第一层练悟篇 第3讲 不等式与合情推理 解析版

1、第 3 讲不等式与合情推理不等式的性质及解法1(2019·全国卷)若 a>b，则()Aln(ab)>0Ca3b3>0题组练透B3a<3bD|a|>|b|2已知关于 x 的不等式(ax1)(x1)<0 的解集是(，1)è2，ø，则 a解析：选 C法一：不妨设 a1，b2，则 a>b，可验证 A、B、D 错误，只有 C正确故选 C.法二：由函数 yln x 的

2、图象(图略)知，当 0<ab<1 时，ln (ab)<0，故 A 不正确；因为函数 y3x 在 R 上单调递增，所以当 a>b 时，3a>3b，故 B 不正确；因为函数 yx3 在 R上单调递增，所以当 a>b 时，a3>b3，即 a3b3>0，故 C 正确；当 b<a<0 时，|a|<|b|，故

3、60;D不正确故选 C.æ1ö()A2B2C12D12解析：选 B根据一元二次不等式与之对应方程的关系知1，  是一元二次方程 ax2(a1)x10 的两个根，所以1×æ ö1，解得 a2.故选 B.3设 p：x2x20>0，q： 1x2<0，则 p 是 q 的(   )121è2øa|x|2A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D

4、既不充分也不必要条件1x2解析：选 Ap：由 x2x20>0，解得 x>5 或 x<4.q：由<0(1x2)(|x|2)<0，|x|2当 x0 时，可化为(x1)(x1)(x2)>0，解得 0x<1 或 x>2.1x2当 x<0 时，可化为(x1)(x1)(x2)<0，解得1<x<0 或 x<2，故<0 的解为 x<|x|22 或1<

5、;x<1 或 x>2，所以由 pq，但 q/p.故选 A.4若不等式(a24)x2(a2)x10 的解集是空集，则实数 a 的取值范围为()A.è2，5øBë2，5øC.ë2，5ûDë2，5ø2æ6öé6ùé 6öé 6ö2<a<  .综上，实数 a 的取值范围为ë

6、2，5ø.故选 B.f(5)0，解得 a，故 a 的取值范围为è 5 ，ø.答案：è 5 ，ø解析：选 B当 a240 时，解得 a2 或 a2，当 a2 时，不等式可化为 4x10，解集不是空集，不符合题意；当 a2 时，不等式可化为10，此式不成立，解集为空ïìa24<0，集当 a240 时，要使不等式的解集

7、为空集，则有í解得ïî(a2)24(a24)<0，6é6ö55若不等式 x2ax2>0 在区间1,5上有解，则 a 的取值范围是_解析：由 a28>0，知方程 x2ax20 恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程 x2ax20 必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是23æ23ö5æ23ö题后悟通1明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式 ax2bx

8、c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集；(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解2掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切 xI 恒成立f(x)min>a，f(x)<a 对一切 xI 恒成立f(x)max<a；(2)f(x)>g(x)对一切 xI 恒成立f(x)的图象在 g(x)的图象的上方；(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，

9、知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等提醒解形如一元二次不等式 ax2bxc>0 时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解或错解，要注意分 a>0，a<0 进行讨论.线性规划问题ïîx1，题组练透ìïxy20，1(2019·天津高考)设变量 x，y 满足约束条件íxy20，y1，y 的最大值为()则目标函数 z4xA2C5B3D6  作直线

10、0;l ：y4x，并进行平移，显然当 l  过点 A(1,1)时，解析：选 C由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示 z4xy 可化为 y4xz，00z 取得最大值，zmax4×(1)15.故选 C.ìï2xy20，2(2019·洛阳市统考)如果点 P(x，y)满足íx2y10，ïîxy20，上，则|PQ|的取值范围是()点 Q 在曲线 x2(y2)21A 

11、51， 101C 101,5B 51， 101D 51,5解析：选 D作出点 P 满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点 Q 所在圆的圆心为 M(0，2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(1,0)，取得最大值的最优解为(0,2)，所以|PM|的最小值为 5，最大值为 4，又圆 M 的半径为 1，所以|PQ|的取值范围是 51,5故选 D.3某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 

12、2 千元/件、1 千元/件甲、乙两种产品都需要在 A，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A 设备 2 小时，B 设备 6 小时，生产一件乙产品需用 A 设备 3 小时，B 设备 1 小时A，B 两种设备每月可使用时间数分别为 480 小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为()A320 千元C400 千元B360

13、0;千元D440 千元解析：选 B设生产甲产品 x 件，生产乙产品 y 件，利润为 z 千ïîìï2x3y480，元，则í6xy960，x，yN*，每月利润 z2xy，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线 2xy0，平移该直线，当直线经过直线 2x3yz480 与直线 6xy960 的交点 A(150,60)时， 取得最大值，故 z150×260&#

14、215;1360.max故选 B.ìï2x3y60，4(2019·全国卷)若变量 x，y 满足约束条件íxy30，ïîy20，值是_解析：作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线 y3xz 过点 C 时，z 最小，即 z 最大ïïìxy30，ìx3，由í解得í即 C 点坐标为(3,0)，îîï2x3y60&

15、#239;y0，故 zmax3×309.答案：9ìï3xy10，5(2019· 湖南省湘东六校联考)若变量 x，y 满足í3xy110，ïîy2，则 z3xy 的最大且 zaxy 的最小值为1，则实数 a 的值为_解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若 a3，则直z线 zaxy 经过点 B(1,2)时， 取得最小值，由 a21，得 

16、a1，与 a3 矛盾；若 0<a<3，则直线 zaxy 经过点 A(2,5)时，z 取得最小值，由 2a51，解得 a2；若 a0，则直线 zaxy 经过点 A(2,5)或 C(3,2)时，z 取得最小值，此时 2a51 或 3a21，解得 a2 或 a1，与 a0 矛盾综上可知实数 a 的值为 2.3(1)截距型：形如

17、60;zaxby，求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为 y答案：2题后悟通记牢三种常见的目标函数及其求法abzzxb，通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值；(2)距离型：形如 z(xa)2(yb)2，设动点 P(x，y)，定点 M(a，b)，则 z|PM|2；(3)斜率型：形如 zybxa，设动点 P(x，y)，定点 M(a，b)，则 zkPM.提醒1忽视目标函数中 y 的系数的正负，而由直线截距的最值确定目标函数的最值2求解

18、含参数的线性规划问题，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值.基本不等式题组练透111已知正数 a，b 的等比中项是 2，且 mba，nab，则 mn 的最小值是()A3C5B4D6解析：选 C由正数 a，b 的等比中项是 2，可得 ab4，又 mba，nab，所以mnabab2   ab5     

19、60;                        B211112 5，当且仅当 ab2 时取等号，故 mn 的最小值为 5.ab故选 C.142已知 P(a，b)为圆 x2y24 上任意一点，则当a2b2取最小值时，a2 的值为()4A3

20、0;                             D3解析：选 CP(a，b)为圆 x2y24 上任意一点，a2b24.又 a0，b0，   2   2a4C14b1æ 

21、0;    ö·(a2b2)1æ5   b2 ø   è52b2· 4a2ö9，当且仅当  b2      28时取等号，故 a24.故选 C.4èa2b2ø4èa2431  4 b2 4a2ö 1æa2

22、60;b2 ø 4 33(2019·天津高考)设 x>0，y>0，x2y5，则解析： x>0，y>0，xy >0.(x1)(2y1)的最小值为_xy  x2y5，                         

23、0; 2   xy  6(x1)(2y1)2xyx2y12xy6xyxyxyxy2 124 3.所以 ab(ab)æ   ö53b2a52   6，当且仅当3b2a，即 a3   6，b2体内一点，且点 O 到平面 ABC，平面 ACD，平面 ABD，平面 BCD 的距离分别为  ，x， 

24、和解析：棱长为   6的正四面体的体积 V    2×(   6)3   3，每个面的面积为 ×   6×   6sin3   3，由等体积法可得 VV×è3x6yø13   3     æ11

25、46;60°VO-ACDVO-ABDVO-BCD  ×当且仅当 2 xy 6 时取等号xy(x1)(2y1)的最小值为 4 3.xy答案：4 34已知直线 l：axbyab0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则 ab 的最小值为_解析：因为直线 l 经过点(2,3)，所以 2a3bab0，即321，ab32èabøabab 6时等号成立答案：52 65(2019·

26、四川成都青羊区模拟改编)已知四面体 ABCD 的所有棱长都为 6，O 是该四面113611y，则 xy_，x2y的最小值是_1122O-ABC2323，即  xy  .    (xy)èx2yø è22yxø è  22x2y333 23 1  1  2 æ1 1 ö&

27、#160;2æ3 x yö 2æ3x · yö32 2，当且2y xø 3ìxy3，仅当í即íïîy3   23时等号成立，1 1 的最小值为    .2xyî2yx，ïìx63 2，22x 2y      &

28、#160;     332 22    3332 2答案：题后悟通掌握基本不等式求最值的 3 种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值；(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值；(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等分开，即化为 ym式来求最值

29、.Ag(x)合情推理题组练透1(2019·全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A甲、乙、丙C丙、乙、甲B乙、甲、丙D甲、丙、乙解析：选 A依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙故选 A.(2甲、乙、丙三人

30、中，一人是教师，一人是记者，一人是医生，已知：丙的年龄比医生大，甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是)A甲是教师，乙是医生，丙是记者B甲是医生，乙是记者，丙是教师C甲是医生，乙是教师，丙是记者D甲是记者，乙是医生，丙是教师解析：选 C甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，所以丙一定是记者，丙的年龄又比医生大，所以乙不是医生，乙是教师，则甲是医生故选 C.3(2019·柳州模拟)给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)记第 i 行的第

31、60;j 个数对为 aij，如 a43(3,2)，则 anm()A(m，nm)C(m1，nm1)B(m1，nm)D(m，nm1)解析：选 D由前 4 行的特点，归纳可得，若 anm(a，b)，则 am，bnm1，anm(m，nm1)故选 D.4我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2 2 2中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值 x，这可以通过方(