曾谨言量子力学实用教案

1、(a) 线性算符：凡满足下列规则(guz)的算符A，称为线性算符。11221122() (1)A ccc Ac ANote: 刻画(khu)可观测量的算符都是线性算符单位算符I：保持波函数不变的算符)2( I算符相等：若两个算符对体系的任何波函数的运算所得结果 都相同，则称这两个算符相等。)3( BABA算符：量子力学中的算符就是对波函数（量子态）的一种运算第1页/共50页第一页，共51页。( c ) 算符之积： 两个(lin )算符A和B的积记为AB。定义如下：对任何 波函数有)5( )()(BABA1. 对易子(commutator)6( ,ABBABA(b) 算符之和: 算符A,B之和，

2、记为A+B。定义如下(rxi)：对任何波函 数有)4( )(BABA;()()ABBAABCABC交换律:结合律:Note: 一般来说，算符之积不满足(mnz)交换律若A,B=0,则称算符A,B是对易的；若A,B0, 则称算符A, B不对易。第2页/共50页第二页，共51页。恒等式)(0, , , ,JacobiBACACBCBABCACBACBACBACABCBACABACBAABBA2.量子力学(lin z l xu)的基本対易关系,i ( , , )xpx y z 对易子的性质(xngzh)证明(zhngmng)：ixxpxx i()iixp xxxxx 对任意波函数有第3页/共50页第

3、三页，共51页。3. 角动量算符lrp iiixzyyxzzyxlypzpyzzylzpxpzxxzlxpypxyyx 则 ()ixxxpp x 即 ,ixx p 分量(fn ling)表述第4页/共50页第四页，共51页。球坐标系下的角动量算符)/arctan()/arctan( ,cossinsincossin22222xyzyxzyxrrzryrxisincotcosicoscotsinizyxlll22222sin1sinsin1l第5页/共50页第五页，共51页。xxl i,1123ppli,llli,llli2222zyxllll),( , 0,2zyxll角动量的对易关系(gun

4、 x)或定义(dngy)角动量平方算符对易关系(gun x)板书证明部分角动量对易关系Levi-Civita 符号练习：令yxllli证明（升、降算符）lllz,zlll2,zzlllll22（注意算符的叉积与两个矢量叉积的区别）第6页/共50页第六页，共51页。(d)逆算符：设A1A111)(ABBA能唯一(wi y)地解出，则可定义算符A的逆算符A-1为说明(shumng)： (1) 并非所有算符都有逆算符，如投影算符(2) 若算符A有逆，则有0, ,111AAIAAAA(3) 若算符A,B的逆均存在(cnzi)，则有第7页/共50页第七页，共51页。(f) 算符的函数(hnsh)0)(!

5、)0()(nnnxnFxF0)(!)0()(nnnAnFAF0dddd!ddnnnnxaxnaexF若函数F(x)的各阶导数存在(cnzi)，幂级数展开收敛则可定义算符A的函数(hnsh)F(A)为如)()(ddaxxexa则平移算符),(),(),(yxFyxyxFmmnnmnmnmnmnBAmnFBAF!)0 , 0(),(0,),(两个算符的函数第8页/共50页第八页，共51页。两个(lin )任意量子态的标积：d),(对一维粒子(lz)xdd对三维粒子(lz)dddsindddd2rrzyx算符的乘幂：定义算符A的n次幂为 nnAAAA例，若xAdd则nnnxAdd显然算符的乘幂满足：

6、nmnmAAA0,nmAA第9页/共50页第九页，共51页。),(),(),(),(),(),(),(),(0),(2211221122112211cccccccc标积的性质(xngzh)d),(第10页/共50页第十页，共51页。(f) 转置(zhun zh)算符： 算符A的转置(zhun zh)定义为AAdd),(),(AAxx或例如(lr)：证明(zhngmng)：xxxxxxdddxxxxdd按转置算符的定义，上式的左边有则0dxxx由于函数，是任意的，则有0 xx即xx第11页/共50页第十一页，共51页。练习(linx) 证明：(g)复共轭算符和厄米共轭算符算符A 的复共轭算符A*

7、定义(dngy)为)40( )(AA通常算符A的复共轭算符A* 按如下方法求解(qi ji)： 把算符A中的所有量都换成其复共轭。如ppi)i(算符A 的厄米共轭算符A+定义为)41( ),(),(AA则),(),(),(),(),(AAAAA所以 AA(1) , (2) ()TxxppABBA 第12页/共50页第十二页，共51页。如pppp性质(xngzh)ABCCBA)(h) 厄米算符满足(mnz)下列关系的算符称为厄米算符（自共轭算符），或说是厄米的)41( ),(),(AAAA或Note: 所有(suyu)力学量的算符均是厄米算符性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两

8、个厄米算符之积不一定是厄米算符(3)无论厄米算符A,B是否对易，算符)(i 21 ),(21ABBAABBA均是厄米算符第13页/共50页第十三页，共51页。（4）任何(rnh)算符总可分解为两个厄米算符的线性组合OOOi令)(i 21 ),(21OOOOOO则O+和O-均是厄米算符。即第14页/共50页第十四页，共51页。定理： 在体系的任何(rnh)状态下，厄米算符的平均值必为实数。证明(zhngmng)： ( ,)(,)( ,) AAAAA 逆定理：在任何(rnh)状态下平均值为实数的算符必为厄米算符证明： 按照假定 AA即),(),(),(AAA取=1+c2, 1,2也是任意的，c是任

9、意常数，代入上式),(),(),(),(),(),(),(),( 222211211222211211AcAcAcAAcAcAcA在任意态下算符A的平均值都是实数，即),(),( ),(),(22221111AAAA第15页/共50页第十五页，共51页。),(),(),(),( 21122112AcAcAcAc所以(suy)分别(fnbi)令c=1和c=i得到),( ),(),(),( 12122121AAAA),( ),(),(),( 12122121AAAA两式分别(fnbi)相加、减得 ),(),( ),(),( 12122121AAAA推论：设A 是厄米算符，则在任意态下有222( ,

10、)(,)d0AAAAA-END注：实验上的可观测量在任何状态下的平均值都是实数，相应 的算符必定是厄米算符第16页/共50页第十六页，共51页。设厄米算符A在任意(rny)态下的平均值为零，则A为零算符，即)( 0任意A证明(zhngmng)：0),(AAA，0),(2)(,(),(),(),(),()(,22AAAAAAAAAAAAAAA在态A下的平均值也为零 ，即即0d2A所以(suy)0A第17页/共50页第十七页，共51页。 3.2 厄米算符的本征值与本征函数) 1 ( d)()(222AAAAA)2( 0d)(22AAA0)(AA)3( nnnAA涨落：力学量的测量(cling)值围

11、绕其平均值的上下波动。利用(lyng)算符的厄米性可得本征态：若体系处于(chy)一特殊态，测量力学量A所得结果是唯一确定 的，即涨落为零，则称这种状态是力学量A的本征态。即或写成An称为算符A的本征值，n为相应的本征态，方程(3)称为算符A的本征方程。第18页/共50页第十八页，共51页。定理(dngl)1 厄米算符的本征值必为实数nnnnnnAAAA),(),(量子力学的测量公设：在任意态下测量力学量A时所有可能出现的值，都相应于线性厄米算符A的本征值；当体系处于算符A的本征态时，则每次测量所得的结果(ji gu)都是完全确定的，即An第19页/共50页第十九页，共51页。定理(dngl)

12、 2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交证明(zhngmng)： mmmnnnAAAA ,mmmAA),(),(nmmnmAA0),)(nmnmAA设取上式的复共轭得上式右乘n，并积分(jfn)得对厄米算符A,有),(),(),(),(nmmnmnnmnmAAAA所以若mnAA ，则必有0),(nm-证毕第20页/共50页第二十页，共51页。例题(lt)1 求角动量的z分量的本征值与本征函数解：本征方程(fngchng)zl i/ilnzl/iexp)(zlC)()2(, 2, 1, 0,mmlzmmCei)(12d)(2202Cm, 2, 1, 0,21)(imemm整理(zhngl

13、)得其解为周期性边界条件所以相应的本征函数为归一化即第21页/共50页第二十一页，共51页。例题2 平面(pngmin)转子的能量本征值与本征态解： 平面(pngmin)转子的哈密顿为222222IIlHz能量(nngling)本征方程EI2222解为, 2, 1, 0,21)(imemm能量本征值为ImEm222显然，除了m = 0外，对应一个本征值Em，有两个本征态，能级二重简并。思考题：平面转子的能量本征态可否取为实函数sinm,cosm? 此时它们是否仍为lz的本征态？第22页/共50页第二十二页，共51页。例题(lt)3 求动量x分量的本征态解：动量(dngling)x分量的算符xp

14、x i本征方程(fngchng)为xpx i/i)(xppxxCex其解为)(d)()(xxppppxxxxx 连续谱本征函数不能归一化，习惯上取/i21)(xppxxex波函数满足第23页/共50页第二十三页，共51页。例题4 一维自由粒子(lz)的能量本征态解： 一维自由(zyu)粒子的Hamilton 量为2222dd22xmmpHx本征方程(fngchng)：Exm222dd2本征函数：0/2 ,imEkekx能量本征值：02/22mkE能级二重简并思考题：自由粒子的能量本征态可否取为sinkx与coskx? 此时它们是否还是px的本征态？它们是否有确定的宇称？ 相应的粒子流密度是多少

15、？第24页/共50页第二十四页，共51页。能级(nngj)简并设力学(l xu)量A的本征方程为nnnnfAA, 2 , 1 ,属于本征值An的本征函数有fn个，则称本征值An 是fn重简并的。一般来说，简并态的选择并不是唯一(wi y)的，简并态间也不一定彼此正交，但总可以适当地线性组合使之彼此正交。证明： 令nfnnfan, 2 , 1 ,1 ,11nnfnfnnnAaAAaAnn),(nn则即n仍是算符A的本征态，相应的本征值仍是An可选择系数a使得n具有正交性，即第25页/共50页第二十五页，共51页。) 1(21) 1(21nnnnnfffff上述(shngsh)条件共有个系数(xs

16、h)a的个数为2nf可以(ky)证明) 1(212nnnfff因此总可以找到一组a使得新波函数满足正交化条件-Schmidt正交化方案。 确定简并态的方法：如果算符A 的本征态是简并的，往往选用其它力学量的本征值对简并态进行分类，此时正交性问题自动解决，这就涉及到了两个或多个力学量的共同本征态的问题两个力学量是否可以有共同的本征态？或者，是否可以同时确定？正交条件数归一条件数第26页/共50页第二十六页，共51页。 3.3 共同(gngtng)本征函数3.3.1 不确定关系的严格(yng)证明di)(2BAI),(), ,(i),( ),(),(i),(i),( )i,i()(2222BBAA

17、BBABBAAABABAI0)4/()2/( )(222222222ACBACABCAI设有两个力学(l xu)量A和B， 考虑下列积分不等式其中，为任意波函数，为任意实参数，A, B均是厄米算符。上式可写成引进厄米算符CBACi / ,则 第27页/共50页第二十七页，共51页。,212122BACBA,21)()(22BABA)8( ,21BABA04/222ACB取22/ AC，则得到(d do)即22241CBA代换(di hun)BBBBAAAA ;或上式就是任意两个(lin )力学量A和B在任意量子态下的涨落所必须满足的关系，称为不确定度关系(uncertainty relatio

18、n),BABA则有则第28页/共50页第二十八页，共51页。特例(tl)： 若A=x, B=px, 且 i,xpx则有2/xpx显然，若两个力学量A和B不对易，则一般来说A和B不能同时为零，即A,B 不能同时测定（特殊态例外），或者说，它们(t men)不能有共同本征态；反之，若两个厄米算符A 和B对易，则可找出这样的态，使A=0和B=0可以同时满足，即可找到它们(t men)共同的本征态。思考题1 若两个厄米算符有共同的本征态，是否它们(t men)就彼此对易？ （不一定）思考题2 若两个厄米算符不对易，是否就一定没有共同本征态？ （不一定）思考题3 若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都

19、同时具有 确定的值？（不是）第29页/共50页第二十九页，共51页。思考题4 若A,B=常数，A和B能否有共同(gngtng)本征态？（有 or没有）lx, ly能否有共同(gngtng)的本征态?（可以）例题(lt)1 动量),(zyxpppp的共同本征态解：由于, 0,pp则它们可以有共同的本征态，即平面波/i/ )( i)2(1 )2(1)()()()(rpzpypxpppppeezyxrzyxzyx例题2 坐标r(x,y,z)的共同本征态，即函数)()()()()(0000000zzyyxxrrrzyx思考题5 角动量分量,i,zyxlll思考题6 px和y可否有共同本征态？（可以）第

20、30页/共50页第三十页，共51页。练习题1. 对势能(shnng)为V(x)的一维定态情形，证明xpmxE22. 设有三个力学(l xu)量A, B, C，如果B, C=A, A, C=B，证明2221)(BACBA第31页/共50页第三十一页，共51页。22222222sin1sinsin sin1sinsin1zll, 2, 1, 0,21)(imemm)()(),(mY),(),(22YYl3.3.2 (l2,lz)的共同(gngtng)本征函数，球谐函数在球坐标(zubio)下，有由于(yuy)0,2zll， l2的本征函数可取为lz的本征函数令本征方程第32页/共50页第三十二页，

21、共51页。01dd)1 (dd222m01dd2dd)1 (22222m, 2 , 1 , 0 ),1(lll0 , 0sinddsinddsin122m令) 1(cos则或-连带(lindi)Legendre方程可以(ky)证明，当时方程(fngchng)的解为连带Legendre多项式lmml ),(P第33页/共50页第三十三页，共51页。利用(lyng)正交归一化条件l lmlmlmlmll)!()!() 12(2d)(P)(P11定义一个归一化的部分(b fen)的实函数llllmmlmllmlmlm, 1, 1, ),(cosP)!()!(2) 12() 1()(满足(mnz)归一

22、化条件l lmllm0dsin)()(则(l2,lz)正交归一的共同本征函数为mmlmlmemlmllYi)(cosP)!()!(412) 1(),(第34页/共50页第三十四页，共51页。利用(lyng)正交归一化条件l lmlmlmlmll)!()!() 12(2d)(P)(P11定义一个归一化的部分(b fen)的实函数llllmmlmllmlmlm, 1, 1, ),(cosP)!()!(2) 12() 1()(归一化l lmllm0dsin)()(则(l2,lz)正交归一的共同(gngtng)本征函数为mmlmlmemlmllYi)(cosP)!()!(412) 1(),(Y lm称

23、为球谐函数。第35页/共50页第三十五页，共51页。mml lmllmlmlmzlmlmYYllllmlYmYlYllYl02022dsin),(),(d, 1, 1, 2 , 1 , 0),(),(),() 1(),(l称为(chn wi)轨道角量子数， m称为(chn wi)磁量子数。对给定的l，角动量的平方(pngfng)是（2l+1）重简并的，lz是非简并的第36页/共50页第三十六页，共51页。3.3.3 对易力学(l xu)量完全集（complete set of commuting observables CSCO）设有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符(A1,A2,),它们(t

24、 men)的共同本征态为，表示一组完备的量子数。设给定一组量子数后，就能确定体系的唯一一个可能状态，则称(A1,A2,)构成体系的一组对易可观测量完全集,或力学量完全集.a体系(tx)的任一量子态均可用展开da或若体系的哈密顿量H不显含时间，则H为守恒量。如对易力学量完全集中包含哈密顿量，则完全集中各力学量都是守恒量，这种完全集又称对易守恒量完全集。 (complete set of commuting conservative observables CSCCO)第37页/共50页第三十七页，共51页。例题1 一维谐振子的哈密顿量(能量)本身构成力学(l xu)量完全集nnnxax)()(例

25、题2 一维粒子的动量构成(guchng)一维粒子的一个力学量完全集pepxxpxd)()2(1)(/i2/1例题3 三维自由(zyu)粒子的动量是守恒量，动量的三个分量(px, py, pz) 构成一组力学量完全集zyxrppppeprddd)()2(1)(/i2/3例题4 三维中心力场中)(2)(2222rVmrVmpH),(2zllH构成一组守恒量完全集。第38页/共50页第三十八页，共51页。关于可对易观测量完全(wnqun)集的说明(1) CSCO是限于最小集合，即从集合中抽出任何一个可观测量(cling)后，(2) 就不再构成体系的CSCO(3) (2)一个给定体系的CSCO中，可观

26、测量(cling)的数目一般等于体系的自由(4) 度，但也可大于体系的自由度。(5) (3)一个给定体系往往可找到多个CSCO，或CSCCO。一个CSCO(6) 成员的选择涉及体系的对称性。定理(dngl): 设H是体系的一个厄米算符，对于体系的任一态 ，(, H )/( , )有下界，但无上界，则H的本征态的集合构成体系的态空间中的一个完备集，即体系的任何一个量子态都可以用这一组本征态来展开。观测量完全集的完备性问题第39页/共50页第三十九页，共51页。说明(shumng)(a)自然界中真实存在的物理(wl)体系的Hamilton量算符H都应为 厄米算符，并且应有下界，因此体系的任一量子态

27、总可以用 包含H在内的一个CSCCO的共同本征态完全集展开。(b)在H的本征态有简并的情况下，对于给定的能量本征值，其 本征态不能完全确定，此时需要用包含H在内的一个CSCCO， 根据它们的本征值吧本征态完全确定。第40页/共50页第四十页，共51页。3.3.4 量子力学(lin z l xu)中力学量用厄米算符表达量子体系的可观测量用厄米算符描述(mio sh)，是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定。该假设包含以下含义：(1) 在给定状态(zhungti)下，力学量A的平均值由下式确定),/(),(AA (2) 在实验上测量力学量A，其可能测量值就是A的某一个本征值。 由于力学

28、量观测值总是实数，因此要求相应的算符是厄米算符。(3) 力学量之间的关系也通过相应算符之间的关系反映出来。 第41页/共50页第四十一页，共51页。3.4.1 连续谱本征函数不能归一化/i)(pxpCex xCxxpdd)(22连续谱本征函数不能归一化，如动量(dngling)本征态则坐标(zubio)本征态)()(xxxx)()d()(xxxxxxx 第42页/共50页第四十二页，共51页。3.4.2 函数(hnsh)000 , , 0)(xxxxxx)0( , 1d)(d)(0000 xxxxxxxx)(d)()( ) 1 (00 xfxxxxf定义(dngy)性质(xngzh)(1)(

29、)2(xaax)()( )3(xx)()()( )4(babxax0)( )5(xx)(i00d21)(xxkkexx 函数的Fourier展开第43页/共50页第四十三页，共51页。0)()(xxxx)()(xxxxxx)(d)()(),(xxxxxxxxx /i21)(xppex动量(dngling)本征态为)(d21),(/)i(ppexxpppp 坐标(zubio)的本征态则可见(kjin)，坐标的本征态就是函数，本征值为 x, 记为)()(xxxx“归一化”“归一化”第44页/共50页第四十四页，共51页。3.4.3 平面波的箱归一化)2/()2/(LLpp2/i2/ipLpLee, 2, 1, 0 ,2/ nnpLLnhLnppn2箱归一化： 将粒子局限(jxin)在有限空间-L/2,L/2运动，将波函数离散化后归一，然后令L.离散(lsn)化波函数：为保证动量算符的厄米性，波函数必须满足 周期性条件即1)/cos(, 0)/sin( , , 1/ipLpLorepL或第