课题研究：数学建模

1、 课题研究之数学建模13目录摘要 Abstract 1.数学建模的定义 2.数学建模的建立 3. 数学建模的分类4. 数学建模的原则4.1可分析与推推导原则4.2简化原则4.3反映性原则5.应用模式的框架6.数学建模对大学生素质与能力的培养6.1 问题的提出6.2 问题的讨论6.3 建模的准备6.4 建模6.5 问题的补充7.设计总结8.参考文献 摘要数学建模与大学生能力的培养密切相关。本文依据现有文稿系统地分析了数学建模的各个方面，数学建模的定义、分类、建立、原则、框架等。同时，通过污染问题的引入和讨论，详细地阐述了建模的思维过程；并从该过程中映射出数学建模对四种重要思维能力的培养和提高，即

2、综合应用分析能力，“双向”翻译能力、联想能力、洞察能力。从而，使数学建模对大学生能力的培养，不言而喻。关健词 数学建模；思维过程；思维能力；环境污染。Abstract Mathematical Modeling and the ability to train college students are closely related.On the basis of the existing draft system to a mathematical analysis of the various aspects of modeling, mathematical modeling of de

3、finitions, classifications, establish, in principle, frameworks.Meanwhile, pollution and the introduction of the discussion, described in detail the thinking process modeling;And from the process of mapping out mathematical modeling of four critical thinking ability training and upgrading, comprehen

4、sive application of analytical ability, "two-way" translation, association, penetrating ability.Thus, the mathematical modeling of the students abilities, self-evident. Key words mathematical modeling; Thinking process; Thinking; Environmental pollution.众所周知，随着科学技术的发展，数学建模的应用也越来越广泛，并涉及多种科学

5、领域。计算机是数学和电子学相结合的产物，它在解决科学计算、模拟方面对数学有重要的作用。数学建模使用计算机使得求解更方便、快捷和精确，进而使得解决问题的领域扩大，从连续、离散确定性领域到随机的非确定性领域，计算机模拟正是处理这类问题的重要方法。同时，数学建模的训练不仅可以提高学生应用数学的意识，而且也是加强数学与实际的联系，实施数学素质教育的一个重要方面。通过数学建模训练，可以培养和提高学生多方面的思维能力。本文拟对数学建模与能力培养加以讨论和分析。数学建模的定义数学建模是针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构。这里的数学结构，有两方面

6、的具体要求：其一，这种结构是一种纯关系结构，即必须是经过数学抽象地扬弃了一切与关系无本质联系后的系统；其二，这种结构是用数学概念和数学符号来描述的。数学模型的建立把数学方法运用到任一实际问题，都需要把该问题的内在规律用数字、图表或公式、符号表示出来，经过数学的处理，得出供人们分析、预报、决策或控制的定量结果，这个过程就是建立数学模型的过程。这一过程是一个对研究对象进行具体分析和科学抽象的过程，目的在于找到一个能反映问题本质特征的，又是理想化、简单化的数学模型。这就要求我们要善于近似、简化与抽象，即要求我们深刻了解实际问题所属学科领域的基本规律，抓住问题中起关键作用的一些量及其相依关系，灵巧地运

7、用数学概念、符号、式子、规律去刻划其内在的、本质的规律性，这就是从宏观角度构造数模型的方法。从微观方面而言，我们面临的实际问题一般较为复杂，影响某一量变化的因素很多，往往是因素共存的。数学建模的分类根据数学模型的性质和建立数学模型的方法不同，可以对数学建模有各种不同的分类方法：按模型的来源分：理论模型和经验模型；按研究对象所在领域分：经济模型、生态模型、人口模型、交通模型等等；按模型所使用的数学工具可分：函数建模、方程建模、三角建模、概率建模、运筹建模、复数建模、数表建模等等；按对研究对象的内部结构和性能的了解程度可分：白箱建模、灰箱建模和黑箱建模；按模型的功能分：描述性数学建模和解释性数学建

8、模。4数学建模的原则4.1可分析与推导原则能通过数学模型对研究的问题进行理论分析与逻辑推导，并能得到一些确定的结果。4.2简化原则数学模型应比现实原则简单些。现实原则通常都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统。数学模型作为数学抽象的结果，应不同程度以抓住支配现象的最基本的东西，能使人们对原型系统的认识更加容易，能够起到化繁为简、化难为易的作用。此外，数学模型自身也应当是简单的，即建立数学模型时，应尽可能采用简单的数学工具。4.3反映性原则数学模型实际上是人对现实世界的一种反映形式。数学模型与现实原型在表述的关系上就应有一定的相似性。5 应用模式的框架应用模式一般包括三部分：实物动作转化

9、为数字信号，数据输入的部分；数字信号转化为实物动作，处理后决策信息输出的部分以及数学模型部分。数学模型是应用的核心部分，具有处理信息的功能，三部分构成应用模式统一整体。数学模型的建立一般包括以下几个步骤：模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验、模型推广和应用，模型假设与模型建立是最重要的两个步骤，两者构成机理分析。我们认识事物的两大主线为：分割和联系的原则；公有性与灵活性相结合。我们把这两条主线应用到模型假设和模型建立的过程中，列举出常见的具体方法，使人们对数学建模有一个更为细致和全面的认识。6 数学建模对大学生素质与能力的培养前面我们不遗余力地分析了数学建模的各个方面，使大家对数学

10、建模的概况有了基本的认识。现在我们开始讨论数学建模的主要体现方式，即：构造实际问题的数学模型，并对模型结果进行分析，检验，应用。其中，构造数学模型的探索过程，不仅可以提高学生应用数学的意识，而且也是加强教学与实际的联系，实施素质教育的一个重要方面。通过数学建模的训练可以培养和提高四个方面的思维能力：综合应用分析能力，“双向”翻译能力，联想能力和洞察能力。接下来，我们将引入一个具体实例，使得四个方面的思维能力在具体的例子中得到具体的体现。6.1 问题的提出：湖泊为人们提供了大量的水资源。除了饮用水外，还可以养鱼，运输，也是人们旅游的好处所。但是湖泊也承受着人们倾倒的垃圾以及工厂排放的废气等污染。

11、它们越来越受到工业和生物污水的污染，如洗涤剂中的磷酸盐，杀虫剂中的DDT和各种重金属化学元素等。这些污染会杀死水中的鱼类和各种水生的动植物。过多的磷酸盐将导致水体富营养化而发出难闻的气味。湖水污染的治理工作是困难的，试针对湖泊的特点建模来描述湖水的污染问题。6.2 问题的讨论：湖泊的特点之一是湖水覆盖的区域比较大，周围的污染源较为复杂，很难指明所污染的原因。湖泊污染的治理工作之所以困难是因为产生的污染现象还总是与社会的政治和经济上的因素有着千丝万缕的联系，不考虑这些因素很难得到全面的治理。通常治理水体污染的办法是依靠自然的过程，靠水体本身的自净能力来缓解污染。这对河流的污染治理一般是有效的，因

12、为它一旦被污染通常可以很快地进行自我清洁，对于被污染的湖水来说却是一不是一件容易的事情，因为被污染的水体将相当长的时间留在湖中，仅仅依靠生物的降解作用，一个大的湖泊要花费多久的时间才能使它的污染程度有明显的改善呢？因此，一个湖泊中的水的平均保留时间对于湖水水质清洁的改善是非常重要的。显然，它是我们研究湖泊问题的关键参数。通过上述的分析讨论，我们可以得到以下的三个结论：（1）湖泊的污染问题受多方面因素的影响。（2）湖泊的污染问题不能靠水体的自我清洁得以有效的解决。（3）湖泊的污染问题与湖泊中的水的平均保留时间密切相关。6.3 建模的准备：通过2中的讨论，我们对湖泊的污染问题有了大致的了解，而且也

13、找到了解决问题的方向。在实际问题中，最初的资料可能很多很繁杂。在充分占有资料的基础上，如何迅速地抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题层次，是数学建模的重要要求之一，即“洞察能力”。它是一种直觉地领悟，把握事物内在本质的能力，或简言之，这就是“一眼看穿”的能力。下面我们将通过对问题的进一步讨论和探索，运用“综合应用分析能力”（即用已学到的数学思想和方法进行综合应用分析），使问题抽象成基本的数学模型。在这一分析过程中，我们将看到数学建模对思维能力的培养是不言而喻的。首先，考虑2中的结论（1），由于污染源较多，我们不可能对各种物质（污染物）都进行分析，但介于它们对湖水都有影响，所以我们可以抽象出最本

14、质的部分，即湖水中污染物的浓度，并以此来界定湖泊的污染状况。另外，由于污染物的流入与流出的渠道不同，且污染物的浓度导致与湖水的混合速度也不同，为了能够得到统一的处理方法，我们可以考虑将所有的“流入”合并成唯一的进入渠道，将所有的“流出”合并成唯一的输出渠道。同时，假设所有的污染物都是“速溶”的，不造成各个局部污染浓度的差异。其次，2中的（2）使我们可以从宏观上忽略生物学因素，即忽略水体自净过程的作用，亦即，除流出外，污染物的腐烂沉积，蒸发等因素可忽略不计。最后，2中的（3）提供了研究问题的重要参数，即湖水的保留时间。从另一个角度思考，即为排尽湖水所需要的时间。据自然常识，我们知道，湖水的含水量

15、在不同的季节，受降雨量的影响。此外，由于天气的温度状况，还会引起蒸发较快的现象，并且将会影响流入物。综上所述，我们可以建立一个理想的数学模型，该模型可以抽象为一个简单的“物理模型”：池水含盐问题。下面我们来引入这一问题：（背景）池中有一定体积的盐水，从池的一端向池中注入一定浓度的盐水。混合的盐水将从池的另一端流出。以下，为了便于解决“污染问题”，我们现在用建模描述池中盐水浓度的动态：（1）假设：1 假设注入池中盐水迅速地与池中原有的盐水均匀混合，从而改变了池中盐水的浓度。2 参与模型的变量是连续变化的，并且充分光滑。（2）建模:分析由假设可知，池中盐水的体积和浓度将仅仅依赖于盐水注入的速度和流

16、出的盐水的速度和浓度。我们可以用数学符号把它们翻译过来：令r1(t),p1(t)分别表示盐水注入的速度和浓度，r0(t),p0(t)为盐水流出的速度和浓度，V(t)为池内盐水的体积，p(t)为池中盐水的浓度。显然，这些量都是关于时间t的函数，可以假设它们是充分光滑的（连续可导）由于(1)中的量都随时间连续变化，我们可以在较小的时间段内考虑这些量之间的变化关系。按照物质平衡原理，在时间段t,t+*t内，池中纯盐的改变量应等于在这段时间内流入的纯盐量与流出的纯盐量之差；池中的盐水体积的改变量应等于在这段时内流出的盐水体积与流入的盐水体积之差。求解据分析易得，在较小的时间段t,t+t内，槽中纯盐水的

17、改变量为：P(t+t)V(t+t)-P(t)V(t)槽中纯盐水的流入量为：P1(z)r1(z)dz槽中纯盐水的流出量为：P0(z)r0(z)dz积分中值从而，有P(t+t)V(t+t)-P(t)V(t)= P1(z)r1(z)- P0(z)r0(z) dz= P1 (t+µt)r1(t+µt)- P0 (t+µt)r0(t+µt) t上式两端同除以t，并令t0，取极限，得p(t)v(t)=p1(t)r1(t)- p0(t)r0(t)由假设知，P0(t)=P(t)，则有p(t)v(t)=p1(t)r1(t)- p (t)r0(t)（1）再讨论池中盐水的体积

18、V(t)的变化。类假上面的讨论，利用在t,t+t池中盐水体积变化的平衡关系，有V(t+t)-V(t)=r1(t+µt)- r0(t+µt) t等式两端同除以t，并令t0，取极限，得=r1(t)- r0(t) 即V(t)= r1(z)-r0(z)dz（2）将（2）式代入（1）式，有V(t) = r1(t)p1(t)- p (t)（3）因此，已知r1(t),r0(t),p1(t)可由该方程描述池中盐水的体积V(t)和盐水的浓度P(t)的变化过程。6.4建模（针对湖泊的特点建模来描述湖水的污染问题）（1）假设：不区分不同污染物所造成的污染，以湖泊中污染物的浓度来标志湖泊污染的状况

19、；不考虑从不同的渠道流入与流出湖泊的污染物之间的区别。把湖泊看成是一个单流入单流出的系统。（仅考虑携带污染物的水流入湖泊和湖泊中的水流出对湖水污染程度的影响）流入湖泊的污染物能以很快的速度与湖中的水均匀混合，也就是说湖泊的污染状况与任何局部水体在湖泊中的位置无关。参与模型的变量是连续变化的，并且充分光滑。不考虑生物学因素在水体自净过程中的作用。污染物除流出外不因腐烂沉积或其他任何方式从湖中消失。湖中水体的体积保持常数，也就是说，假设由降水等引起的流入物的增量与被蒸发渗漏所造成的损失量互相抵消。不考虑湖水的体积在季节上的差别，并认为流入湖泊的水和从湖泊中流出的水的流速是常定的，而且是相等的。（2

20、）建模：首先，用数学符号表示参与模型的变量： R1(t)为时刻t流入湖泊的水的流速； R0(t)为时刻t从湖泊中流出的水的流速；P1(t)为时刻t流入湖泊中的污染物的浓度；P(t)为时刻t湖水中污染物的浓度;V(t)为时刻t湖水的体积。这样，实际问题中的条件就被我们“翻译”成了数学语言。把实际问题经过一定抽象和简化，用数学语言表达出来，即是“双向翻译”能力之一。 同时，由假设-可知，模型与准备中所讨论的模型一致。不少实际问题，看似完全不同，但在一定简化层次下，它们的数学模型是相同或相似的。这就是数学建模所能够 培养的另一种能力“联想能力”。它也是建模应用广泛性的体现，需要有广泛的兴趣，多思考，

21、通过熟能生巧达到触类旁通的境界。 其次，由假设有r1(t)= r0(t)=r1(常数)。从而，湖水体积V(t)=V也是常数，结合“建模的准备”中的（3）式有：V=r1(p1(t)- p(t)令z=v/r1不难看出，参数z给出了排尽湖水所需要的时间，即湖水的保留时间。它是分析湖水污染问题的一个重要参数。这一点在前面也是提到。于是，湖水污染的模型就是z= p1(t)- p(t)6.5 问题的补充：由于模型的分析和模型的检验较为复杂且涉及到相关部门的保密数据，而我们主要讨论的数学建模与能力培养在这一过程中已基本得以体现，故在此不做赘述。需要补充的是，不同污染物对湖水的影响的行为特征其实是不同的。深入建模描述污染物现象