数学物理方程-一些典型方程和定解条件的建立

1、深圳大学电子科学与技术学院第一章：一些典型方程和定解第一章：一些典型方程和定解条件的建立条件的建立肖龙胜1.1 数学物理方程的建立数学物理方程的建立深圳大学电子科学与技术学院 数学物理方程的建立数学物理方程的建立 定解条件的建立定解条件的建立 定解问题定解问题本章提要：本章提要：深圳大学电子科学与技术学院1. 对实际问题（物理及一对实际问题（物理及一般问题），分析考察量般问题），分析考察量的变化规律，建立相应的变化规律，建立相应的微分方程的微分方程2. 写出考察量所满足的相写出考察量所满足的相 关条件关条件3. 根据微分方程和相关条根据微分方程和相关条件，求出考察量的解件，求出考察量的解4.

2、讨论解的适用条件讨论解的适用条件udtdu)exp()(tntu精确描述线性增长阶段精确描述线性增长阶段ntut0)(例子例子: :人口增长问题人口增长问题 (Malthus模型)什么是数学物理方法？深圳大学电子科学与技术学院用数学物理方法处理实际问题用数学物理方法处理实际问题: :第一步第一步它是最重要的一步它是最重要的一步也是最困难的一步：也是最困难的一步：数学物理方程的建立数学物理方程的建立数学物理方法的核心：1.1 数学物理方程的建立数学物理方程的建立深圳大学电子科学与技术学院1.1. 统计法统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分析：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律

3、，写出它所满足的微分方程。考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学、生这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。态学、经济学、社会学等。2.2. 微元法微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附近：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微分方程。分方程。3.3. 规律法规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵循：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比如利用电磁波的

4、麦克斯韦方的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。微分方程。建立数理方程的方法建立数理方程的方法深圳大学电子科学与技术学院基本方程（泛定方程）的建立基本方程（泛定方程）的建立 物理模型物理模型（现象、过程）（现象、过程） 数学形式表述数学形式表述（建立偏微分方程并求解）（建立偏微分方程并求解）目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。 微元法微元法步骤步骤：(1(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系

5、；）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系； （2 2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；相邻部分间的作用； （3 3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4 4）化简整理，得到偏微分方程。）化简整理，得到偏微分方程。 不含初始条件不含初始条件不含边界条件不含边界条件深圳大学电子科学与技术学院物理状态描述物理状态描述: :设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。外，不受其

6、它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。平衡位置平衡位置弦的振动：虽然经典，但弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。极具启发性。一一. 均匀弦的横振动方程的建立均匀弦的横振动方程的建立横向指全部运动出现在一个平面上，而且弦上的点沿垂直于横向指全部运动出现在一个平面上，而且弦上的点沿垂直于x轴轴的方向运动的方向运动微小指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，以致微小指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，以致它们的高于一次方的项都可以忽略它们的高于一次方的项都可以忽略深圳大学电子科学与技术学院平衡位置平衡位置: :弦被绷紧，内部有张力弦被绷紧，内部有张力( (设为设为 T ) )，长

7、度为长度为 L ，水平安置，水平安置( (位于位于 x 轴轴) )x00 x初始状态初始状态: :（例如）弦被拉成下列形状：（例如）弦被拉成下列形状：LL深圳大学电子科学与技术学院任意任意 t 时刻弦的形状时刻弦的形状 : 0 xu现在的问题：任意时刻现在的问题：任意时刻 t 弦上任意点弦上任意点 x 离离开其平衡位置的位移开其平衡位置的位移 u (x, t) ？xuL深圳大学电子科学与技术学院平衡位置平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。任意截取一小段，并抽象性夸大。一一. 均匀弦的横振动方程的建立均匀弦的横振动方程的建立微元法：弦振动方程深圳大学电子科学与技术学院X1、建立坐标系，选定微元

8、、建立坐标系，选定微元2、微元、微元 s的动力学方程（牛顿第二运动定律）的动力学方程（牛顿第二运动定律）uo sM1N1M2N2xx+dx21T1T2gs.两端所受张力微元、sTT21长长度度内内的的质质量量）细细弦弦的的线线密密度度（单单位位 重力加速度重力加速度g深圳大学电子科学与技术学院X1 1、建立坐标系，选定微元、建立坐标系，选定微元uo2 2、微元、微元 s s的动力学方程（牛顿第二运动定律）的动力学方程（牛顿第二运动定律）M1 sN1M2N2xx+dx21T1T2gs.(1)(2)水平方向：水平方向：竖直方向：竖直方向：11221coscosTTF11222sinsinTTF(

9、(忽略重力忽略重力) )01F222tumF弦弦 s的质量的质量:xm深圳大学电子科学与技术学院0 xxu211T2T水平方向：水平方向：竖直方向：竖直方向：11222sinsinTTF0,21TTT令2122sintanxxxu11sintanxxuxxxxuxuTF2xx, 1cos,cos210coscos11221TTF3、忽略与近似、忽略与近似对于微振动对于微振动:T1T2，说明张力不随地点而变，它在整根弦中取同一数值。tgxx tantangential深圳大学电子科学与技术学院的极限的极限如果差商如果差商导数导数xy xxxfxfxyxxx 110)()(limlim1点点的的导

10、导数数。在在函函数数存存在在，这这个个极极限限就就称称为为xxf)(xdx ydy dxxfdyxfdxdy)(,)( 或是或是导数复习导数复习导数导数 关于函数的某种形式的极限关于函数的某种形式的极限 （实质）（实质）函数在某点上的变化率函数在某点上的变化率 （数学结构）（数学结构）某点上切线的斜率某点上切线的斜率 （几何意义）（几何意义）深圳大学电子科学与技术学院1cos1sec1222tg0 xutg 正是切线的斜率，即正是切线的斜率，即 xxutgtgtg 21sincossintg)()!12() 1(! 5! 3sin1253xnxxxxxnn)()!2() 1(! 6! 4! 2

11、1cos2642xnxxxxxnn1cos知识复习知识复习深圳大学电子科学与技术学院xtxutdxxuxtxuxtdxxuxuxuxxx),(),(),(),(xxuxxxuxuxuxuxxx22xxuTtuxtumF222222222222xuatu( (弦振动方程弦振动方程) )xxxxuxuxu2aT或者，或者， 是是 的变化量，可以用微分近似代替，的变化量，可以用微分近似代替，即即 xuxtxutdxxu),(),( (一维波动方程一维波动方程) )2FdxxuxT深圳大学电子科学与技术学院0 xxu211T2T水平方向：没有变化水平方向：没有变化竖直方向：竖直方向：xx),(txFx

12、FxxuTxFxuxuTxFTTFxxx2211222sinsin强迫振动方程：若弦还受到时空依赖的外力的作用若弦还受到时空依赖的外力的作用( (设弦单设弦单位长度受力为位长度受力为F(x,t)，其方向竖直于，其方向竖直于x轴轴):):深圳大学电子科学与技术学院2222tuxxFxuT),(),(txFtxf22222xuatu),(22222txfxuatu强迫振动方程强迫振动方程注注: :),(22222txfxuatu齐次方程齐次方程: :只含有只含有对对u的各种运算的各种运算非齐次方程：含有对非齐次方程：含有对 u 运算之外的项运算之外的项 f (x,t), 被称为驱动项被称为驱动项,

13、 或非零自由项或非零自由项深圳大学电子科学与技术学院),(22222txfxuatu弦振动方程的解弦振动方程的解 u (x, t) 表示表示位于位于 x 处的处的“弦点弦点”在任意在任意 t 时刻离开其平衡位置的位时刻离开其平衡位置的位移。其实，弦振动方程就是移。其实，弦振动方程就是波动方程，因为波动方程，因为波是振动的波是振动的传播传播。因此解。因此解 u(x, t) 也表示也表示空间任意点空间任意点 x 的波形。的波形。22222xuatutu空间任意点空间任意点 x 的波形的波形弦振动方程 = 波动方程深圳大学电子科学与技术学院自然界许多弹性振动，例如机械振自然界许多弹性振动，例如机械振

14、动、建筑物的剪振动、潮汐波、地动、建筑物的剪振动、潮汐波、地震声波、声波以及电磁波等都可以震声波、声波以及电磁波等都可以用波动方程来描述。用波动方程来描述。波动方程的应用:深圳大学电子科学与技术学院L二二. 传输线方程传输线方程(电报方程电报方程)的建立的建立xdxx 对于直流电或低频的交流电对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出）定律指出,同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，辐射电磁波出去的程度

15、），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。因而同一支路中电流呈现瞬态变化。现在考虑电流一来一往的高频传输线，现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有它被当作具有分布参数分布参数的导体，每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、的导体，每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以电导分别以 R、L、C、G 表示。表示。深圳大学电子科学与技术学院).(txvdvv xdxx RdxLdxCdxGdx),(txidiiP物理状态描述物理状态描述: 设如图传输线是设如图传输线是分布参数电路分布参数电路，即传输线上电阻，即传输线上电阻 R、电感、电感 L、电容电容

16、 C 和电导和电导 G 是是按单位长度计算其对应的物理量按单位长度计算其对应的物理量，并且在，并且在 x+dx 范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为 dx。xdxx 深圳大学电子科学与技术学院 udtLidtdiLuLidtduLLLL1 idtqdtduCdtCuddtdqiCuq)(tdduCiCCtddiLuLL电容元件：电容元件：电感元件：电感元件：换路定理换路定理: :在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。电路准备知识电路准备知识知识复习知识复习深圳大学电子科学与技术学院

17、 xG xRxLxLxCiiivvvxx什么是传输线？什么是传输线？传传输线的始端接信号输线的始端接信号源，终端接负载。源，终端接负载。其间的电压、电流其间的电压、电流信号都是时空依赖信号都是时空依赖的。的。整个传输线可整个传输线可以看成由许多微元以看成由许多微元 x级联而成级联而成。从中。从中取一个微元取一个微元 x：它：它的等效电路由下列的等效电路由下列 4 4 种原件构成：种原件构成：信信号号源源电阻电阻: R电感电感: L电容电容: C电导电导: G微元微元 的等效线路：的等效线路：xx负负载载微元足够小，每个原件的尺度均为微元足够小，每个原件的尺度均为单位长单位长度的值度的值微元法：

18、传输线方程深圳大学电子科学与技术学院在长度为在长度为 x的传输线中，电压降：的传输线中，电压降：在结点：流入的电流等于流出的电流：在结点：流入的电流等于流出的电流：tixLixRvvv)(vxGtvxCiii)(00RitiLxvGvtvCxi电流电流- -电压电压耦合方程：耦合方程：传输线方程：深圳大学电子科学与技术学院(1)(1)对对x微分：微分：(2)(2)两端乘以两端乘以C：(4)(4)两端对两端对t 微分：微分：(3)-(5)(3)-(5)：0222xvGtxvCxi0GvtvCxi（2）0RCitiLCxvC（3）（4）0222tiRCtiLCtxvC02222tiRCtiLCxv

19、Gxi0RitiLxv（1）（5）（6）GRitiGLRCtiLCxi2222将将(2)(2)中中 的代入的代入(6)(6)：xv电流电流方程方程深圳大学电子科学与技术学院(2)(2)对对x微分：微分：(1)(1)两端乘以两端乘以L：(4)(4)两端对两端对t 微分：微分：(3)-(5)(3)-(5)：0222xiRtxiLxv0GvtvCxi（2）0LGvtvLCxiL（3）（4）0222tvLGtvLCtxvL02222tvLGtvLCxiRxv0RitiLxv（1）（5）（6）GRvtvGLRCtvLCxv2222将将(1)(1)中中 的代入的代入(6)(6)：xi电压电压方程方程深圳大

20、学电子科学与技术学院GRvtvGLRCtvLCxvGRitiGLRCtiLCxi22222222电流与电压电流与电压有完全相同有完全相同的变化规律的变化规律在高频传输情况下，电阻（电导）所产生的效应可在高频传输情况下，电阻（电导）所产生的效应可以忽略不计，这样高频传输线的方程约化为波动方以忽略不计，这样高频传输线的方程约化为波动方程：程：结论：结论：同一个方程可以描述不同的物理现象同一个方程可以描述不同的物理现象LCaviuxuatu1,222222或L/C:分布参数深圳大学电子科学与技术学院 热传导热传导: : 当物体内部各点的温度不一样时，热当物体内部各点的温度不一样时，热量就会从温度较高

21、的地方向温度较低的地方流量就会从温度较高的地方向温度较低的地方流动，这样温度是空间和时间的函数。热传导方动，这样温度是空间和时间的函数。热传导方程就是温度所满足的偏微分方程，它的解给出程就是温度所满足的偏微分方程，它的解给出任意时刻物体内的温度分布。任意时刻物体内的温度分布。微元法: 热传导方程热传导的傅里叶定律热传导的傅里叶定律: :在场中之任一点处，沿在场中之任一点处，沿任一方向的热流强度（即在该点处单位时间内任一方向的热流强度（即在该点处单位时间内流过与该方向垂直的单位面积的热量）与该方流过与该方向垂直的单位面积的热量）与该方向上的温度变化率成正比向上的温度变化率成正比深圳大学电子科学与

22、技术学院 x xu高温高温低温低温热流热流xukqxu热流沿热流沿 x 方向传递方向传递, ,任任意意x 处的温度为处的温度为u, ,温度温度梯度为梯度为 ，q 表表示示在单在单位时间内流经单位面积位时间内流经单位面积的热量（热流强度）的热量（热流强度），k 是热传导系数是热传导系数，负号负号表示热流方向与温度梯表示热流方向与温度梯度方向（温度增大的方度方向（温度增大的方向）相反。向）相反。单位面积单位面积q00u热传导的傅里叶定律热传导的傅里叶定律:温度梯度：低温高温热流动：高温低温深圳大学电子科学与技术学院 如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着整个物理量的一个确定的值，就说在这空间

23、里确定了该物理量的一个场。 如果这物理量是数量，称这个场为数量场数量场（标量场）；若是矢量，称为矢量场矢量场。 例如温度场、密度场、电位场等为数量场，力场、速度场等为矢量场。 场是一种特殊物质，看不见摸不着，但确实存在。场把物理状态作为空间和时间的函数来描述。若物理状态与时间无关，称为静态场（稳定场）；反之，为动态场或时变场（不稳定场）。关于场：深圳大学电子科学与技术学院 分布在数量场中各点处的数量u是场中之点M的函数u=u(M）（在直角坐标系中写成 u=u(x,y,z)）。一个数量场可以用一个数性函数来表示，假定该函数单值、连续且有单值、连续且有一阶连续偏导数一阶连续偏导数。 由场中使函数u

24、取相同数值的点所组成的曲面，称为等值面。如等温面、等位面。 u(x,y,z)=c，（c为常数） 在函数u=u(x,y)所表示的平面数量场中具有相同数值的点，组成此数量场的等值线。如等高线、等温线、等压线等。 u(x,y)=c深圳大学电子科学与技术学院 若在数量场u(M)中的一点M处，存在这样一个矢量G，其方向为函数u(M)在点M处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量G为函数u(M)在点M处的梯度，记作G=grad u。梯度的定义与坐标系无关，由数量场u(M)的分布所决定。 梯度的方向就是函数在点增长最快的方向。梯度的方向就是函数在点增长最快的方向。 数量场u(M)中每一

25、点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(M)增大的方向。 例如：电场中的电场强度等于电位的负梯度。kzujyuixugradu在直角坐标系中表示为：关于梯度：深圳大学电子科学与技术学院梯度运算的基本公式：graduufugradfugradvvgraduvvugradvgraduugradvuvgradgradvgraduvugradcgraducugradgradc)()()(1)()()()(02c是常数深圳大学电子科学与技术学院 均匀细杆的长度为L，横截面积为S，杆的两个端点处于x=0和x=L。假定杆在初始t=0时刻的温度分布为(x)，在随后的时间（t0），热量在杆中流动。求在

26、任意t时刻、杆中任意位置x（0 xL）的温度u(x,t)。均匀细杆：热传导方程深圳大学电子科学与技术学院 微元长度微元长度 , 横截积面横截积面 , 体密度体密度 : :0 x x xxQ1 Q2 在在t 时间内从时间内从 x截面截面流入流入的热量的热量在在 时间内从截时间内从截面面 流出流出的的热量热量比热定义比热定义uQmc1uxScQ3体积元体积元 吸收的吸收的净热量表现为净热量表现为温度温度的升高的升高xxutkSQ1xxxutkSQ2ttxxxSxS均匀细杆的热传导方程深圳大学电子科学与技术学院比热容比热容(specific heat capacity) 简称比热简称比热(speci

27、fic heat)，是单位质量物质的热容量，即是单位质，是单位质量物质的热容量，即是单位质量物体改变单位温度时的吸收或释放的内能。量物体改变单位温度时的吸收或释放的内能。比热容是表示物质热性质的物理量。通常用符比热容是表示物质热性质的物理量。通常用符号号c表示。表示。在英文中，比热容被称为：Specific Heat Capacity(SHC）。 用比热容计算热能的公式为：Energy=MassSpecific Heat CapacityTemperature change 可简写为：Energy=SHCMassTemp Ch，即Q=cmT 知识拓展知识拓展深圳大学电子科学与技术学院uxScx

28、uxutkSxxx321QQQxxuxuxuxxx22其中其中 , , 而而tutu222xuatu热传导方程热传导方程:cka2能量守恒要求能量守恒要求:深圳大学电子科学与技术学院三维热传三维热传导方程导方程:有源热传有源热传导方程导方程:2222222zuyuxuatu),(2222222tzyxfzuyuxuatu深圳大学电子科学与技术学院1.1. 统计法统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学

29、、生态学、经济学、社会学等。学、生态学、经济学、社会学等。2.2. 微元法微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微分方程。的微分方程。3.3. 规律法规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。理

30、量的微分方程。建立数理方程的方法：深圳大学电子科学与技术学院电磁波的经典理论是麦克斯韦方程，它可以用电磁波的经典理论是麦克斯韦方程，它可以用来描述所有波段的电磁现象：来描述所有波段的电磁现象： 射线，射线，x 射线，紫外，可见，红外，太射线，紫外，可见，红外，太赫兹赫兹(THz)，微波，毫米波微波，毫米波, ,麦克斯韦方程：规律法的例子：规律法的例子：电子学和电子学和光子学的光子学的交叉区域交叉区域深圳大学电子科学与技术学院基本电磁场量基本电磁场量 场的物质方程场的物质方程 Maxwell方程方程电场强度电场强度磁场强度磁场强度电感应强度电感应强度磁感应强度磁感应强度BDHEDEBHJE 0B

31、rotEtDrotHJtdivDdivB : 介质的介电常数介质的介电常数磁导率磁导率电导率电导率:J 传导电流的面密度传导电流的面密度电荷的体密度电荷的体密度2222222:Laplace operatorxyz :Hamilton operatorijkxyzVector difference operator三三. 电磁场方程的建立电磁场方程的建立0BDtDJHtBE深圳大学电子科学与技术学院 简单曲面的一般特征是一块没有重点的连续曲面。为了区分双侧曲面的两侧，常规定其中的一侧作为曲面的正侧，另一侧作为负侧。例如对于封闭曲面，按习惯总是取其外侧为正侧。这种规定了正侧的曲面，叫做有向曲面有

32、向曲面，规定其法矢n恒指向我们研究问题时所取的一侧。 设有矢量场A(M)，沿其中有向曲面S某一侧的曲面积分 称为矢量场A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量通量。矢量场的通量和散度：矢量场的通量和散度：ssnSdAdSA知识拓展知识拓展矢量运算基础：深圳大学电子科学与技术学院设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个邻域内作包含M点在内的任一封闭曲面S，设其所包围的空间区域为，以V表其体积，以表从其内穿出S的通量。若当以任意方式缩向M点时，比式VSdAVs之极限存在，称此极限为矢量场A(M)在点M处的散度散度，记作divA。在一般矢量场A(M) 中，对于穿出封闭曲面S的通量，当其不为零时，根据其正

33、或负而说S内有产生通量的正源或负源。为了了解源在S内的分布情况以及源的强弱程度等问题，引入矢量场的散度。VSdAVAdivsMlim深圳大学电子科学与技术学院电学中Gauss定理：穿出任一封闭曲面S的电通量，等于其内各点电荷的代数和。由此可知，电位移矢量D的散度等于电荷分布的体密度。散度divA为一数量，表示在场中一点处通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度源的强度。当divA的值不为零时，其符号为正或负，顺次表示该点处有散发通量的正源或有吸收通量的负源；当当divA的值为零时，表示在该点处无源的值为零时，表示在该点处无源.深圳大学电子科学与技术学

34、院散度运算的基本公式：散度运算的基本公式：AgraduAudivAudivBdivAdivBAdivAcdivAcdiv)()()(c是常数VdAdivSdAs奥氏公式：穿出封闭曲面S的通量，等于S所围的区域上的散度在上的三重积分。u是数性函数深圳大学电子科学与技术学院矢量场的环量和旋度：矢量场的环量和旋度：设有矢量场A(M)，则沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分称为矢量场按积分所取方向沿曲线l的环量环量。ll dA环量面密度深圳大学电子科学与技术学院M为矢量场A(M)中一点，在M点处取定一个方向n，再过M点任作一微小曲面S，以n为其在M点处的法矢，对此曲面，同时又以S表示其面积，其周界l之

35、正向取作与n构成右手螺旋关系，则矢量场沿l之正向的环量与面积S之比，当曲面S在保持M点于其上的条件下，沿着自身缩向M点时，比式之极限存在，称此极限为矢量场A(M)在点M处沿方向n的环量面密度环量面密度（环量对面积的变化率）（环量对面积的变化率），记作n。SSl dASlMsnlim深圳大学电子科学与技术学院 若在矢量场A中的一点M处存在这样一个矢量R，矢量场A在点M处沿其方向的环量面密度为最大，其模也正好是这个最大的数值。则称矢量R为矢量场A在点M处的旋度，记作R=rot A。旋度矢量在数值和方向上表出了最大的环量面密度斯托克斯公式：SdArotl dAsl)(旋度之于环量面密度，犹如梯度之于

36、方向导数深圳大学电子科学与技术学院旋度运算的基本公式：0)(0)()()()()(ArotdivgradurotBrotAArotBBAdivAgraduAurotAurotBrotArotBArotAcrotAcrotc是常数u是数性函数深圳大学电子科学与技术学院kzjyix函数u(x,y,z)和矢量E(x,y,z)有连续的一阶偏导数)(是标量函数ukzujyuixuuzyxzyxzyxEEEzyxkjiEzEyExEkEyEiEkzyyixE)()(称为哈米尔顿算子或（读作代尔）算子哈米尔顿（W. R. Hamilton）引进了一个矢量微分算符矢量微分算符（子）：（子）：算子本身无意义，是

37、一种运算符号，具有矢量和微分的双重性质运算规则：运算规则：深圳大学电子科学与技术学院矢量运算公式：vuvuBABA)(BABA)()()()(AuAuAuzAyAxAAzyx数性微分算子：梯度：梯度：散度：散度：旋度：旋度：ugraduAAdivAArotzuAyuAxuAuAzyx)(深圳大学电子科学与技术学院)()()(BAABBAuu2AAA2)()(矢量运算公式：)()()()()(BAABBAABBA0u0)(EABABBABABA)()()()()(zBAyBAxBABAzyx)(深圳大学电子科学与技术学院kEjEiEEzyx)()()(2222拉普拉斯算符拉普拉斯算符( (子子)

38、 )：2222222zyx作用于函数u给出2222222)(zuyuxuuu作用于函数E给出（拉普拉斯方程）02 u（亥姆霍兹方程）022ukuuatu2222uatu22（薛定谔方程）)(222rUmti矢量运算基础深圳大学电子科学与技术学院ErotErottHrotrot0BrotEtDrotHJtdivDdivB )( EtEtDJHrotDEBHJE 再将再将 代入上式，得代入上式，得 BrotEtBH 22HHrot rotHtt 0BDtDJHtBE这是一个关于磁场强度的这是一个关于磁场强度的二阶微分方程二阶微分方程深圳大学电子科学与技术学院22HHrot rotHtt 为进一步化

39、简，利用为进一步化简，利用 Hamilton 算子的运算性质算子的运算性质磁场强度、磁感应强度的散度为零。磁场强度、磁感应强度的散度为零。222HHHtt 如法炮制，可得关于电场强度的方程如法炮制，可得关于电场强度的方程222EEEtt 如果介质不导电（如果介质不导电（=0），上述方程简），上述方程简化为：化为：三维波动方程三维波动方程 将将 代入上式，得代入上式，得 10div Hdiv B HHHHrotrot2)()( EtEHtH222222110 BDEBHJE rr00rrnc001深圳大学电子科学与技术学院麦克斯韦方程麦克斯韦方程: :ttDJHBBED0EJHBED物质方程物质

40、方程:222222ttttHHHEEE( (矢量运算公式矢量运算公式) )(电磁场方程电磁场方程)22222)(011)()()(tttttttttEEDJDJHBBEDEEEE规律法: 电磁场方程深圳大学电子科学与技术学院目标目标: 建立关于电位建立关于电位 u 的方程的方程 由电感应强度由电感应强度 与电场强度与电场强度 的定义知：的定义知：D E div Ddiv Ediv E（电荷体密度）（电荷体密度）而电场强度与电位之间的关系，由下式确定而电场强度与电位之间的关系，由下式确定Egrad u 由此可得：由此可得：div grad u 依据依据Hamilton 算子的运算性质：算子的运算性质：这个非齐次方程称为泊松这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程）方程若静电场是无源的，即若静电场是无源的，即 ，上式又可写成，上式又可写成0 这个齐次方程称为拉普拉这个齐次方程称为拉普拉斯（斯（Laplace）方程）方程上式可写成上式可写成uuuugraddiv 2)( u202 u深圳大学电子科学与技术学院 uEEDE1u泊松方程泊松方程: :拉普拉斯方程拉普拉斯方程: :022uu( (非齐次非齐次: :有源场有源场) )( (齐次齐次: :无源场无源场) )电场强度与电位的关系定义为电场