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文档简介

1、回复回复(huf)(huf)力:力:kxf 动力学方程动力学方程(fngchng)(fngchng):0dd222 xtx运动学方程运动学方程(fngchng)(fngchng):)cos( tAx能量:221kAEEEpk EEEpk21 简谐振动的特征动能势能相互转化动能势能相互转化第第2页页/共共36页页第1页/共36页第一页,共37页。简谐振动(zhndng)的描述一、描述(mio sh)简谐振动的物理量 振幅振幅(zhnf)A: 角频率 :mk 周期周期 T 和频率和频率 :22020 vxA 00 xvtg 相位( t + ) 和 初相 :相位差相位差 :)()(1122 ttT

2、2 2TT1 的确定!的确定!第第3页页/共共36页页第2页/共36页第二页,共37页。1、解析、解析(ji x)法法)cos( tAx)sin( tAv2.振动振动(zhndng)曲线法曲线法3、旋转、旋转(xunzhun)矢量法:矢量法: AAp txo M0 tt 二、简谐振动的研究方法二、简谐振动的研究方法24y)(stA -A 第第4页页/共共36页页第3页/共36页第三页,共37页。1.1.同方向、同频率同方向、同频率(pnl)(pnl)的简谐振动的简谐振动的合成:的合成:)()()(21txtxtx )cos( tA)cos(212212221 AAAAA22112211cosc

3、ossinsin AAAAarctg A2A1Axx2x1xo1 2 简谐振动(zhndng)的合成第第5页页/共共36页页第4页/共36页第四页,共37页。驱动力作正功 = 阻尼力作负功逐渐耗尽守恒能 量振动曲线先变化后稳定。逐渐减小振 幅频 率受 力受 迫 振 动阻尼振动简谐振动 运动形式22020 vxA kxf vkxf tFvkxf cos0 mk 0220 策策 otxxtoxt阻尼振动(z n zhn dn) 受迫振动速度共振速度共振位移共振位移共振第第6页页/共共36页页第5页/共36页第五页,共37页。机械波的产生(chnshng)1、产生的条件、产生的条件(tiojin):

4、波源及弹性:波源及弹性媒质。媒质。2、分类、分类(fn li):横波、纵波。:横波、纵波。3、描述波动的物理量:、描述波动的物理量:波长 :在同一波线上两个相邻的相位差为2 的质元 之间的距离。 周期T :波前进一个波长的距离所需的时间。频率 :单位时间内通过介质中某点的完整波的数目。波速u :波在介质中的传播速度为波速。各物理量间的关系:各物理量间的关系:Tu 波速波速u : 决定于媒质。决定于媒质。 ,T仅由波源决定,与媒质无关。第第7页页/共共36页页第6页/共36页第六页,共37页。机械波的描述(mio sh)波前波前波面波面波线波线波线波线波前波前波面波面1、几何、几何(j h)描述

5、:描述:2、解析(ji x)描述:)(cos),(0 uxtAtxy)2(cos),(0 xtAtxy第第8页页/共共36页页第7页/共36页第七页,共37页。1)能量)能量(nngling)密度:密度:)(sin0222 uxtAw3)能流密度)能流密度(波的强度波的强度(qingd):uAuwI2221 2)平均)平均(pngjn)能量密能量密度:度:2221 Aw 基本原理:传播独立性原理,波的叠加原理。基本原理:传播独立性原理,波的叠加原理。波动过程中能量的传播波在介质中的传播规律1)相干条件:频率相同、振动方向相同、相位差恒定)相干条件:频率相同、振动方向相同、相位差恒定波的干涉现象

6、:波的反射(波疏媒质现象:波的反射(波疏媒质 波密媒质波密媒质 界面处存在界面处存在半波损失半波损失)第第9页页/共共36页页第8页/共36页第八页,共37页。干涉干涉(gnsh)减减弱:弱:,.)2 , 1 ,0()12( kk krr 122)12( k2)加强)加强(jiqing)与减弱的条件:与减弱的条件:干涉干涉(gnsh)加强:加强:,.)2, 1 ,0(2 kk 2010若2010若3)驻波(干涉特例)驻波(干涉特例)波节:振幅为零的点波节:振幅为零的点波腹:振幅最大的点波腹:振幅最大的点能量不传播能量不传播第第10页页/共共36页页第9页/共36页第九页,共37页。多普勒效应多

7、普勒效应(xioyng): (以媒质为参(以媒质为参考系)考系)1)S 静止静止(jngzh),R 运动运动sRRuVu s2)S 运动运动(yndng),R 静止静止ssRVuu R一般运动:一般运动:ssRRVuVu 第第11页页/共共36页页第10页/共36页第十页,共37页。习题习题(xt)(xt)类别:类别:振动:振动:1、简谐振动的判定、简谐振动的判定(pndng)。(动力学)。(动力学) (质点:牛顿运动定律。刚体:转动定律。)(质点:牛顿运动定律。刚体:转动定律。)2、振动方程的求法。、振动方程的求法。 由已知条件求方程由振动曲线求方程。由已知条件求方程由振动曲线求方程。3、简

8、谐振动的合成。、简谐振动的合成。波动:波动:1、求波函数(波动方程)。、求波函数(波动方程)。 由已知条件求方程由振动由已知条件求方程由振动(zhndng)曲线求方程。曲线求方程。 由波动曲线求方程。由波动曲线求方程。 2、波的干涉(含驻波)。、波的干涉(含驻波)。 3、波的能量的求法。、波的能量的求法。 4、多普勒效应。、多普勒效应。第第12页页/共共36页页第11页/共36页第十一页,共37页。相位相位(xingwi)、相位、相位(xingwi)差和初相位差和初相位(xingwi)的求法:的求法:解析法和旋转解析法和旋转(xunzhun)矢量法。矢量法。1、由已知的初条件、由已知的初条件(

9、tiojin)求初相求初相位:位:已知初速度的大小、正负以及初位置的正负。已知初速度的大小、正负以及初位置的正负。已知初位置的大小、正负以及初速度的正负。已知初位置的大小、正负以及初速度的正负。例例1已知某质点振动的初位置已知某质点振动的初位置 。 0200 vAy且且3 )cos( tAy3 )3cos( tAy例例2已知某质点初速度已知某质点初速度 。02100 yAv且且 )sin( tAvAAv 21sin0 656 or65 00 y第第13页页/共共36页页第12页/共36页第十二页,共37页。2、已知某质点的振动曲线、已知某质点的振动曲线(qxin)求初相位:求初相位:已知初位置

10、的大小、正负已知初位置的大小、正负(zhn f)以及初速度以及初速度的大小。的大小。例例3已知某质点振动已知某质点振动(zhndng)的初位的初位置置 。 AvAy 95. 03 . 000 且且.00的的可可能能值值由由 yvtg.0的的值值的的正正负负确确定定由由 y注意!注意!由已知的初条件确定初相位时,不能仅由一个初始由已知的初条件确定初相位时,不能仅由一个初始 条件确定初相位。条件确定初相位。 若已知某质点的振动曲线,则由曲线可看出,t = 0 时刻质点振动的初位置的大小和正负及初速度的正负。关键:关键:确定振动初速度的正负确定振动初速度的正负。yto12考虑斜率。考虑斜率。第第14

11、页页/共共36页页第13页/共36页第十三页,共37页。例例4 一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。 求:求: 1)该质元的振动初相。)该质元的振动初相。 2)该质元在态)该质元在态A、B 时的振动相位分别时的振动相位分别(fnbi)是多少?是多少?yAtocBA A22 A2)由图知)由图知A、B 点的振动点的振动(zhndng)状状态为:态为:022000 vAyt时,时,由旋转由旋转(xunzhun)矢矢量法知:量法知:yA22 c43 o解:解:1)由图知初始条件为:)由图知初始条件为:00 AAvy0 BBvAy由旋转矢量法知:由旋转矢量法知:

12、AB2 A0 B 第第15页页/共共36页页第14页/共36页第十四页,共37页。3、已知波形、已知波形(b xn)曲线求某点处质元振动的初相曲线求某点处质元振动的初相位:位: 若已知某时刻若已知某时刻 t 的波形曲线求某点处质元振动的初相的波形曲线求某点处质元振动的初相位,则需从波形曲线中找出该质元的振动位移位,则需从波形曲线中找出该质元的振动位移 y0 的大小的大小和正负和正负(zhn f)及速度的正负及速度的正负(zhn f)。12yxouP关键:确定振动关键:确定振动(zhndng)速度的正速度的正负。负。方法:由波的传播方向,确定比该质方法:由波的传播方向,确定比该质 元先振动的相邻

13、质元的位移元先振动的相邻质元的位移 y 。 比较比较y0 和和 y 。,则,则若若;则则,若若00000 vyyvyyo由图知:由图知: 对于对于1:。则则,00 ovyy。,则则000 vyy对于2 :思考思考? 若传播方向相反若传播方向相反 时振动方向如何?时振动方向如何?第第16页页/共共36页页第15页/共36页第十五页,共37页。例例5一列平面简谐波某时刻的波动曲线如图。一列平面简谐波某时刻的波动曲线如图。 求:求:1)该波线上点)该波线上点A及及B 处对应处对应(duyng)质元的振动相位。质元的振动相位。 2)若波形图对应)若波形图对应(duyng)t = 0 时,点时,点A处对

14、应处对应(duyng)质元质元的振动初相位。的振动初相位。 3)若波形图对应)若波形图对应(duyng)t = T/4 时,点时,点A处对应处对应(duyng)质质元的振动初相位。元的振动初相位。解:解:1)由图知)由图知A、B 点的振动点的振动(zhndng)状状态为:态为:00 AAvy0 BBvAy由旋转由旋转(xunzhun)矢矢量法知:量法知:2 A0 B BA2)若波形图对应t = 0 时, 点A 处对应质元的振动初相位:20 A3)若波形图对应t = T/4 时,点A处对应质元的振动初相位:20 AtT 2 00 A yAxocBA A22 Au第第17页页/共共36页页第16页

15、/共36页第十六页,共37页。求振动(zhndng)方程和波动方程(1)写出)写出x=0处质点处质点(zhdin)振动振动方程;方程;(2)写出波的表达式;)写出波的表达式;(3)画出)画出t=1s时的波形。时的波形。y)(st2422/2例例1.一简谐波沿一简谐波沿x轴正向传播轴正向传播(chunb),=4m, T=4s, x=0处振动曲线如图:处振动曲线如图: 3 3x)x)- -(t(t2 2coscos2 2y y1,1,T T(2)u(2)u ););3 3t t2 2cos(cos(2 2所以y所以y; ;3 3所以所以0,0,;又v;又v3 3得得; ;coscos2 22 22

16、 20,0,由t由t; ;2 2T T2 2; ;2 2A A););Acos(Acos(t t(1)y(1)y0 0 解:解:第第18页页/共共36页页第17页/共36页第十七页,共37页。解:解:1)由题意)由题意(t y)知:知: 5002 m200 传播传播(chunb)方向方向向左。向左。2/2A)(my)(mxoA Pm200设波动设波动(bdng)方程方程为:为:)2cos(0 xtAy由旋转矢量法知:由旋转矢量法知:o4Ay40 )42002500cos( xtAy2)mx100)45500cos( tAy)45500sin(500dd tAtyvy例例2 一平面简谐波在一平面

17、简谐波在 t = 0 时刻的波形图,设此简谐波的频率时刻的波形图,设此简谐波的频率 为为250Hz,且此时质点且此时质点P 的运动方向向下的运动方向向下 , 。 求:求:1)该波的波动方程;)该波的波动方程; 2)在距)在距O点为点为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。处质点的振动方程与振动速度表达式。m200 第第19页页/共共36页页第18页/共36页第十八页,共37页。例例3 位于位于 A,B两点的两个波源两点的两个波源(byun),振幅相等振幅相等,频率都是频率都是100赫赫兹,相位差为兹,相位差为 ,其其A,B相距相距30米,波速为米,波速为400米米/秒,求秒,求: A,B

18、连线之连线之间因干涉而静止各点的位置。间因干涉而静止各点的位置。解:取解:取A点为坐标原点,点为坐标原点,A、B联线为联线为x轴,取轴,取A点的振动点的振动(zhndng)方方程程 :)cos( tAyA在在x轴上轴上A点发出点发出(fch)的行波方程:的行波方程:)2cos( xtAyA B点的振动方程点的振动方程 :)0cos( tAyB BAxxm30 x30O在在x轴上轴上B点发出的行波方程:点发出的行波方程:)30(20cos xtAyB 因为两波同频率同振幅同方向振动因为两波同频率同振幅同方向振动,所以相干为静止的点满足:所以相干为静止的点满足: ) 12()30(22 kxx,.

19、2, 1, 0 k第第20页页/共共36页页第19页/共36页第十九页,共37页。相干相干(xinggn)相消的点需满足:相消的点需满足: )1(230 kxsec/4mu ,.2, 1, 0217 kkxmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3 , 1 可见可见(kjin)在在A、B两点是波腹处。两点是波腹处。BAxxm30 x30 )12()30(22 kxx, 2, 1, 0 k第第21页页/共共36页页第20页/共36页第二十页,共37页。则有:)(2cos xTtAy入入223)(2cos xTtA)(2cos xTtA反反入入yyy )2cos()2cos(2 xTtA

20、解:设入射波的波函数为:)2(2cos xOPTtAy反反合振动(zhndng)为:例题例题4:如图,一平面简谐波沿:如图,一平面简谐波沿ox轴正向传播,轴正向传播,BC为波密媒为波密媒质的反射面,波由质的反射面,波由P点反射,点反射,OP=3/4,DP=/6.在在t=0时点时点O处处的质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动的质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动(yndng)。求。求点点D处入射波与反射波的合振动方程(设振幅都为处入射波与反射波的合振动方程(设振幅都为A,频率都为频率都为)。)。 xxBCPDO入射入射反射反射第第22页页/共共36页页第21页/共36页第二十一页,共37页。

21、)2cos()22cos(2 xTtAy 12/72cos)22cos(2 TtAyD)22cos(6cos2 TtA)22cos(232 TtA)(2sin3SItA 将D点的坐标(zubio)代入上式,有所以(suy)有故有:又由时时处处0,0 tx00cos2 vAy且且 2/ 第第23页页/共共36页页第22页/共36页第二十二页,共37页。)(2cos1TtxAy)/(2cos2TtxAy21yyy)21/2cos()21/2cos(2TtxAnx21/2)21(21nx2121/2nxnx21例5. 设入射波的表达式为 反射点为一固定端设反射时无能量损失(snsh),求 (1) 反

22、射波的表达式; (2) 合成的驻波的表达式; (3) 波腹和波节的位置 解:(1) 反射点是固定端,所以反射有相位突变p,且反射波振幅为A,因此反射波的表达式为 (3) 波腹位置(wi zhi): 波节位置(wi zhi): , n = 1, 2, 3, 4,在x = 0处发生反射,(2) 驻波的表达式n = 1, 2, 3, 4,第第24页页/共共36页页第23页/共36页第二十三页,共37页。在均匀不吸收能量的媒质在均匀不吸收能量的媒质(mizh)(mizh)中传中传播的平面波在行进方向上振幅不变。播的平面波在行进方向上振幅不变。借助于上式和能量守恒可讨论借助于上式和能量守恒可讨论(tol

23、n)(toln)波传播时振幅的变化:波传播时振幅的变化:讨论讨论(toln): (toln): 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅证明:因为证明:因为在一个周期在一个周期T内通过内通过1S和和2S面的能量应该相等面的能量应该相等,TSITSI2211 SSS 21TSAuTSAu222212122121 21AA 所以所以, ,平面波振幅相等:平面波振幅相等:u1S2S第第25页页/共共36页页第24页/共36页第二十四页,共37页。2224 rS 2211rArA ;rS2114 2r由于振动的相位随距离的增加而由于振动的相位随距离的增加而落后的关系,与平面波类似,球落后的关系,与平面

24、波类似,球面简谐波的波函数:面简谐波的波函数:)(cosurtrAy 1r球面波球面波TSAuTSAu222212122121 所以振幅与离波源的距离所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位成反比。如果距波源单位距离的振幅为距离的振幅为ArA则距波源r处的振幅为第第26页页/共共36页页第25页/共36页第二十五页,共37页。例例6 一个点波源位于一个点波源位于O点,以点,以O为圆心作两个为圆心作两个(lin )同心球面,半径分同心球面,半径分 别为别为R1 、R2 。在两个。在两个(lin )球面上分别取相等的面积球面上分别取相等的面积S 1和和 S 2, 则通过它们的平均能流之比则通过

25、它们的平均能流之比P 1 / P2为:为:uSAP22211R2Ro1S2S1S2S21RRPP222212212121uSAuSA2222212144RARA1221RRAA1221121SuAP2222221SuAP2122222121RRAAPP第第27页页/共共36页页第26页/共36页第二十六页,共37页。1、已知某简谐振动的振动曲线如图所示,位移的单位为厘米,、已知某简谐振动的振动曲线如图所示,位移的单位为厘米, 时间时间(shjin)的单位为秒,则简谐振动的振动方程为:的单位为秒,则简谐振动的振动方程为:cmtxEcmtxDcmtxCcmtxBcmtxA)4/3/4cos(2)3

26、/23/4cos(2)3/23/4cos(2)3/23/2cos(2)3/23/2cos(2) )(cmx1o)(st21 C 32第第28页页/共共36页页第27页/共36页第二十七页,共37页。2、图示为一向右传播(chunb)的简谐波在 t 时刻的波形图,BC为波密 介质的反射面,P点反射,则反射波在 t 时刻的波形图为:yxoACBPxoAPyxoAPyxoAPyxoAPy B (A)(B)(C)(D)第第29页页/共共36页页第28页/共36页第二十八页,共37页。3、一平面简谐波沿、一平面简谐波沿 x 轴负方向传播。已知轴负方向传播。已知 x = x0 处质点的处质点的 振动方程振

27、动方程(fngchng)为为 。若波速为。若波速为u,则此波的则此波的 波动方程波动方程(fngchng)为:为:)cos(0 tAy 00000000/)(cos)/)(cos)/)(cos)/)(cos) uxxtAyDuxxtAyCuxxtAyBuxxtAyA A ox0 xx)(cos),(0 uxtAtxy第第30页页/共共36页页第29页/共36页第二十九页,共37页。4、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动,它们、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动,它们(t men)的振的振动方动方 程分别为程分别为 其合成运动的运动方程为其合成运动的运动方程为 x = ( )()12/19c

28、os(05.0)()4/cos(05.021SItxSItx )12cos(05.0 t1M1x2x2M第第31页页/共共36页页第30页/共36页第三十页,共37页。5、已知三个简谐振动、已知三个简谐振动(zhndng)曲线,则振动曲线,则振动(zhndng)方方程分别为:程分别为:txcos1.01)2cos(1.02tx)cos(1.03txto10)(cmx102x2133x1x1x3x2x第第32页页/共共36页页第31页/共36页第三十一页,共37页。)2cos(1 tAy6、两相干波源、两相干波源S 1 和和 S 2 的振动方程是的振动方程是 , S 1 距距P 点点 6 个波长

29、,个波长, S 2 距距P 点为点为13 / 4 个波长。两波在个波长。两波在P点的相位差的绝对值为?点的相位差的绝对值为?tAy cos2 2x 1x 1s2sp2)(cos11 uxtAyp)(cos22uxtAyp 61 x 4132 x2)6(21 utT)413(22utT )413(22)6(2utTutT 213212 5 第第33页页/共共36页页第32页/共36页第三十二页,共37页。例例一平面简谐波沿一平面简谐波沿Ox 轴的负向传播,波长为轴的负向传播,波长为 ,P 处质点的处质点的 振动规律如图。振动规律如图。 求:求: 1)P 处质点的振动方程。处质点的振动方程。 2)该波的波动方程。)该波的波动方程。 3)若图中)若图中 ,求坐标原点,求坐标原点O 处质点的振动方程。处质点的振动方程。2

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