计量经济学第四章2序列相关性

1、4.2 4.2 序列相关性序列相关性一、序列相关性的概念一、序列相关性的概念如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，即：种相关性，即：Cov(Cov( i i , , j j)0 )0 i i j j, , i i, ,j j=1,2, =1,2, ,n,n则认为出现了则认为出现了序列相关性（序列相关性（serial correlationserial correlation）。对于模型：对于模型： Y Yi i= = 0 0+ + 1 1X X1i1i+ + 2 2X X2i2i+ k kX Xki

2、ki+ + i i i i=1,2, ,n=1,2, ,n在其他假设仍成立的条件下，序序列列相相关关即意味着0)(jiE2112)()()()(nnEEECov2112nnI22# # 序列相关性下的方差协方差阵序列相关性下的方差协方差阵此时，随机误差项之间的此时，随机误差项之间的方差协方差阵方差协方差阵为：为：# # 自相关（自相关（autocorrelationautocorrelation）序列相关经常出现在以序列相关经常出现在以时间序列时间序列数据为样本的模型中，此时，不同样本数据为样本的模型中，此时，不同样本点的区别仅在于点的区别仅在于时间时间的不同的不同这意味着，此时的序列相关性表

3、现为这意味着，此时的序列相关性表现为不同时间上的随机误差项不同时间上的随机误差项存在相关，存在相关，这一情形下的序列相关也通常称之为这一情形下的序列相关也通常称之为自相关自相关为此，本节将表示不同样本点的下标为此，本节将表示不同样本点的下标 i i 改为改为 t t 。# # 一阶自相关（一阶自相关（first-order autocorrelationfirst-order autocorrelation）序列相关的一般形式可以表示成：序列相关的一般形式可以表示成：1122tttptpt 称为称为P P阶自回归阶自回归形式形式 表示模型存在表示模型存在P P阶自相关阶自相关。 t t1 1、

4、 t t2 2、 t tp p分别表示分别表示 t t的前的前1 1期、前期、前2 2期、期、前、前p p期项，期项，又称为又称为滞后滞后1 1期、滞后期、滞后2 2期、期、滞后、滞后p p期期项。项。 1 1、 2 2、， p p称为称为1 1阶、阶、2 2阶、阶、，p p阶自相关系数。阶自相关系数。# # 高阶自相关（高阶自相关（high-order autocorrelationhigh-order autocorrelation） 二、实际经济问题中的序列相关性二、实际经济问题中的序列相关性 1 1、经济变量固有的惯性、经济变量固有的惯性2 2、经济行为的滞后性、经济行为的滞后性3 3

5、、模型设定的偏误、模型设定的偏误 例如：例如： 季度数据季度数据来自来自月度数据月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动性，从而使随机干扰项出现序列相关。数据的波动性，从而使随机干扰项出现序列相关。 还有就是两个时间点之间的还有就是两个时间点之间的“内插内插”技术往往导致随机项的序列技术往往导致随机项的序列相关性。相关性。4 4、数据的处理、数据的处理* * 通常情形下，采用通常情形下，采用OLSOLS将会低估参数估计量的标准差，将会低估参数估计量的标准差，也会低估随机误差项的方差也会低估随机误差项的方差2 2 在变量的显著性检验中，统计量是建

6、立在参数方差正确估计基础之上在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差正确估计基础之上的，这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立。的，这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立。参数估计值非有效（真实方差往往被参数估计值非有效（真实方差往往被低估低估），失去最优性，样本估计），失去最优性，样本估计式失准式失准随机误差项的方差一般会被随机误差项的方差一般会被低估低估区间预测与参数估计量的方差和随机误差项的方差均有关区间预测与参数估计量的方差和随机误差项的方差均有关在方差有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测可信度降低。在方差有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测可信

7、度降低。所以，当所以，当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效。模型出现序列相关性时，它的预测功能失效。然后，通过分析这些然后，通过分析这些“近似估计量近似估计量”之间的相关性，以之间的相关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。判断随机误差项是否具有序列相关性。首首 先先 ，采 用 OLS 法 估 计 模 型 ，以 求 得 随 机 误 差 项 的“ 近近 似似 估估计计 量量 ” ， 用ei表 示 ： lsiiiYYe0)(基本思路基本思路 ：（一）图示检验法（一）图示检验法tet 1ttee （二）回归检验法（二）回归检验法 以te为 被 解 释 变 量 ， 以 各 种 可 能 的 相 关

8、 量 ， 诸 如 以1te、2te、2te等 为 解 释 变 量 ， 建 立 各 种 方 程 ： tttee1tttteee2211 （三）杜宾（三）杜宾- -瓦森检验法（瓦森检验法（DWDW检验）检验） D-W D-W检验是杜宾（检验是杜宾（J.DurbinJ.Durbin）和瓦森）和瓦森(G.S. Watson)(G.S. Watson)于于19511951年提出的一种检验序列自相关的方法年提出的一种检验序列自相关的方法 该方法该方法只适用于检验一阶自相关只适用于检验一阶自相关nttnttteeeWD12221)(.# DW# DW检验的图示检验的图示nttntntnttttteeeeeW

9、D1222212122.(*)1(2)1(2.1221nttnttteeeWDDWDW检验是最常用的自相关性的检验方法，在报告回归分析的结果检验是最常用的自相关性的检验方法，在报告回归分析的结果时，一般将时，一般将DWDW值值连同连同R R2 2、t t值值等一起标明。但在应用等一起标明。但在应用DWDW检验时需检验时需要注意：要注意： 1 1）DWDW值接近于值接近于2 2时，只能说明模型不存在时，只能说明模型不存在一阶线性自相关一阶线性自相关，但并，但并不意味着模型不存在高阶自相关或者非线性相关不意味着模型不存在高阶自相关或者非线性相关 2 2）DWDW值落入两个无法判断的区域时，需要采用

10、其它检验方法值落入两个无法判断的区域时，需要采用其它检验方法 3 3）不适用于联立方程组模型中各单一方程随机误差项序列相关的检）不适用于联立方程组模型中各单一方程随机误差项序列相关的检验验 4 4）DWDW检验不适用于模型中含有滞后被解释变量的情况，即不适用检验不适用于模型中含有滞后被解释变量的情况，即不适用于如下模型于如下模型Y Yt t = = 0 0 + + 1 1 X X1t1t+ + + + k k X Xktkt + + Y Yt-1 t-1 + + t t 使用使用D.W.D.W.检验时需要注意的问题检验时需要注意的问题针对滞后变量模型：针对滞后变量模型：Y Yt t = = 0

11、 0 + + 1 1 X X1t1t+ + + + k k X Xktkt + + Y Yt-1 t-1 + + t t上述模型，上述模型，DurbinDurbin提出提出DurbinDurbinh h统计量统计量： # DH # DH统计量统计量(1)(0,1)21var( )DWnhNn （四）拉格朗日乘数检验（四）拉格朗日乘数检验（Lagrange MultiplierLagrange Multiplier）tptpttt221101122tttkkttYXXX22()LMnRp 01111ttkkttptpteXXee检验时需要检验时需要事先确定事先确定准备检验的准备检验的阶数阶数P,

12、P,实际检验中，可从实际检验中，可从1 1阶、阶、2 2阶、阶、逐次向更高阶检验。逐次向更高阶检验。 检验结果显著时，可以说明存在序列相关，但是并不一定代表序列检验结果显著时，可以说明存在序列相关，但是并不一定代表序列相关的阶数一定能够达到所检验的阶数。相关的阶数一定能够达到所检验的阶数。低阶序列相关的存在往往会导致高阶序列相关检验的显著性低阶序列相关的存在往往会导致高阶序列相关检验的显著性具体阶数的判断，需要结合辅助回归中自相关系数的显著性具体阶数的判断，需要结合辅助回归中自相关系数的显著性 使用使用GBGB检验时需要注意的问题检验时需要注意的问题321032. 0819. 0108. 10

13、003. 0692. 6tttteeeGDPe如果模型被检验证明存在序列相关性，则首先需要分析其如果模型被检验证明存在序列相关性，则首先需要分析其原因，对症下药：原因，对症下药： 如果产生序列相关的原因是变量选择失准（如遗漏了重要的解释如果产生序列相关的原因是变量选择失准（如遗漏了重要的解释变量等），则应调整变量；如果是模型设定不当，应当调整模型变量等），则应调整变量；如果是模型设定不当，应当调整模型形式。形式。虚假的序列相关虚假的序列相关问题问题 如果原因在于客观经济现象的自身特点，如经济变量的惯性作用如果原因在于客观经济现象的自身特点，如经济变量的惯性作用等，则需要发展新的估计方法等，则需

14、要发展新的估计方法（一）广义最小二乘法（一）广义最小二乘法对于模型：对于模型： Y=XY=X + + （X X为设计矩阵，为设计矩阵，Y Y、 、 为列向量）为列向量）如果存在如果存在序列相关序列相关，同时存在，同时存在异方差异方差，即有：，即有：,22212222111221)()Cov(nnnnnE1211211111)()()(DDDDDDDDDD*EEEI2*1*)(YXXXYXXXYDDXXDDX11111111)()( 如何得到矩阵如何得到矩阵 ？近似估计近似估计2var()iie cov(,)ijije e 2112122122212nnnnnee ee ee eee ee ee

15、 ee ie 122221211cov()11nnnn 如何得到矩阵如何得到矩阵 ？精确估计精确估计证明：证明：21212132321() =ttttttttttttt 212ittttti 2()0,var(),cov(,)0iiijE 212()()0itttttiEE 2122212242222var()var() =var()var()var() =(1)=(1)ittttt iittt ii 11(,0,1,1)ssstt st stt stjfjs cov(,)cov(,0,1,1),) =var()cov(,1,), (,0,1,1) sttststjtsststjtjfjsfj

16、s sfjs 222 =1ss 广义差分法是利用广义差分法是利用广义差分变换广义差分变换将原模型变换为满足基本将原模型变换为满足基本假设的差分模型，再进行假设的差分模型，再进行OLSOLS估计。是一类克服序列相关估计。是一类克服序列相关性的有效方法，被广泛采用。性的有效方法，被广泛采用。01122tttkkttYXXX 1011,122,2,21tttkk ttYXXX 011,22,tptptpkk tptpYXXX 如果模型存在如果模型存在: :1122tttptpt 11p01p1111 ,1p1 ,k1,1p,11-(1) (-X-X) (-X-X )( tttptttpktk ttp

17、tktYYYXX p)tp *11,1,ttkkttYAXXtp 11)pA0 0其其中中： （广义差分法实质上与广义最小二乘法是一致的，只是广义差分法实质上与广义最小二乘法是一致的，只是GDGD法中损失了部法中损失了部分样本观测值。分样本观测值。tktktkttttXXXXYY)()()1 (1111101nt, 3 , 21000001000000100000100000121D GDGD和和GLSGLS的关系的关系*2*211111,1jjYY XX如如令令：（三）随机误差项的自相关系数（三）随机误差项的自相关系数 的估计的估计应用应用广义最小二乘法广义最小二乘法或或广义差分法，广义差分

18、法，必须已知随机误差项的自相关必须已知随机误差项的自相关系数系数 1 1, , 2 2, , , L L 。实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行估计。估计。常用的估计方法有：常用的估计方法有：（1 1）利用）利用DWDW统计量进行估计统计量进行估计对于一阶自相关：对于一阶自相关： 由：由： 有：有：2(1)D W 1ttt 12DW 仅适用于一阶自相关情形，用于构建一阶差分模型。所估计的为一阶仅适用于一阶自相关情形，用于构建一阶差分模型。所估计的为一阶自相关系数自相关系数（2 2）科克伦）科克伦- -奥科特迭代法奥

19、科特迭代法e et t(1)(1)(1 )(1 )(1 )12,p ililiilliliiXXXYYY)()1 (1111011( 2 )( 2 )01, (1)( )nn ( 1 )( 2 )( 1 )12,p ( 2 )( 2 )( 2 )12,p ( 2 )( 2 )01, 01tttYX t1122.ttptpt 01p1*(1)*tttYX (1)(1)(1)01,;te (1 )(1 )(1 )12,p ( 2 )( 2 )01, # # 科克伦科克伦- -奥科特迭代法图示奥科特迭代法图示(3(3）杜宾（）杜宾（durbindurbin）两步法）两步法11p01p1111 ,1p

20、1 ,k1,1p,(1) (-X-X) (-X-X)tttptttpktk tk tptYYYXX 11p01p1111 ,1p1 ,k1,1p,(1) (-X-X) (-X-X)tttptttpktk tk tptYYYXX 011(1),pk *01,k *001(1),1,kjjjk EviewsEviews中的广义差分法中的广义差分法在在 E v i e w sE v i e w s 软 件 包 下 ， 广 义 差 分 采 用 了软 件 包 下 ， 广 义 差 分 采 用 了 科 克 伦科 克 伦 - - 奥 科 特奥 科 特（Cochrane-OrcuttCochrane-Orcut

21、t）迭代法估计）迭代法估计 。在解释变量中引入在解释变量中引入AR(1)AR(1)、AR(2)AR(2)、，即可得到参数和，即可得到参数和 1 1、 2 2、的估计值，即命令格式：的估计值，即命令格式： LS Y c X1 X2 AR(1) AR(2)LS Y c X1 X2 AR(1) AR(2)其中其中AR(m)AR(m)表示随机误差项的表示随机误差项的mm阶自回归。在估计过程中自动阶自回归。在估计过程中自动完成了完成了 1 1、 2 2、的迭代。的迭代。实际过程中引入到几阶自回归（实际过程中引入到几阶自回归（m=m=？），可以根据检验情况而），可以根据检验情况而定，如定，如DWDW检验、

22、检验、GBGB检验等。检验等。如果能够找到一种方法，求得如果能够找到一种方法，求得 或各序列相关系数或各序列相关系数 j j的估计量，使得的估计量，使得GLSGLS能够实现，则称为能够实现，则称为可行的广义最小二乘法可行的广义最小二乘法（FGLS, Feasible FGLS, Feasible Generalized Least SquaresGeneralized Least Squares）。）。FGLSFGLS估计量，也称为估计量，也称为可行的广义最小二乘估计可行的广义最小二乘估计（feasible general feasible general least squares esti

23、matorsleast squares estimators）。）。可行的广义最小二乘估计量可行的广义最小二乘估计量不再是无偏的，但却是一致的不再是无偏的，但却是一致的，而且在，而且在科科克伦克伦- -奥科特迭代法奥科特迭代法下，估计量也具有下，估计量也具有渐近有效性渐近有效性。前面提出的方法，就是前面提出的方法，就是FGLSFGLS# # 可行的广义最小二乘法可行的广义最小二乘法六、案例：中国商品进口模型六、案例：中国商品进口模型表表4 4. .2 2. .1 1 19782001年年中中国国商商品品进进口口与与国国内内生生产产总总值值 国内生产总值 GDP （亿元） 商品进口 M （亿美元） 国内生产总值 GDP （亿元） 商品进口 M （亿美元） 1978 3624.1 108.9 1990 18547.9 533.5 1979 4038.2 156.7 1991 21617.8 637.9 1