数yf(x)的 记为 或y(或yx )导函数通常简称为 【问题探究】探究点一瞬时速度问题1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？问题2物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？问题3如何描述物体在某

6、一时刻的运动状态？例1火箭竖直向上发射熄火时向上速度达到100 .试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?问题4火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？跟踪训练1质点M按规律s(t)at21做直线运动(位移单位：，时间单位：)若质点M在t2时的瞬时速度为8，求常数a的值探究点二导数问题1从平均速度当t0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？问题2导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？问题3导函数和函数在一点处的导数有什么关系？例2利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数跟踪训练2已知yf(x)，求f(2)探究点三导数的实际应用例

7、3一正方形铁板在0时，边长为10，加热后铁板会膨胀当温度为时，边长变为10(1at)，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率跟踪训练3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第x时，原油的温度(单位：)为yf(x)x27x15(0x8)计算第2 和第6 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义【当堂检测】1函数yf(x)在xx0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量x()A大于0 B小于0 C等于0 D不等于02一物体的运动方程是sat2(a为常数)，则该物体在tt0时的瞬时速度是 ()Aat0 Bat0 Cat0 D2at03已知f(x)x210，则f(x)

8、在x处的瞬时变化率是 ()A3 B3 C2 D24已知函数f(x)，则_【课堂小结】1瞬时速度是平均速度当t0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当x0时的极限值2利用导数定义求导数的步骤：（1）求函数的增量yf(x0x)f(x0)； （2）求平均变化率； （3）取极限得导数f(x0) .【拓展提高】1（ ）AB2C3D12一质点做直线运动,由始点起经过后的距离为,则速度为零的时刻是 （ ） A4末 B8末 C0与8末 D0,4,8末§1.1.3导数的几何意义【知识要点】1导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数yf(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0x

9、，f(x0x)的一条割线，此割线的斜率是_.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的 于是，当x0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k _.（2）导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的 也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 相应地，切线方程为_2函数的导数当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，是x的一个函数，称是f(x)的导函数(简称导数)也记作y，即y_【问题探究】探究点一导数的几何意义问题1如图，当点

10、Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？问题2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？ 图1 例1如图1，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况跟踪训练1（1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况（2）若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是 ()探究点二求切线的方程问题1怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程？问

11、题2曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？例2已知曲线yx2，求：（1） 曲线在点P(1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P(3,5)的切线方程跟踪训练2已知曲线y2x27，求：（1） 曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20? （2）曲线过点P(3,9)的切线方程【当堂检测】1已知曲线f(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 ()A4 B16 C8 D22若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则 ()Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b13已知曲线y2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_

12、【课堂小结】1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】1已知函数的图象在点处的切线方程是，则 2设为曲线：上的点，且曲线

13、在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 §12.1-2.2常数函数与幂函数的导数&公式表【知识要点】1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)cf(x)_f(x)xf(x)_f(x)x2f(x)_f(x)f(x)_f(x)f(x)_2基本初等函数的导数公式原函数导函数ycy_yxn(nN)y_yx(x>0，0且Q)y_ysin xy_ycos xy_yax(a>0，a1)y_yexy_ylogax(a>0，a1，x>0)y_yln xy_【问题探究】探究点一求导函数问题1怎样利用定义求函数yf(x)的导数？问题2利用定义求下列常用函数的导数

14、：（1） yc；（2）yx；（3）yx2；（4）y；（5）y.问题3利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1求下列函数的导数：（1） ysin；（2）y5x；（3）y；（4）y；（5）ylog3x.跟踪训练1求下列函数的导数：（1） yx8；（2）y()x；（3）yx；（4）探究点二求某一点处的导数例2判断下列计算是否正确求f(x)cos x在x处的导数，过程如下：fsin .跟踪训练2求函数f(x)在x1处的导数探究点三导数公式的综合应用例3已知直线x2y40与抛物线y2x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P

15、，使ABP的面积最大跟踪训练3点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离【当堂检测】1给出下列结论：若y，则y；若y，则y； 若y，则y2x3；若f(x)3x，则f(1)3.其中正确的个数是 () A1 B2 C3 D42函数f(x)，则f(3)等于 () A B0 C D3设正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A0，) B0，) C， D0，4曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_【课堂小结】1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，

16、积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.【拓展提高】1若函数f(x)ex cos x，则此函数的图象在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为()A0° B锐角 C直角 D钝角2 曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线方程为_§1.2.3导数的四则运算法则(一)【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(x)和g(x)两个函数的和的导数f(x)g(x)_两个函数的差的导数f(x)g(x)_两个函数的积的导

17、数_两个函数的商的导数_【问题探究】探究点一导数的运算法则问题1我们已经会求f(x)5和g(x)1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例1求下列函数的导数：（1） y3xlg x； （2）y(x21)(x1)； （3）y.跟踪训练1求下列函数的导数：（1） f(x)x·tan x； （2）f(x)22sin2； （3）f(x)； （4）f(x).探究点二导数的应用例2（1）曲线yxex2x1在点(0,1)处的切线方程为_（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象

18、限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为_（3）已知某运动着的物体的运动方程为s(t)2t2(位移单位：，时间单位：s)，求t3 s时物体的瞬时速度跟踪训练2（1）曲线y在点M处的切线的斜率为 ()A B. C D（2）设函数f(x)x3x2bxc，其中a>0，曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线方程为y1，确定b、c的值【当堂检测】1设y2exsin x，则y等于 ()A2excos x B2exsin x C2exsin x D2ex(sin xcos x)2曲线f(x)在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x23已知f(x)a

19、x33x22，若f(1)4，则a的值是()A B C D4已知f(x)x33xf(0)，则f(1)_5已知抛物线yax2bxc过点(1,1)，且在点(2，1)处与直线yx3相切，求a、b、c的值【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.§1.2.3导数的四则运算法则(二)导学案【知识要点】复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)

20、和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成 ，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作 .复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx . 即y对x的导数等于_. 【问题探究】探究点一复合函数的定义问题1观察函数y2xcos x及yln(x2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？例1指出下列函数是怎样复合而成的：（1） y(35x)2； （2）ylog3(x22x5)； （3）ycos 3x.跟踪训练1指出下

21、列函数由哪些函数复合而成：（1）yln ； （2）yesin x； （3）ycos (x1)探究点二复合函数的导数问题如何求复合函数的导数？例2求下列函数的导数：（1） y(2x1)4； （2）y； （3）ysin(2x)； （4）y102x3.跟踪训练2求下列函数的导数（1） yln ； （2）ye3x； （3）y5log2(2x1)探究点三导数的应用例3求曲线ye2x1在点(，1)处的切线方程跟踪训练3曲线ye2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程【当堂检测】1函数y(3x2)2的导数为()A2(3x2) B6x C6x(3x2) D6(3x2)2

22、若函数ysin2x，则y等于()Asin 2x B2sin x Csin xcos x Dcos2x3若yf(x2)，则y等于()A2xf(x2) B2xf(x) C4x2f(x) Df(x2)4设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.【课堂小结】求简单复合函数f(axb)的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数yf(u)，uaxb的形式，然后再分别对yf(u)与uaxb分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为yf(u)，uaxb的形式是关键.【拓展提高】 已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范

23、围为_§1.3.1利用导数判断函数的单调性【知识要点】一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f(x)>0单调递_ f(x)<0单调递_ f(x)0常函数【问题探究】探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题1观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？问题2若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f(x)一定大于零吗？问题3（1）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间（2） 函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1已知导函数f(x)的下列信息：当1&

24、lt;x<4时，f(x)>0；当x>4或x<1时，f(x)<0；当x4或x1时，f(x)0.试画出函数f(x)图象的大致形状跟踪训练1函数yf(x)的图象如图所示，试画出导函数f(x)图象的大致形状例2求下列函数的单调区间：（1） f(x)x34x2x1；（2）f(x)2x(ex1)x2；（3）f(x)3x22ln x.跟踪训练2求下列函数的单调区间：（1） f(x)x2ln x；（2）f(x)；（3）f(x)sin x(1cos x)(0x<2)探究点二函数的变化快慢与导数的关系问题我们知道导数的符号反映函数yf(x)的增减情况，怎样反映函数yf(x)增减

25、的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种？() 跟踪训练3（1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 （2）已知f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是 () 【当堂检测】1函数f(x)xln x在(0,6)上是 ()A单调增函数 B单调减函数C在上是减函数，在上是增函数

26、D在上是增函数，在上是减函数2 f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是() 3函数f(x)ln xax(a>0)的单调增区间为 ()A B C(0，) D(0，a)4（1）函数yx24xa的增区间为_，减区间为_（2）函数yx3x的增区间为_，减区间为_【课堂小结】1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)>0和f(x)<

27、;0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.【拓展提高】1已知函数（1）若函数的单调递减区间是，则的是 . （2）若函数在上是单调增函数，则的取值范围是 2函数f(x)的定义域为，且满足f(2)2， >1，则不等式f(x)x>0的解集为_3已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_4设函数f(x)xaln x.（1）若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线被圆x2y21截得的弦长为，求a的值；（2）若函数f(x)在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；§1.3.2利用导数研究函数的极值【知识要点】1极值的概念已知函数yf(x)，设x0是定义域(a

28、，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极大f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极小f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为 2求可导函数f(x)的极值的方法（1）求导数f(x)；（2）求方程 的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极 值如果f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极 值如果在f(x)0的根xx0的左右两侧符号不变，则f(x0) 【

29、问题探究】探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数yf(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？问题2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？问题3若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明例1求函数f(x)x33x29x5的极值 跟踪训练1求函数f(x)3ln x的极值探究点二利用函数极值确定参数的值问题已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？例2已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值跟

30、踪训练2设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点（1）试确定常数a和b的值；（2）判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由探究点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)x36x5，x.（1） 求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围跟踪训练3若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围【当堂检测】1“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2下列函数存在极值的是()Ay Byx

31、ex Cyx3x22x3 Dyx33已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为 ()A1<a<2 B3<a<6 Ca<1或a>2 Da<3或a>64设a，若函数yexax，x有大于零的极值点，则a的取值范围为_5直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是_【课堂小结】1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一

32、些方程的解和图象的交点问题.【拓展提高】1已知三次函数在和时取极值，且（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调区间和极值2若函数，当时，函数极值，（1）求函数的解析式；（2）若函数有3个解，求实数的取值范围§1.3.3利用导数研究函数的最值【知识要点】1函数f(x)在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得 2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：（1）求f(x)在开区间(a，b)内所有使 的点；（2）计算函数f(x)在区间内 和_的函数值，其中最大的一个为最大

33、值，最小的一个为最小值【问题探究】探究点一求函数的最值问题1如图，观察区间a，b上函数yf(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？问题2观察问题1的函数yf(x)，你能找出函数f(x)在区间a，b上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？问题3函数的极值和最值有什么区别和联系？问题4怎样求一个函数在闭区间上的最值？例1求下列函数的最值：（1） f(x)2x312x，x1,3； （2）f(x)xsin x，x0,2跟踪训练1求下列函数的最值：（1）f(x)x32x24x5，x3,1； （2）f(x)ex(3x2)，x2,5探究点二含参

34、数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)（1） 若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程（2）求f(x)在区间0,2上的最大值跟踪训练2已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值探究点三函数最值的应用问题函数最值和“恒成立”问题有什么联系？例3已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围跟踪训练3设函数f(x)2x39x212x8c，若对任意的x0,3，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围【当堂检测】1函数yf(x)在a，b上 ()A极大值一定比极小值大 B极大

35、值一定是最大值 C最大值一定是极大值 D最大值一定大于极小值2函数f(x)x33x(|x|<1)()A有最大值，但无最小值 B有最大值，也有最小值 C无最大值，但有最小值 D既无最大值，也无最小值3函数yxsin x，x的最大值是()A1 B1 C D14函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为_【课堂小结】1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2含参数的函数最值，可分类讨论求解 3“恒成立”问题可转化为函数最值问题.【拓展提高】1已知aln x对任意x恒成立，则a的最大值为() A0 B

36、1 C2 D32已知函数,过曲线上的点的切线方程为 （1）若函数在处有极值，求的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数在上的最大值；（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围§1.3.4导数的实际应用【知识要点】1在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 _或 这些都是最优化问题2求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一要建立实际问题的 写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，然后再利用导数研究函数的 【问题探究】题型一面积、体积的最值问题例1如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同

37、的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？跟踪训练1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长题型二强度最大、用料最省问题例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？题型三省时高效、费用最低问题例3如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150 km.在岸边距点B 300 km的点A处有一

38、军需品仓库有一批军需品要尽快送达海岛A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送火车时速为50 km，船时速为30 km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？跟踪训练3如图所示，设铁路AB50，BC10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？跟踪训练4某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3<x<6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克（1）

39、 求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大（2）【当堂检测】1方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ()A4 B6 C4.5 D82 某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为多少？3 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0<x120)已

40、知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【课堂小结】1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系；（2）列模型：列出实际问题的数学模型；（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；（4）求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；（5）比较：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；（6）结论：根据比较值写出答案2在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.习题课【双基

41、自测】1函数f(x)2xcos x在(，)上()A单调递增 B单调递减 C有最大值 D有最小值2若在区间(a，b)内，f(x)>0，且f(a)0，则在(a，b)内有()Af(x)>0 Bf(x)<0 Cf(x)0 D不能确定3设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0,1上的最小值为 ()A1 B0 C D4设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为 () 5若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的_条件【问题探究】题型一函数与其导函数之间的关系例1已知函数yxf(x)的图

42、象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则yf(x)的图象大致是() 跟踪训练1已知上可导函数yf(x)的图象如图所示，则不等式(x22x3)f(x)>0的解集为()A(，2)(1，) B(，2)(1,2)C(，1)(1,0)(2，) D(，1)(1,1)(3，)题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2设函数f(x)定义在(0，)上，f(1)0，导函数f(x)，g(x)f(x)f(x)（1） 求g(x)的单调区间和最小值（2）讨论g(x)与g()的大小关系跟踪训练2设a为实数，函数f(x)ex2x2a，x.（1） 求f(x)的单调区间与极值；（2）求证：当a>ln

43、21且x>0时，ex>x22ax1.题型三导数的综合应用例3已知函数f(x)x3ax1. （1）若f(x)在实数集上单调递增，求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由跟踪训练3（1）若函数f(x)4x3ax3的单调递减区间是，则实数a的值是多少？（2） 若函数f(x)4x3ax3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？【当堂检测】1函数f(x)x22ln x的单调递减区间是 ()A(0,1 B1，) C(，1，(0,1) D1,0)，(0,12若函数yx3x2mx1是上的单调函数，则实数m的取值范围是

44、()A B C D3设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是() 4设f(x)、g(x)是定义在上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)<0，则当a<x<b时有()Af(x)g(x)>f(b)g(b) Bf(x)g(a)>f(a)g(x) Cf(x)g(b)>f(b)g(x) Df(x)g(x)>f(a)g(a)5函数f(x)x3x22x5，若对于任意x1,2，都有f(x)<m，则实数m的取值范围是_【拓展提高】1等差数列中的是函数的极值点，则（ ）A B C D2函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是_3已知函数（），若函数在区间上是单调减函数，则的最小值是 4已知函数 （1）求函数的单调区间；（2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；（3）是否存在正数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由.§1.5.1曲边梯形面积与定积分(一) 【知识要点】1曲边梯形：曲线与 和 所围成的图形，通常叫做曲边梯形2曲边三角形或曲边梯形的面积：S_克服弹簧的拉力的变力所做的功：W_.【问题探究】探究点一求曲边梯形的